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1、目录北京科技大学2010年2北京科技大学201I年9北京科技大学2012年15北京科技大学2013年20北京科技大学2014年计算方法26北京科技大学2015年32北京科技大学2016年计算方法40北京科技大学2017年计算方法46计算方法试题库54北京科技大学2010年科学与工程计算研究生考试试题答案一、填空题(每空题2分,共20分)1 .为使胸的近似值的相对误差限不超过IO-,则近似值至少需要取3位有效数字.注:府 X=9 -!82719088.9442719082 .为了提高数值计算精度,当数非常接近时,应将I二“改写为smx sinx1 + cos x53-113 .设 A= 3 -2
2、 3则网=10,同=9匚-2 244 .若使用二分法求解方程xe*=l在0,1)上的根,要求误差小于0.5x10-3,则至少需要迭代_10_步。注:二分k步误差小于” -1T40.5x ri) f 2N 10(施 2 125 .已知函数Z(-l)=-5, /=0 ,/(2)=7,用此函数表作牛顿插值多项式,那么插值多项式X?的系数是_7/2 _.6 .设f(x) = 5x7+4x4+3x3+2x+l,则差商/0,1,2,3,4,5,6,7 =5,/M,-3,-2,-l,0,l,2,3,4,5=07 .求解初值问题=-10y + x2,y(0) = l时,若用改进欧拉方法的绝对稳定域中步长h不超
3、过.0.2。.(X1) + g(xI)? + b(x1) + 1 0 x 1 _. r , . , .、，、， 、“，8 .设S(x) = ), 、7是0,2上的三次样条函数,3x3 - 2x1 x2那么a=_9_二、(20分)分别用Jacobi迭代与高斯赛德尔迭代法解线性方程组,I2给出迭代格式与迭代矩阵,说明上述迭代是否收敛,若全两者均收敛问哪种方法收敛快。）=谈_2染+5解:本问题的Jacobi迭代格式为=丄染+。)-13 13 777（2分）迭代矩阵为Bj =（2分）-1卬一味,1327A2- 34 , 2 Z + -7 722-3,8+ 77=r-1 U322（4分）（1分）Jaco
4、bi迭代收敛（1分）本问题的高斯赛德尔迭代格式为燈2岩）+5（2分）+1) _ 1 (*+1) , 1 (*) _1+1) , 2 + 2333 -33错钊=-2靖）一士钊+亚（2分）01-2迭代矩阵为纥=0-s 33 -12 AI 21 21丿（3分）（1分）Seidel迭代收敛（1分）= 居Jacobi迭代收敛的快（1分）三、（10分）给定数据（f（x） =孤）,X12fix)11.1892f(x)0.25试用hermite插值多项式计算/（1.75）的近似值,并估计误差。解:方法1首先构造差商表:X112fix)111.18920.250.1892-0.0608那么, （每个插商2分）N
5、（x） = l + 0.25（x-l） - 0.0608（1 分） 最后计算可以得到/（L75）aN（1.75）= 1.1533。（1分）/(%) = /%(=旨?max(小（误差2R(1.75) Ot; (2)20,=a(x) = (x-2)(A + Bx) a(l)= -A - B = a(l)=A= f a(x) = -(x-2)x(2分)b(x) = C(x-l)2b(2) = C = 1r/x) = (x-l)2(2分)c(x) = D(x l)(x 2)cr( x)=。( 2cz(l) = D 1 c(x) = (xl)(x2)(2分)G(x) = -(x- 2)x+1.1892(
6、x-1)2 -(x - l)(x- 2)(1 分)最后计算可以得到 L75）aG（1.75）= 1.1533。（1分）误差同方法1四、（15分）已知数据表-2-1012-17-14-102052求最小二乘法求其二阶拟合多项式并计算平方误差。计算中间数值及结果保留6 位小数。解:y = a +反+C%2%=10尸Px(%,%) = 5(/用)= Z%=0(%,夕)=(6)核 =1(四,。2)=Z，=。(e2,02)=X:=34 (,y)=Zy =31，y) = Z%y, =172 饱,y) = Zx；y, =146，5解方程 JO103431)172146a-29/586/5（每个非。系数1分,
7、共6分）二阶拟合多项式为y = 129 + 8 + 3x（a,b,c系数!分）近似值 y(-2)=- 17 + y(-l) = -17 = -14 + 3 y(0) =丁 = -10+二、87 “ 13 小、263 “ 3y(l) = = 20y(2) = = 52 + 55-55平方误差二(升(3)、阳+閏+弋(误差1分) 五、（10分）用牛顿法求狛的近似值,取初始值=1,要求误差（IO- 解:近为5 = 0的根利用牛顿法构造递推公式+|=丸=+三,（2333%分） 毛=1,计算结果如下,看:=2.333333334 1分 :=L86167800f 1分:=1.722001881 1 分x4
8、 := 1.71005973 2分 :=1 70997595 分归5|1。 之1.7099 75 （ 1分）六、（15分）用改进的欧拉方法求解初值问题丁 = -0.9y/（l + 2x）:必）=1取步长 =0. 25,计算0.5）,并与准确值y = （1 + 2x）445比较.&21 ri 穴0.9（%+3）解 :& =/（,）=，& =/（x“+i，X,+）=；_,1 + 21 + 2%加= %+*+&公式2分% = 0, / = 0, xy =0.1, k、 = -0.9（2分）右=-0.465 （2分），X =0.829375, （2分） 真实值. 8332185564（1 分）=0.2
9、5 ,尤2=。5 ,占=-0.497625 （! 分）,k2 =-0.3172359375 （1 分）,% =0.7275173828 （1 分）真实值. 7320428480（1 分）y误差约为0. 0038435564, （1分）误差约为0. 0045254652（1分）七、（10分）己知某连续可微函数/（x）的几点函数值如下表x00.1250.25 0.3750.50.625 0.75 0.8751f（x）10.9961 0.9843 0.9646 0.9368 0.9006 0.8554 0.8006 0.7351使用复化梯形求积公式及其外推公式估计，（x）dx,使估计值尽可能准确（注
10、:每步计算 结果保留小数点后6位。）解:1）工=1 + 0.735 = 0.85755。分）（1分）T, = - 7： + - x 0.9368 = 0.9021752 2 1 24=g n + 丄（0.9843 + 0.9368 + 0.8554） = 0.911025（1 分） = -7； + -（0.9961 + 0.9646 + 0.9006 + 0.8006） = 0.91324375 0.913244（1 分）28外推第一层S = （ +33*0.913717（1分）2 =7； + 厶 *0.913958*0.913988（1分）（1分）外推第二层Ct=S2 + S2 *0.913
11、974外推第三层凡=C2 + 一 6 0.91399063（1 分）G =$4+3二=0.913990（1分）（1分）北京科技大学2011年科学与工程计算 研究生考试试题答案 一、填空题(每空题2分,共20分)1 . x = 1.6491是精确值&的近似值,则其有4位有效数字.1.64872127070012814684865078781422 .为了提高数值计算精度,当数非常大时,应将ln(x)-改写为 -ln(lv) . 2 x3 .设 A=,贝!(琳=4，榊2 =也 + 0 = + 1。4 .已知/(x)为区间0,1上关于权函数X?(x) = l-x的首项系数为1的 正交多项式族,%(x
12、) = l,则(x) = x。5 .设(x)= + % + ,则差商T,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 = 1。/0,1,2,3,4,5,6,7,8,9=06 .求解初值问题y =-20y-x,y(0) = l时,若用改进欧拉方法的绝对稳定域中步长h不超过.0.1。7 .设S(x) =,一是0,2上的三次样条函数,2x3 +ax2 +bx- lx2那么a=Z，b=丄.二、(10分)用牛顿法求xe=l的近似值,取初始值X。=0.5, 要求误差(IO- 解:利用牛顿法构造递推公式+1 =% exp(x*)-1 _ x,-exp(-xj(2 分)(x*+l)exp(xj +1=1,计算结果如下
13、,%:=0.57102043% 2分x, := 0.567155568*2分飞:=0.567143290”分x4 :=0.5671432904 2分|x4-x,|10-5 x*0.567143：(1分）三、（10分）使用Dolittle三角分解求解线性方程组3-63解:A =1213-63-13 941一 1 101-6/111-214-248-134-101 -6/11y y2 34-16-52/113-13940-2219“2=-160026/11,X3.-52/11求解得再X2x3四、（10分）设=Gauss-Seide! 迭代矩阵, 解Gs =-(D + L)-U =-丫（1） 或由岩
14、.+1） 人33-1-2其中a * 1,给出求解Ax =的并给出Gauss-Seide!迭代收敛时a的范围。0 0、-i a 、10 0仅a 0、0 a 1 00 0a=-67100 0 67=0 a2 aa 1 、 0 ,ci_a1J 0 ,3()a a1,2a0=b -ax)=b2 -axk+i)= b2 ab-翊导出迭代矩阵=A uh、+ crb )+)AI-GS = 0 。20-a3-aA + a2=（储_2）=。（）=21 1 /2Gauss-Seide! 迭代收敛时,p(Gv)=也1 铀2x+ 6c- 麥 x +34r + ：七、(10分)已知数据表再012333514用最小二乘法
15、求二次拟合多项式y = a + Z;x+cx2。解:y = a + bx+cx2 = (p qx cp,x：（，例）=4（必）=6（,。2）= M）= JX=14（q,。2）=36 （伤,。2）= =98（,y） = Zx =25 （%y） = Zx,y =55 （,）=片y =149,4解方程6J4614361436哭2555 149 13/4-13/49/4（每个非。系数1分,共8分）_A. u .宀 q亠、r9 13x +13x/ 1二阶拟合多项式为y = （2分）41、（10分）构造求积公式，/（）/（玉）+ /（2），-1使其代数精度尽可能高,（1）给出最髙的代数精度I（2）使用此公
16、式和Simpson求积公式计算jcosxdx , -1对比两者误差并分析原因。解:/（幻=1 时 / f（x）dx = 2 = /（X） + /（）=2 相等-1/（x） = x时 j f（x）dx J xdx = 0=/（）+ f（f ）= 1r+最高代数精度为31（2） JcosAz/r = 2sinl1.68294196961.6758236554误差 0.00711831422581Simpson 公式cos（-1） +4cos 0+ cos（l）= 1.693534870误差.010592900 两者代数精度均为3,但前者计算量与误差均小于后者。九、（10分）用改进的欧拉方法求解初值
17、问题y = xy240）=i取步长=0.1,计算y（0.1）, y（0.2）的近似值并与准确值y = T比较. 2-x解:& =/（怎,”）=片，厶=/（%|，%+）=玉+1（然+）2，”+1 =尤+%+&公式2分%=1, /=,=0.1, 4 =0（1 分）2 =0.1（1 分），y =1.005, （1分）真实值 1. 005025126（1 分）,误差. 00005025126（1 分）毛=0.2 , kl ：= 0.1010025000（! 分）, A2 := 0.2060857036（1 分）,y2 -1.02035441（ （1 分）真实值 1.020408163 （1 分）,误差
18、0.000053753北京科技大学2012年科学与工程计算研究生考试试题答案一、填空题(每空题2分,共20分)1. x产1.234具有4位有效数字,，。)=丿7则，()的绝对误差限大致为 0.000268491447.2 .设A是个5x10的矩阵,B是个10x6的矩阵,C是一个6x5的矩阵,。是个 5x3的矩阵,根据矩阵乘法结合率,产=A3CD可按如下公式计算(1) F = A(BC)D (2)= (AB)(C。)则公式q效率更高,其计算量为咽flops。10 、3 .已知向量x = (2,3,4)r,存在household矩阵H使得小=(2,5,0)7,则H= 0 0.6 0.8、 0.8
19、-0.6 n ion . . I10224.1. A=,则 At = J10204, co城A)8 = 104.04.1 1”3 * 1005 .已知由数据(0,0),(1,2)和(2,y)三点构造出的二次插值多项式中X2的系数为1,则y=6 注:7V(x) = 2x + x(x-1) = x2 + x y = N(2) = 66 .按下列数据表构造适合的三次样条插值函数5(x) 则有S(0) = -5X-101y-113y14287 .利用积分肚M4计算ln4时,要求误差不超过。.5x若采用复化梯形 公式，至少应取咽个节点,若采用复化Simpson公式,至少应取項个节点就要使误 差超过0.5
20、x1。 二、(10分)用牛顿法求(x)=2x2+ x-7 = 0在区间2,3内的根,取初始值七=2.5,要求误差10-5 解:/(X)= x3 2x2 + x7f (x) = 3x2 4x+lX； -+ Xf. 73X-4+12(1) + 7(3x* - l)(x* -1)（2分）计算过程 %, =2.641025641 天=2.631150582=2.631099299 =2.631099298%* 2.631099298 每步两分三、（10分）使用Doolittle三角分解求解线性方程组3芭*2 + 4七=7一司 + 2x, - 2& = 12X 3x2 2x3 = 0100-14-1/3
21、1。5/3-2/32/37/5I00-28/53-14解:A= -1 2 -22 -3 -210一7-7求解-1/310必二-1得%二-4/32/37/51%0为-14/5345/3-2/3-28/5四、（16分）分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解方程组203224215-3x =3018丿12 川）24-3岩）一2x*王20解:Jacobi迭代格式,皿)30-2举+3201（幻 ”）（4+1） _丄1）人1人238精确至2位有效数。初始向量均取（1,1,1石=(0.950,2.067,1.25)x2 =(0.765,2.123,1.123) x, =(0.769,2.
22、123,1.138)x, =(0.767,2.125,1.139)(0.77,2.13,1.139)24-3靖 22?Seideli迭代格式.2030-2D+3染% = (0.950,2.073,1.122) 毛=(0.777,2.121,1.138)x, = (0.768,2.125,1.138)x, =(0.767,2.125,1.138)X =(0.77,2.12,1.14)五、(10 分)试求一个不超过 4 次多项式p(x),使得p( 0=) p0 ,=(域 A Ip, =( 1解 :设 p(x) = p(0) + pr(0)x+ax2 +bx3+cx4 =x+ax2 +bxi +cx
23、4 ,(x) = 1 + 2ax + 3bx2 + 4cx3p(l) = l + tz + Z? + c = 1a = -1 .(1) = 1 + 2。+ 3 +4c = 2解得=2p(2) = l + 4a + 12+ 32c = 3c = -0 .p(x) = x1.5x2 + 2x3 0.5x4七、(12分)用最小二乘法求一个形如y = a+/?x+“2的经验公式,使与下列数据相拟合X-3-1024Y2625.9601552.64解:依题意设例（X）= l明（X）= X,0（X）= X2(%,) = 5(/用)=2七=23, =(%)电=(件=M44 (,。2)=354(/,y) = y
24、 =119.6（q,y）=% = 136.6 （份,y）=y = h62.2（每个非系数1分,共8分）52解方程2 3030 4444 b354丿（c119.8 137.1 得1164.7 b，8.8 0.32.5,方程1分,每个解1二阶拟合多项式为y = 8.8 + O.3x+2.5/、（12分）构造求积公式试确定下面求积公式 f（x）dx Cf（x0） + /（XJ + /（x2）,使其代数精度尽可能髙。给出最高的代数精度（2）使用此公式计算积分Jk-dx，给出其误差。解:公式若有3次代数精度,需有C(1 + 1 + 1) = J，dx = 2C(x0 + x, + x2) = J xdx
25、 = 02(4 分)C(Xq + x； + x；) = j x2dx =C(Xy +x)3 +x2) = J Xsdx = 02/?解得:C = ,x0 = 0,Xj =,x2 =(解 2 分)故求积公式为（幻厶=|/（） +f冷 +当/(%)= /(x4)= x4dx = /2(x4)=53为3(1分)（1分）最高代数精度3I 2(1Z2（cosx） = |也21 1H7 H7園2 ,149（2分）rr 4误差 1 2 0.015242574（1 分）九、(12分)用改进的欧拉方法求解初值问题y=T2。x,取步长 =0.25,y（0） = 0计算y(0.25),y(0.5)的近似值并与准确值
26、y(x) = x/(l+f)比较.解:K = f（xn,-2yn,k2 = /（xn+1 ,yn+kth） = 2（y“+贴），1 + Xl + +iy“+i = y,+轴+公式2分%= ,毛=0 ,办=0.25 ,4=1 （1 分）l2 := 0.8161764706（1 分），N”=0.2270220582 （1 分）真实值. 2352941176。分）,误差. 0082720587（1 分）x, :=0.50 x2=0.2, kl -0.8380984401（1分），k2 := 0.4188540118（1 分）,y2 -0.3841411 154 （1 分）真实值0. 4（1 分）,误
27、差0.01585588846。分）北京科技大学2013年科学与工程计算研究生考试试题答案、填空题(每空题2分,共20分)1 .南北朝科学家祖冲之计算的圆周率的密率为単,此近似值具有位有效数字.解:x = 3.1415929203539823008849557522124,具有 7 位有效数字。2 .为了提高数值计算精度,应将表达式“20001一如999改写为,J-.720001+V19999+ 0.6x2 +x3 = 13 .写出求解方程组。/玉+ X2 + CSX, = 1的 Gauss-Seide!迭代公式0.2X1 + 0.7 x7 + X3 = 1x! .-5色3)甘。 5,阴.5丄,
28、1 .电 ! .1,迭代矩阵的行范数为0.82,石+ 工)1+ 百，4. /(-1) = -1,/(2) = 2,/(3) = 1,则过这三点的二次插值多项式中的系数为-0.5t牛顿插值多项式为x-1x +1 答案:(x) = x+a(x+l)(x-2)(3) = 3 + 4a = lna; I 、 3 厶(x) = x (x + l)(x 2) = x + 5 x +15.设函数以=+$,若= 1,那么p2,3j=3_(,解:p1l,2,3,打=1 =或,3 - ML 2,“ 16 .用二分法求方程y(x) = d+x-1 = 0在区间0,1内的根,进行两步后根的所在 区间为10.5, 0.
29、7517.数值积分公式J fxdx -/(-l) + 8/(0) + /(l)的代数精度为2198.已知如下分段函数为三次样条, * a7( +，)0 . 0蠅 .x-1S(x) =2 + 2.x + Bx H2-lx0P Ajc 22 + 2.x + Cx x0 x (1.6) = 1.0761, Vxe1.4,1.6所以,迭代x=5-1) 2 不收敛;(2)。(幻=(x2 +1严,。(=2x/3(x2 + ,(%) = (6-2x2)/27(x2 +1)5/3 0,迭代xm =（x：+l）3收敛;|(x)区(1.6)=O.4575(M5227, = 5, co 1.2故旬=-0.2/)0.
30、6H+0.6,岩1=-0.2建)+0.3口一1.5迭代初值=K=ok珠,00.0000000.00000010.6000000-1.32000021.2720000-0.85440030.858240-1.07164841.071341-0.96426850.964293-1.01785961.017857-0.99107170.991071-0.99776881.004464-0.99776890.997768-1.001116101.001116-0.999442卜 _”)IL = 0000052 =-0.999991五、（10分）a，B为n维向量,a0,但|闷|, =|网?，证明存在合适
31、的household矩阵H ,使得a =万。解:令 a）=H = E -looa-pH （a） = Ha =E -2（ocora = a-2co（oraa-p a-pa a - pII而.a-p aT -PT =a-2-aIla - /?ll2=（a - pa- J3） = （a,a） - 2（a/） + （,）= 2（a,a）一（a,尸）=2aaT - pTH （a）=a-（a一夕）=p.六、（10分）给出概率积分f（x） = -=exdx的数据表:试用二次插值计算（0472.X0.460.470.480.49f（x）0.48465550.49375420.50274980.5116683解
32、:取插值节点:Xo = 0-46 Xi =047x2=0.482L2（x）= I y（x）i = 0=丫 一用）（一42）I）,（X X0）（XF）I .（一刈）制）.”（和一用）（刈 *2）.（用尤0）（内*2）. 1 （x2- xq）（x2- x）L,（0.472）= 0.4955616/（0.472）= L,（0.472） = 0.4955616七、（10分）用最小二乘法求一个形如yna+Zu2的经验公式,使与下列数据相拟合X1925313844Y19.032.349.073.397.8解:依题意用(=1,q()=(外,) = 5 3用)= 5327 (阳)= 7277699 (%,# = 271.4(% = 369321.5法方程为5。+53g27 1.4,532。+ 7276=9936解得 “ = 0.9 7 25 7 85=6 9,0.050故拟合曲线为 y