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1、固体物理题库-第一章-晶体的结构第一章 晶体的结构一、填空体（每空 1 分）1.晶体具有的共同性质为 长程有序、自限性、各向异性。2.对于简立方晶体，如果晶格常数为 a，它的最近邻原子间距为a，次近邻原子间距为a2，原胞与晶胞的体积比1：1，配位数为6。3.对于体心立方晶体，如果晶格常数为 a，它的最近邻原子间距为a2/3，次近邻原子间距为a，原胞与晶胞的体积比1：2，配位数为8。4.对于面心立方晶体，如果晶格常数为 a，它的最近邻原子间距为a2/2，次近邻原子间距为a，原胞与晶胞的体积比1：4，配位数为12。5.面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢 a1,a2,a3 分割,其中最靠近
2、原点的平面在a1,a2,a3 上的截距分别为_1/h1_,_1/h2_,_1/h3_。6.根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。7.根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。8.常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。9.对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为 7 个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有 14 种布喇菲格子。10.晶体结构的宏观对称只可能有下列 10 种元素：1，2，3，4，6，i，
3、m，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这 10 种对称素对应的对称操作只能组成 32 个点群。11.晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有1个原子。-第 3 页12.晶体原胞中含有1个格点。13.魏格纳-塞茨原胞中含有1个格点。二、基本概念1.原胞原胞：晶格最小的周期性单元。2.晶胞结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。3.散射因子原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。4.几何结构因子原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。
4、5.配位数晶体内最近邻原子数8.简单晶格基元中只含一个原子的晶体9.复式晶格基元中含两个或两个以上原子的晶体10.几何结构因子：原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。11.几何结构因子原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射波的振幅之比。12.结点：空间点阵中的点子代表着结构中相同的位置，称为结点。13.晶格：通过点阵中的结点，可以做许多平行的直线族和平行的平面，这样点阵就成为一些网格，称为晶格14.维格纳-赛兹原胞(W-S 原胞)：以某一阵点为原点，原点与其它阵点连线的中垂面(或中垂线)将空间划分成各
5、个区域。围绕原点的最小闭合区域为维格纳-赛兹原胞。一个维格纳-赛兹原胞平均包含一个结点,其体积等于固体物理学原胞的体积。15.点阵常数(晶格常数)：布喇菲原胞（晶胞）棱边的长度。16.致密度：晶胞内原子所占的体积和晶胞体积之比。三、简答题1.倒格矢与正格矢有什么关系。1）倒格矢与正格矢互为倒格矢2）倒格原胞与正格原胞的体积比等于（2）33）倒格矢332211bhbhbhKh与正格子晶面族（h1h2h3）正交。4）倒格矢hK的模与晶面族（h1h2h3）的面间距成反比。2.晶体的主要特征有哪些？答：1）长程有序与周期性2）自限性3）各向异性3.晶体宏观对称性的基本对称操作有哪些？（5 分）答：有
6、1、2、3、4 和 5 次旋转对称轴及 4 次旋转反演轴4，中心反演操作 i，镜面操作 m。4.解理面是面指数低的晶面还是指数高的晶面？为什么？-第 5 页答：晶体容易沿解理面劈裂，说明平行于解理面的原子层之间的结合力弱，即平行解理面的原子层的间距大.因为面间距大的晶面族的指数低,所以解理面是面指数低的晶面.5.基矢为1=aai,2=aa j,3=2 aaijk的晶体为何种结构?为什么?答：有已知条件,可计算出晶体的原胞的体积由原胞的体积推断,晶体结构为体心立方.我们可以构造新的矢量,u v w满足选作基矢的充分条件.可见基矢为1=aai,2=aa j,3=2 aaijk的晶体为体心立方结构。
7、6.在结晶学中,晶胞是按晶体的什么特性选取的?答答：在结晶学中,晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性.7.六角密积属何种晶系?一个晶胞包含几个原子?答：答：六角密积属六角晶系,一个晶胞(平行六面体)包含两个原子.8.高指数的晶面族与低指数的晶面族相比,对于同级衍射,哪一晶面族衍射光弱?为什么?答：答：对于同级衍射,高指数的晶面族衍射光弱,低指数的晶面族衍射光强.低指数的晶面族面间距大,晶面上的原子密度大,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用强.相反,高指数的晶面族面间距小,晶面上的原子密度小,这样的晶面对射线的反射(衍射)作用弱.另外,由布拉格反射公式可知,面间距大的
8、晶面,对应一个小的光的掠射角.面间距小的晶面,对应一个大的光的掠射角.越大,光的透射能力就越强,反射能力就越弱.9.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。答：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，称为长程有序；非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序；准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。10.温度升高时,衍射角如何变化?X 光波长变化时,衍射角如何变化?答：答
9、：温度升高时,由于热膨胀,面间距逐渐变大.由布拉格反射公式可知,对应同一级衍射,当 X 光波长不变时,面间距逐渐变大,衍射角逐渐变小.所以温度升高,衍射角变小.?当温度不变,X 光波长变大时,对于同一晶面族,衍射角随之变大.11.晶格点阵与实际晶体有何区别和联系？答：晶体点阵是一种数学抽象，其中的格点代表基元中某个原子的位置或基元质心的位置，也可以是基元中任意一个等价的点。当晶格点阵中的格点被具体的基元代替后才形成实际的晶体结构。晶格点阵与实际晶体结构的关系可总结为：晶格点阵基元实际晶体结构。12.六角密积结构是复式格子还是简单格子，平均每个原胞包含几个原子，属于哪种晶系?答：六角密积结构是复
10、式格子，平均每个原胞包含 2 个原子，属于六角晶系。13.晶体 Si、Cu、CsCL、NaCL 和 ZnS 的结构分别属于那种点阵形式？答：Si：面心立方；Cu：面心立方；CsCL：体心立方；NaCL：面心立方；ZnS：面心立方14.金刚石晶体的基元含有几？其晶胞含有几个碳原子？原胞中有几个碳原子？是复式格子还是简单格子？答：金刚石晶体的基元含有 2 个原子，晶胞含有 8 碳原子，原胞中有 2 原子,复式格子.15.写出金属 Mg 和 GaAs 晶体的结构类型。-第 7 页答：六角密堆，金刚石。16.以堆积模型计算由同种原子构成的同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比.答：设原子的半径为R,
11、体心立方晶胞的空间对角线为 4R,晶胞的边长为3/4R,晶胞的体积为33/4R,一个晶胞包含两个原子,一个原子占的体积为2/3/43R,单位体积晶体中的原子数为33/4/2R;面心立方晶胞的边长为2/4R,晶胞的体积为32/4R,一个晶胞包含四个原子,一个原子占的体积为4/2/43R,单位体积晶体中的原子数为32/4/4R.因此,同体积的体心和面心立方晶体中的原子数之比为2/323=0.272.17.与晶列l1l2l3垂直的倒格面的面指数是什么?答：正格子与倒格子互为倒格子.正格子晶面(h1h2h3)与倒格式hKh11b+h22b+h33b垂直,则倒格晶面(l1l2l3)与正格矢lRl11a+
12、l22a+l33a正交.即晶列l1l2l3与倒格面(l1l2l3)垂直.18.分别指出简单立方 体心立方 面心立方倒易点阵类型答：简单立方 面心立方 体心立方19.在晶体衍射中，为什么不能用可见光？答：晶体中原子间距的数量级为1010米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小于1010米.但可见光的波长为 7.64.0710米,是晶体中原子间距的 1000 倍.因此,在晶体衍射中，不能用可见光.20.写出晶体绕直角坐标 X、Y 和 Z 轴转动角的操作矩阵和中心反演的操作矩阵。答：晶体绕直角坐标 X、Y 和 Z 轴转动角的操作矩阵分别为：中心反演的操作矩阵为100010001A。21.分
13、别在体心立方和面心立方晶体的晶胞中画出其原胞，并给出他们晶胞基矢与原胞基矢的关系。答：体心立方和面心立方晶体的晶胞中的原胞：体心立方面心立方体心立方：)(21kjiaa，)(22kjiaa，)(23kjiaa面心立方：)(21kjaa，)(22kiaa，)(23jiaa22.在立方晶胞中，画出（100）、（111）和（210）晶面。解：23.在立方晶胞中，画出（）和（）晶面。解：四、证明计算1.劳厄方程与布拉格公式是一致的。证明：由坐标空间劳厄方程：2)(0kkRl与正倒格矢关系2hlkR比较可知：若0kkkh成立即入射波矢0k，衍射波矢k之差为任意倒格矢hk，则k方向产生衍射光，0kkkh式
14、称为倒空间劳厄方程又称衍射三角形。现由倒空间劳厄方程出发，推导 Blagg 公式，弹性散射0kk 由倒格子性质，倒格矢hk垂直于该晶面族。所以，hk的垂直平分面必与该晶面族平行。由图可得知：OO-第 9 页|hk=2kSinSin4(A)）又若|hk|为该方向的最短倒格矢，由倒格矢性质有：|hK|d2若hk不是该方向最短倒格失，由倒格子周期性|hkn|hk|d2.n（B）-比较（A）、（B）二式可得2dSinn即为 Blagg 公式。2.证明不存在 5 度及 6 度以上的旋转对称轴。如下图所示，A,B 是同一晶列上 O 格点的两个最近邻格点如果绕通过 O 点并垂直子纸面的转轴顺时针旋转角，则
15、A 格点转到A点 若此时晶格自身重合A点处原来必定有一格点如果再绕通过 O 点的转轴逆时针旋转角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转角，B 格点转到B点处，说明B处原来必定有一格点可以把格点看成分布在一族相互平行的晶列由下图可知，BA晶列与 AB 晶列平行平行的晶列具有相同的周期，若设该周期为 a，则有其中 m 为整数，由余弦的取值范围可得于是可得因为逆时针旋转 3/2，4/3，5/3 分别等于顺时针旋转/2，2/3，/3，所以晶格对称转动所允许的独立转角为上面的转角可统一写成称 n 为转轴的度数由此可知，晶格的周期性不允许有 5 度及 6 度以上的旋转对称轴。3.证明倒格子矢量1 1
16、223 3Ghbh bh b垂直于密勒指数为1 23()hh h的晶面系。证明：因为33121323,aaaaCACBhhhh ，1 1223 3Ghbh bh b利用2ijija b，容易证明1 2 31 2 300h h hh h hGCAGCB 所以，倒格子矢量1 1223 3Ghbh bh b垂直于密勒指数为1 23()hh h的晶面系。4.体心立方和面心立方点阵的倒易点阵证明体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方点阵证明选体心立方点阵的初基矢量，其中a是立方晶胞边长，,x y z是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积312312cVaaaa
17、根据式(21)计算倒易点阵矢量于是有：显然123,b b b正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是4a同理，对面心立方点阵写出初基矢量初基晶胞体积312314cVaaaa。根据式(21)计算倒易点阵矢量显然，123,b b b正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是4a-第 11 页5.(a)证明倒易点阵初基晶胞的体积是32/cV，这里cV是晶体点阵初基晶胞的体积；(b)证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身证明(a)倒易点阵初基晶胞体积为123bbb，现计算123bbb由式(21)知，此处而这里引用了公式：
18、A BCDA BD CA BC D。由于3110aaa，故有而故有或写成倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的32倍。(b)现要证明晶体点阵初基矢量123,a a a满足关系有前面知：令223111231232122cbbcabbbVbbb又知312312cbbbV，代入上式得：同理31221232bbcabbb可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身6.对于简单立方晶格，证明密勒指数为(,)h k l的晶面系，面间距d满足：22222()dahkl，其中a为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理。证明：简单立方晶格：123aaa，123,aaiaajaak由倒格子
19、基矢的定义：2311232aaba aa，3121232aaba aa，1231232aaba aa倒格子基矢：123222,bibjbkaaa倒格子矢量：123Ghbkblb，222Ghikjlkaaa晶面族()hkl的面间距：2dG 2221()()()hklaaa面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面越容易解理。7.(a)证明倒易点阵初基晶胞的体积是32/cV，这里cV是晶体点阵初基晶胞的体积；(b)证明倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵自身证明：(a)倒易点阵初基晶胞体积为123bbb，现计算123bbb由式(21)知，此处而这里引用了公式
20、：ABCDABD CABC D。由于3110aaa，故有而312cVaaa故有或写成倒易点阵初基晶胞体积为晶体点阵初基晶胞体积倒数的32倍。(b)现要证明晶体点阵初基矢量123,a a a满足关系有前面知：令223111231232122cbbcabbbVbbb-第 13 页又知312312cbbbV，代入上式得：同理31221232bbcabbb可见，倒易点阵的倒易点阵正是晶体点阵自身。8.一个二维晶体点阵由边长AB4，AC=3，夹角 BAC3的平行四边形ABCD重复而成，试求倒易点阵的初基矢量解解法之一参看图 24，晶体点阵初基矢量为用正交关系式(22)求出倒易点阵初基矢量12,b b。设
21、由111221222,0,0,2b ab ababa得到下面四个方程式1142xyxb xb y(1)1133 3022xyxyb xb y(2)2240 xyxb xb y(3)2233 3222xyxyb xb y(4)由式(1)得：1142,2xxbb由式(2)得：1133 3022xybb，即133 302 22yb解得：12 3yb 由式(3)得：2240,0 xxbb代入式(4)得：223 342,23 3yybb于是得出倒易点阵基矢解法之二选取3a为 z方向的单位矢量，即令于是初基晶胞体积cV为倒易点阵基矢为对二维点阵，仅取,x y两个方向，于是得9.简单六角点阵的倒易点阵简单六
22、角点阵的初基矢量可以取为(a)证明简单六角点阵的倒易点阵仍为简单六角点阵，其点阵常数为 2c和43a，并且相对于正点阵转动了 30角；解选取简单六角点阵的初基矢量如图 25 所示初基晶胞体积为倒易点阵初基矢量为或写为同正点阵初基矢量比较看出，123,b b b所确定的点阵仍是简单六角点阵，点阵常数为2c和43a，并相对于正点阵绕c转动了 30角(见图 26)。10.一个单胞的尺寸为1234,6,8,90,120aaaa，试求：(a)倒易点阵单胞基矢；(b)倒易点阵单胞体积；(c)(210)平面的面间距；(d)此类平面反射的布喇格角(己知154?)解(a)画出此单胞如图 213 所示写出晶体点阵
23、单胞基矢如下：-第 15 页晶体点阵的单胞体积为312123sin12096 3cVaaaa a a(?)3倒易点阵单胞的基矢为(b)倒易点阵单细体积为33123212 3cbbbV(?)-3(c)与晶面(hkl)垂直的最短倒易点阵矢量G hkl为5221027G(?)-1(d)(210)面反射的布喇格角为12.(a)从体心立方结构铁的(110)平面来的 X-射线反射的布喇格角为 22，X-射线波长154?，试计算铁的立方晶胞边长；(b)从体心立方结构铁的(111)平面来的反射布喇格角是多少?(c)已知铁的原子量是 558，试计算铁的密度解(a)求出(110)平面的面间距d(110)于是求得点
24、阵常数为(b)(111)平面的面间距为于是(111)平面反射的布喇格角为(c)固体密度的公式为其中 a 是立方惯用晶胞边长，Z 是立方惯用晶胞中的原子数，M 为原于的质量，对体心立方铁，Z2，3262355.8 109.27 106.02 10Mkg将这些数值代入到的表达式中，得到222GGGIuN，正比于基元的几何结构因子的平方13.计算体心立方结构的几何结构因子并讨论其晶面的消光条件。解解：晶体的几何结构因子公式为其中ir是基元中第 i 个原子的坐标k是倒易点阵矢量将ir和k的表达式代入式几何结构因子公式中得到体心立方结构基元包含两个全同的原子它们的位置是（000）和（212121）而原子
25、的散射因子体心立方结构的结构因子可见当米勒指数和为奇数的面为衍射消光面。14.计算面心立方结构的几何结构因子并讨论其晶面的消光条件。解：晶体的几何结构因子公式为其中ir是基元中第 i 个原子的坐标k是倒易点阵矢量将ir和k的表达式代入式几何结构因子公式中得到面心立方结构基元包含四个全同的原子它们的位置是（000）和（02121）（21021）（21210）而原子的散射因子面心立方结构的结构因子当指数hkl部分为奇数或部分为偶数时，结构因子为零，相应的反射消光15.计算简立方结构的几何结构因子并讨论其晶面的消光条件。解：解：晶体的几何结构因子公式为其中ir是基元中第 i 个原子的坐标k是倒易点阵
26、矢量将ir和k的表达式代入式几何结构因子公式中得到-第 17 页简单立方结构基元包含一个全同的原子它们的位置是（000）而原子的散射因子为f简立方结构的结构因子可见简立方结构的晶体无反射消光面16.计算金刚石结构的几何结构因子，并讨论其反射消光条件。解：晶体的几何结构因子公式为其中ir是基元中第 i 个原子的坐标k是倒易点阵矢量将ir和k的表达式代入式几何结构因子公式中得到面心立方结构基元包含八个全同的原子 它们的位置是(000)、(11022)、(1 102 2)、(1 102 2)、(1 1 14 4 4)、(1 3 34 4 4)、(3 3 14 4 4)、(3 1 34 4 4)而原子
27、的散射因子面心立方结构的结构因子当123,l l l全为偶数，且1234llln（n为整数），fFhkl8。当123,l l l全为偶数，且12342llln（n为整数），0hklF。当123,l l l全为奇数，且11sfi，)1(4ifFhkl。当123,l l l部分为偶数，部分为奇数时，0hklF。所以，金刚石结构允许的反射是所有指数123,l l l均为偶数且1234llln，或者123,l l l全为奇数17.氯化钠结构的结构因子，并讨论其反射消光条件。解：解：晶体的几何结构因子公式为其中ir是基元中第 i 个原子的坐标k是倒易点阵矢量将ir和k的表达式代入式几何结构因子公式中得到面心立方结构基元包含一个Cl，位于(000)，一个 Na+，位于(1 1 12 2 2)。而原子的散射因子分别为Clf和Naf面心立方结构的基元的几何结构因子是结构因子现在把这样一个基元放在 fcc 点阵的阵点上，用 s 代替 fcc 结构因子中的f就得到NaCl 结构立方惯用晶胞的结构因子