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1、-第 1 页圆知识点总结及圆知识点总结及归纳归纳-第 2 页第一第一讲讲 圆的方程圆的方程一、知识清单一、知识清单（一）圆的定义及方程（一）圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆心：D2，E2，半径：12D2E24F1、圆的标准方程与一般方程的互化、圆的标准方程与一般方程的互化（1）将圆的标准方程(xa)2(yb)2r2展开并整理得 x2y22ax2bya2b2r20，取 D2a，E2b，Fa2b2r2，得 x2y2DxEyF0.（2）将圆的一般方程 x2y
2、2DxEyF0 通过配方后得到的方程为：(xD2)2(yE2)2D2E24F4当 D2E24F0 时，该方程表示以(D2，E2)为圆心，12D2E24F为半径的圆；当 D2E24F0 时，方程只有实数解 xD2，yE2，即只表示一个点(D2，E2)；当 D2E24Fr2.（2）若 M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.（3）若 M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.(三三)直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系方法一：方法二：-第 3 页（四）圆与圆的位置关系（四）圆与圆的位置关系1 外离2 外切3 相交4 内切5 内含（五）圆的参数方程（五）圆的参数方程（六
3、六）温馨提示）温馨提示1、方程 Ax2BxyCy2DxEyF0 表示圆的条件是：（1）B0；（2）AC0；（3）D2E24AF0.2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上（2）圆心在任一弦的中垂线上（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线3、中点坐标公式：已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 M(x，y)是线段 AB的中点，则 x122xx，y122yy.二、典例归纳考点一：有关圆的标准方程的求法【例 1】圆2220 xaybmm的圆心是，半径是.【例 2】点(1,1)在圆(xa)2(ya)24 内，则实数 a
4、的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(，1)(1，)D(1，)【例 3】圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21【例 4】圆(x2)2y25 关于原点 P(0,0)对称的圆的方程为()A(x2)2y25Bx2(y2)25C(x2)2(y2)25Dx2(y2)25-第 4 页【变式 1】已知圆的方程为 12240 xxyy，则圆心坐标为【变式 2】已知圆 C 与圆2211xy关于直线yx 对称，则圆 C 的方程为【变式 3】若圆 C 的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 4x3y0 和 x
5、 轴都相切，则该圆的标准方程是()A(x3)2y7321B(x2)2(y1)21C(x1)2(y3)21D.x322(y1)21【变式 4】已知ABC的顶点坐标分别是1,5A，5,5B，6,2C，求ABC外接圆的方程.方法总结方法总结：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于 a，b，r 的方程组2利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用考点二、有关圆的一般方程的求法考点二、有关圆的一般方程的求法【例 1】若方程 x2y24mx2y5m0 表示圆，则m的取值范围是()A.14m1Bm14或 m1Cm14Dm1【例 2】将圆 x2y22x4y10 平
6、分的直线是()Axy10Bxy30Cxy10Dxy30【例 3】圆 x22xy230的圆心到直线 x 3y30的距离为_【变式 1】已知点P是圆22:450C xyxay上任意一点，P点关于直线210 xy 的对称点也在圆 C 上，则实数a=【变式 2】已知一个圆经过点3,1A、1,3B，且圆心在320 xy上，求圆的方程.【变式 3】平面直角坐标系中有0,1,2,1,3,4,1,2ABCD 四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？【变式 4】如果三角形三个顶点分别是 O(0,0)，A(0,15)，B(8,0)，则它的内切圆方程为_-第 5 页方法总结：1利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于
7、D，E，F 的方程组2熟练掌握圆的一般方程向标准方程的转化考点三、与圆有关的轨迹问题【例 1】动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，则动点 P 的轨迹方程为()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216Dx2(y1)216【例 2】方程225yx 表示的曲线是（）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆【例 3】在ABC中，若点,CB的坐标分别是（-2,0）和（2,0），中线 AD 的长度是 3，则点 A 的轨迹方程是（）A.223xyB.224xyC.2290 xyyD.2290 xyx【例 4】已知一曲线是与两个定点 O(0,0)，A(3,0)距
8、离的比为12的点的轨迹求这个曲线的方程，并画出曲线【变式 1】方程2111xy 所表示的曲线是（）A.一个圆B.两个圆C.一个半圆D.两个半圆【变式 2】动点 P 到点 A(8,0)的距离是到点 B(2,0)的距离的 2 倍，则动点 P 的轨迹方程为()Ax2y232Bx2y216C(x1)2y216Dx2(y1)216【变式 3】如右图，过点 M(6,0)作圆 C：x2y26x4y90 的割线，交圆 C 于 A、B两点，求线段 AB 的中点 P 的轨迹【变式 4】如图，已知点 A(1,0)与点 B(1,0)，C 是圆 x2y21 上的动点，连接 BC 并延长至 D，使得|CD|BC|，求 A
9、C 与 OD 的交点 P 的轨迹方程方法总结：方法总结：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：（1）直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点-第 6 页坐标，找出动点满足的条件，然后化简(2)定义法：根据直线、圆等定义列方程(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等考点四：与圆有关的最值问题【例 1】已知圆 x2y22x4ya0 关于直线 y2xb 成轴对称，则 ab 的取值范围是_【例 2】已知 x，y 满足 x2y21，则y2x1的最小值为_【例 3】已知点 M 是直线 3x4y20 上的动点，点 N 为圆
10、(x1)2(y1)21 上的动点，则|MN|的最小值是()A.95B1C.45D.135【例 4】已知实数 x，y 满足(x2)2(y1)21 则 2xy 的最大值为_，最小值为_【变式 1】P(x，y)在圆 C：(x1)2(y1)21 上移动，则 x2y2的最小值为_【变式 2】由直线 yx2 上的点 P 向圆 C：(x4)2(y2)21 引切线 PT(T 为切点)，当|PT|最小时，点 P 的坐标是()A(1,1)B(0,2)C(2,0)D(1,3)【变式 3】已知两点 A(2,0)，B(0,2)，点 C 是圆 x2y22x0 上任意一点，则ABC 面积的最小值是_【变式 4】已知圆 M 过两点 C(1，1)，D(1,1)，且圆心 M 在 xy20 上（1）求圆 M 的方程；（2）设 P 是直线 3x4y80 上的动点，PA、PB 是圆 M 的两条切线，A，B为切点，求四边形 PAMB 面积的最小值方法总结：方法总结：解决与圆有关的最值问题的常用方法（1）形如 uybxa的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题（2）形如 taxby 的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；（3）形如(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题（4）一条直线与圆相离，在圆上找一点到直线的最大（小）值：dr（其中 d为圆心到直线的距离）