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1、证明不等式的基本方法2021/8/11 星期三1一、比较法一、比较法(1)作差比较法作差比较法2021/8/11 星期三22021/8/11 星期三3下面给出证明下面给出证明2021/8/11 星期三4(2)作商比较法作商比较法2021/8/11 星期三52021/8/11 星期三6补充练习补充练习:DA2021/8/11 星期三7ABQPM2021/8/11 星期三8二、综合法与分析法二、综合法与分析法(1)综合法综合法在不等式的证明中在不等式的证明中,我们经常从已知条件和不等式的性我们经常从已知条件和不等式的性质、基本不等式等出发质、基本不等式等出发,通过逻辑推理通过逻辑推理,推导出所要证
2、明推导出所要证明的结论的结论.这种从已知条件出发这种从已知条件出发,利用定义、公理、定理、利用定义、公理、定理、性质等性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种这种证明方法叫做证明方法叫做综合法综合法.又叫又叫顺推证法或由因导果法顺推证法或由因导果法.用综合法证明不等式的逻辑关系用综合法证明不等式的逻辑关系2021/8/11 星期三92021/8/11 星期三102021/8/11 星期三112021/8/11 星期三12(2)分析法分析法从要证的结论出发从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件,直直至所需条件为已知条件
3、或一个明显成立的事实至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、定义、公理或已证的定理、性质等公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成从而得出要证的命题成立立,这种证明方法叫做这种证明方法叫做分析法分析法.这是一种这是一种执果索因执果索因的思的思考和证明方法考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系用分析法证明不等式的逻辑关系2021/8/11 星期三13用分析法证用分析法证“若若A则则B”这个命题的模式是这个命题的模式是:为了证明命题为了证明命题B为真为真,只需证明命题只需证明命题B1为真为真,从而有从而有只需证明命题只需证明命题B2为真为真,从而有从而有 只需证明命题只需证明命
4、题A为真为真.而已知而已知A为真为真,故故B必真必真.2021/8/11 星期三142021/8/11 星期三152021/8/11 星期三162021/8/11 星期三17三、反证法与放缩法三、反证法与放缩法(1)反证法反证法先假设要证的命题不成立先假设要证的命题不成立,以此为出发点以此为出发点,结合已知条结合已知条件件,应用公理应用公理,定义定义,定理定理,性质等性质等,进行正确的推理进行正确的推理,得得到和命题的条件到和命题的条件(或已证明的定理或已证明的定理,性质性质,明显成立的明显成立的事实等事实等)矛盾的结论矛盾的结论,以说明假设不正确以说明假设不正确,从而证明原从而证明原命题成立
5、命题成立,这种方法称为这种方法称为反证法反证法.对于那些直接证明比对于那些直接证明比较困难的命题常常用反证法证明较困难的命题常常用反证法证明.2021/8/11 星期三182021/8/11 星期三192021/8/11 星期三20反证法主要适用于以下两种情形反证法主要适用于以下两种情形(1)要证的结论与条件之间的联系不明显要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条直接由条件推出结论的线索不够清晰件推出结论的线索不够清晰;(2)如果从正面证明如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证明论而从反面进行证明,只研究一种或很少的几种情形只研究一种或很少的几种
6、情形.2021/8/11 星期三21(2)放缩法放缩法证明不等式时证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小或缩小,可以使不等式中有关项之间的大小关系更加可以使不等式中有关项之间的大小关系更加明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形明确或使不等式中的项得到简化而有利于代数变形,从而达到证明的目的从而达到证明的目的,我们把这种方法称为我们把这种方法称为放缩法放缩法.通常放大或缩小的方法是不唯一的通常放大或缩小的方法是不唯一的,因而放缩法具有因而放缩法具有较在原灵活性较在原灵活性;另外另外,用放缩法证明不等式用放缩法证明不等式,关键是放、关键是放、缩适当缩适当,否则就不能达到目的否则就不能达到目的,因此放缩法是技巧性较因此放缩法是技巧性较强的一种证法强的一种证法.2021/8/11 星期三222021/8/11 星期三232021/8/11 星期三242021/8/11 星期三25补充例题补充例题:2021/8/11 星期三262021/8/11 星期三272021/8/11 星期三282021/8/11 星期三29