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1、第一章 章末总结（二）定积分及其应用2021/8/9 星期一11、求曲边梯形的思想方法是什么？、求曲边梯形的思想方法是什么？2、定积分的几何意义、物理是什么？、定积分的几何意义、物理是什么？3、微积分基本定理是什么？、微积分基本定理是什么？2021/8/9 星期一2求由连续曲线求由连续曲线y=f(x)对应的对应的曲边梯形曲边梯形面积的方法面积的方法 (2)取取近近似似求求和和:任任取取x xi xi-1,xi，第第i个个小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积用用高为高为f(x xi)而宽为而宽为D Dx的小矩形面积的小矩形面积f(x xi)D Dx近似之。近似之。(3)取极限取极限:，所求曲边所求曲
2、边梯形的梯形的面积面积S为为 取取n个小矩形面积的和作为曲边梯个小矩形面积的和作为曲边梯形面积形面积S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xi (1)分割分割:在区间在区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入n-1个点个点,将它等分成将它等分成n个小区间个小区间:每个小区间宽度每个小区间宽度x2021/8/9 星期一3定积分的定义定积分的定义 如果当n时，S 的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作从求曲边梯形面积从求曲边梯形面积S的过程中可以看出的过程中可以看出,通过通过“四步曲四步曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取极限得到解决取极
3、限得到解决.2021/8/9 星期一4定积分的定义：定积分的相关名称：定积分的相关名称：叫做积分号，叫做积分号，f(x)叫做被积函数，叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式，叫做被积表达式，x 叫做积分变量，叫做积分变量，a 叫做积分下限，叫做积分下限，b 叫做积分上限，叫做积分上限，a,b 叫做积分区间。叫做积分区间。2021/8/9 星期一5被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量积分下限积分下限积分上限积分上限2021/8/9 星期一6 按定积分的定义，有 (1)由连续曲线y=f(x)(f(x)0)，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为 (2)设物体运动的速度
4、v=v(t)，则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为定积分的定义：2021/8/9 星期一72021/8/9 星期一8 例例1、求曲线、求曲线 与直线与直线 x轴所围成的图形面积。轴所围成的图形面积。略解：根据定积分的几略解：根据定积分的几何意义所求面积为何意义所求面积为 2021/8/9 星期一9（一）利用定积分求平面图形的面积一）利用定积分求平面图形的面积 平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积2021/8/9 星期一10平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积平面图形的面积2021/8/9 星期一11平面图形的面积平面图形的面积 特特别别注意注意图图形面形面积积与定
5、与定积积分不一定相等分不一定相等,的的图图像与像与轴围轴围成的成的图图形的面形的面积为积为4,而其定而其定积积分分为为0.如函数如函数2021/8/9 星期一12 1 1、求直线、求直线 与抛物线与抛物线 所围成的图形面积。所围成的图形面积。略解：如略解：如图图直直线线与抛物与抛物线线的交点的交点坐坐标为标为（1 1，1 1）和（和（3，9），则），则2021/8/9 星期一132、求由抛物线、求由抛物线 及其在点及其在点M（0，3）和和N（3，0）处的两条切线所围成的）处的两条切线所围成的图形的面积。图形的面积。xyoy=x2+4x-3略解：略解：则则在在M M、N N点点处处的切的切线线方
6、程方程分分别为别为、（3/2，3）2021/8/9 星期一143、在曲线在曲线 上的某点上的某点A处作一切线处作一切线使之与曲线以及使之与曲线以及轴所围成的面积为轴所围成的面积为.试求：切点试求：切点A的坐标以及切线方程的坐标以及切线方程.x yOy=x2ABC略解：略解：设设切点坐切点坐标为标为则切线方程为则切线方程为切切线线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为2021/8/9 星期一15 则则由由题题可知有可知有所以切点坐所以切点坐标标与切与切线线方程分方程分别为别为x yOy=x2ABC2021/8/9 星期一16 （1）画图）画图,并将图形分割为若干个并将图形分割为若干个曲边梯形；曲边梯
7、形；（2）对每个曲边梯形确定其存在）对每个曲边梯形确定其存在的范围的范围,从而确定积分的上、下限；从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和）求出各曲边梯形的面积和,即即各积分的绝对值的和。各积分的绝对值的和。小结小结:求平面图形面积的方法与步骤：求平面图形面积的方法与步骤：2021/8/9 星期一17以及以及(1)曲曲线线与直与直线线轴轴所所围围成的曲成的曲边边梯形的面梯形的面积积：以及以及(2)曲曲线线与直与直线线轴轴所所围围成的曲成的曲边边梯形的面梯形的面积积：yabxyabxb几种常几种常见见的曲的曲边边梯形面梯形面积积的的计计算方法：算方法：2021/8/9 星期一18(3)两条曲两条曲线线与直与直线线围围成的曲成的曲边边梯形的面梯形的面积积:yaxbyabxb2021/8/9 星期一194、求曲线、求曲线与曲线与曲线以及以及轴所围成的图形面积。轴所围成的图形面积。略解：略解：如图如图由由得得当当 时时则则所求所求图图形的面形的面积为积为由由得得2021/8/9 星期一20