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1、第三章第三章数列、推理与证明2021/8/9 星期一1直接直接证明与明与间接接证明明第第2323讲讲2021/8/9 星期一2综合法的应用综合法的应用 2021/8/9 星期一32021/8/9 星期一4点评2021/8/9 星期一52021/8/9 星期一62021/8/9 星期一7分析法的应用分析法的应用 2021/8/9 星期一82021/8/9 星期一92021/8/9 星期一10点评 本题主要考查用分析法证明不等式及分析问题、解决问题的能力此题是一个开放性问题，寻找常数c需要根据题目条件，观察问题的特点，确定c的值，这是解决此类问题的关键；其次由于不等式的结构复杂，从已知入手，非常困
2、难，采用分析法，化繁为简，顺利找到不等式成立的必要条件当要证的不等式较为复杂，已知与待证间的联系不明显时，一般采用分析法 2021/8/9 星期一112021/8/9 星期一122021/8/9 星期一13反证法的应用反证法的应用 2021/8/9 星期一142021/8/9 星期一15点评 反证法是间接证法中的一种重要方法，体现了同一问题的另一种研究方法当问题处于“否定性”“唯一性”或“无限性”背景时，往往会出现“至多”“至少”或“全都”等词，这类命题一般都采用反证法 2021/8/9 星期一16【变式练习3】求证：三条抛物线ycx22axb，yax22bxc，ybx22cxa(a、b、c为
3、非零实数)中至少有一条与x轴有交点 2021/8/9 星期一17【证明】假设三条抛物线都与x轴均无交点，则方程 cx22axb0的判别式14a24bc0.同理，24b24ac0，34c24ab0，则1234a24b24c24ab4bc4ac0，所以2(ab)22(bc)22(ca)20，这与2(ab)22(bc)22(ca)20相矛盾，故假设不成立所以三条抛物线中至少有一条与x轴有交点 2021/8/9 星期一181.已知p：关于x的不等式x22axa0的解集是R，q：1a0，则p是q的_【解析】由4a24a0，可得1aa0)，其浓度为_；若再加入m(m0)千克糖，糖水更甜了，根据这一生活常识
4、，提炼出一个常见的不等式为_2021/8/9 星期一214.证明：a2ab与b2ab(其中a，bR)中至少有一个是非负数 2021/8/9 星期一222021/8/9 星期一23 1在数学问题解决过程中，不可能离开数学的证明求解数学题，每个步骤的实施，都离不开证明的因素，所以证明是包含在推理过程之中的证明一般分直接证明与间接证明两种 2021/8/9 星期一24 直接证明是从已知或事实出发，遵照一定的逻辑程序推出问题的结论的一种证明方法，它主要有综合法和分析法两种综合法是由已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，它的一般步骤是(已知)p0p1p2pn(结论)分析法正好与综合法的思维顺序相反，即
5、先假设结论是正确的，由此逐步推出保证结论成立的必要判断，当这些判断恰好都是已知命题(正确的命题或关系)时，所要研究的问题就得到证明，它的一般步骤是(结论)pnp2p1(已知)2021/8/9 星期一252021/8/9 星期一26 3反证法的证明步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)归谬：从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)存真：由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立其中归谬是反证法的关键也是难点，导出矛盾的过程没有固定模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水、无本之木，同时注意推理必须严谨 2021/8/9 星期一27 4常用反证法的题型：(1)用直接证法证明比较困难的一些几何问题，尤其是证两条直线是异面直线与唯一性问题，常采用反证法；(2)关于否定性问题的证明一般都使用反证法加以证明；(3)命题中含有“至多”“至少”“不多于”或“最多”等词语的命题的证明，一般用反证法 2021/8/9 星期一28