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1、3.4.1基本不等式-均值不等式2021/8/9 星期一1教学目标教学目标 推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。教学重点：教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理；利用均值定理求极值。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。2021/8/9 星期一2 如果如果a，bR，那么那么a2+b22ab（当且仅当（当且仅当a=b 时取时取“=”）证明：证明：1指出定理适用范围：指出定理适用范围：2强调取强调取“=”的条件：的条件：定理：定理：2021/8/9 星期一3 如果如果a,
2、bR+，那么，那么（当且仅当（当且仅当a=b 时，式中等号成立）时，式中等号成立）证明：证明：即：即：当且仅当当且仅当a=b时时均值定理：均值定理：2021/8/9 星期一4注意：注意：1适用的范围：适用的范围：a,b 为非负数为非负数.2语言表述：语言表述：两个非负数两个非负数的算术平的算术平均数均数不小于不小于它们的几何平均数。它们的几何平均数。称称为为a，b的算术平均数，的算术平均数，3.我们把不等式我们把不等式 (a0,b0)称为基本不等式称为基本不等式称称的几何平均数。的几何平均数。为为a，b2021/8/9 星期一5把把看做两个看做两个正数正数a，b的等差中项，的等差中项，看做看做
3、正数正数a，b的等比中项，的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比它们的等比中项。中项。还有没有其它的证明方法证明上面还有没有其它的证明方法证明上面的基本不等式呢的基本不等式呢?2021/8/9 星期一6几何直观解释：几何直观解释：令令正正数数a，b为为两两条条线线段段的的长长，用用几几何何作作图图的的方方法法，作作出出长长度度为为和和的的两两条条线线段段，然然后后比比较较这这两两条条线线段段的的长长。具体作图如下：具体作图如下：（1）作线段）作线段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB为直径作
4、半圆为直径作半圆O；（3）过）过D点作点作CDAB于于D，交半圆于点，交半圆于点C2021/8/9 星期一7（4）连接）连接AC，BC，CA，则，则当当ab时，时，OCCD，即，即当当a=b时，时，OC=CD，即，即2021/8/9 星期一8例例1已知已知ab0，求证：，求证：，并，并推导出式中等号成立的条件。推导出式中等号成立的条件。证明：因为证明：因为ab0，所以，所以 ，根据均值不等式得根据均值不等式得即即当且仅当当且仅当 时，即时，即a2=b2时式中等号时式中等号成立，成立，因为因为ab0，即，即a，b同号，所以式中等号成同号，所以式中等号成立的条件是立的条件是a=b.2021/8/9
5、 星期一9例例2（1）一个矩形的面积为）一个矩形的面积为100m2，问，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长是）已知矩形的周长是36m，问这个矩，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？最大面积是多少？分析：在（分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是）中，矩形的长与宽的乘积是一个常数，求长与宽的和的一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；倍的最小值；在（在（2）中，矩形的长与宽的和的）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个倍是一个常数，求长
6、与宽的乘积的最大值。常数，求长与宽的乘积的最大值。2021/8/9 星期一10解：（解：（1）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有，依题意有xy=100(m2)，因为因为x0，y0，所以，所以，因此，即因此，即2(x+y)40。当且仅当当且仅当x=y时，式中等号成立，时，式中等号成立，此时此时x=y=10。因此，当这个矩形的长与宽都是因此，当这个矩形的长与宽都是10m时，时，它的周长最短，最短周长是它的周长最短，最短周长是40m.2021/8/9 星期一11（2）设矩形的长、宽分别为）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，依题意有依题意有2(x+y)=36，
7、即，即x+y=18，因为因为x0，y0，所以，所以，因此因此 将这个正值不等式的两边平方，得将这个正值不等式的两边平方，得xy81,当且仅当当且仅当x=y时，式中等号成立，时，式中等号成立，此时此时x=y=9，2021/8/9 星期一12因此，当这个矩形的长与宽都是因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，时，它的面积最大，最大值是它的面积最大，最大值是81m2。规律：规律：两个正数的积为常数时，它们的和有两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有两个正数的和为常数时，它们的积有最大值。最大值。2021/8/9 星期一13例例3求函数求函数 的最大的最大值，及此
8、时值，及此时x的值。的值。解：解：，因为，因为x0，所以所以得得因此因此f(x)2021/8/9 星期一14当且仅当当且仅当 ，即，即 时，式中等时，式中等号成立。号成立。由于由于x0，所以，所以 ，式中等号成立，式中等号成立，因此因此 ，此时，此时 。2021/8/9 星期一15 下面几道题的解答可能下面几道题的解答可能有错有错，如果，如果错了错了，那么那么错错在哪里？在哪里？已知函数已知函数 ，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x的取值的取值 运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件2021/8/9 星期一16已知函数，已知函数，求函
9、数的最小值求函数的最小值 用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这这个条件个条件2021/8/9 星期一17用均值不等式求最值用均值不等式求最值,必须注意必须注意“相等相等”的条的条件件.如果取等的条件不成立如果取等的条件不成立,则不能取到该最值则不能取到该最值.2021/8/9 星期一18 1.已知已知x0,y0,xy=24,求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值4 已知已知x0,y0,且且x+2y=1,求求的最小值的最小值2 已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值练习题：练习题：当当x=6,y=4时时,最小值为最小值为48最小值为最小值为83.已知已知x0，求函数，求函数 的最大值的最大值.2021/8/9 星期一19