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1、第七章第七章 多属性决策分析多属性决策分析广西大学数学与信息科学学院广西大学数学与信息科学学院运筹管理系运筹管理系第七章第七章 多属性决策分析多属性决策分析属性属性(attribute)指备选方案的特征、品质或性能参数。指备选方案的特征、品质或性能参数。社会经济系统的决策问题，往往涉及不同属社会经济系统的决策问题，往往涉及不同属性的多个指标性的多个指标多属性决策多属性决策。实际问题常常有多个决策目标，每个目标的实际问题常常有多个决策目标，每个目标的评价准则往往也不是只有一个，而是多个评价准则往往也不是只有一个，而是多个多目标、多准则决策问题多目标、多准则决策问题。多目标决策和多属性决策统称多准
2、则决策多目标决策和多属性决策统称多准则决策(multi-criterion decision making)。多目标决策与多属性决策的划分多目标决策与多属性决策的划分多目标决策多目标决策(multi-objective decision making)决策变量是连续型的（即备选方案有无限多决策变量是连续型的（即备选方案有无限多个），求解这类问题的关键是向量优化，即个），求解这类问题的关键是向量优化，即数学规划问题。数学规划问题。多属性决策多属性决策(multi-attribute decision making)。决策变量是离散型的（即备选方案数量为有决策变量是离散型的（即备选方案数量为有限多
3、个），求解这类问题的核心是对各备选限多个），求解这类问题的核心是对各备选方案进行评价后排定各方案的优劣次序，再方案进行评价后排定各方案的优劣次序，再从中择优从中择优。7.1多属性决策指标体系多属性决策指标体系多属性多指标综合评价有两个显著特点多属性多指标综合评价有两个显著特点:指标间的不可公度性指标间的不可公度性即多属性指标之间没有统一量纲，难用同一即多属性指标之间没有统一量纲，难用同一标准进行评价。标准进行评价。指标之间的矛盾性指标之间的矛盾性提高了这个指标值，可能损害另一指标值提高了这个指标值，可能损害另一指标值。问题：问题：如何解决指标间的不可公度性和矛盾性？如何解决指标间的不可公度性和
4、矛盾性？7.1多属性决策指标体系多属性决策指标体系7.1.1指标体系的基本概念指标体系的基本概念 多属性决策的指标体系多属性决策的指标体系由多个相互联系、相互依存的评价指标，按由多个相互联系、相互依存的评价指标，按照一定层次结构组合而成，具有特定评价功照一定层次结构组合而成，具有特定评价功能的有机整体能的有机整体。单一的评价指标只能反映社会经济系统的某单一的评价指标只能反映社会经济系统的某一具体特征，要全面、准确地评价一个系统，一具体特征，要全面、准确地评价一个系统，首先要构建合理的指标体系首先要构建合理的指标体系。社会经济系统常用的评价指标社会经济系统常用的评价指标 经经济济性性指指标标 社
5、会经济系统常用的评价指标社会经济系统常用的评价指标 社社会会性性指指标标 技技术术性性指指标标 资资源源性性指指标标 政政策策性性指指标标 基基础础设设施施指指标标 其其他他指指标标产产值值、收收入入、成成本本、税税金金、投投资资额额、投投资资回回收收期期、固固定定资资产产等等等等人人员员素素质质、社社会会福福利利、生生态态环环境境、就就业业机机会会等等产产品品性性能能、可可靠靠性性、工工艺艺水水平平、人人员员素素质质等等矿矿产产资资源源、水水源源、土土地地、人人力力等等国国家家和和地地方方的的政政策策、法法令令、计计划划等等交交通通、供供水水、供供电电等等特特定定决决策策系系统统的的特特有有
6、指指标标，如如净净现现值值7.1多属性决策指标体系多属性决策指标体系7.1.2指标体系设置的原则指标体系设置的原则 系统性原则系统性原则v指标体系应反映系统的整体性能和综合情况，指标体系应反映系统的整体性能和综合情况，指标体系的整体评价功能应大于各指标的简指标体系的整体评价功能应大于各指标的简单总和。单总和。v指标体系应层次清晰，结构合理，相互关联，指标体系应层次清晰，结构合理，相互关联，协调一致。协调一致。v应抓住主要因素，既能反映直接效果，又能应抓住主要因素，既能反映直接效果，又能反映间接效果，保证决策的全面性和可信度。反映间接效果，保证决策的全面性和可信度。7.1多属性决策指标体系多属性
7、决策指标体系7.1.2指标体系设置的原则指标体系设置的原则 可比性原则可比性原则v决策指标和评价标准的制定应客观实际，便决策指标和评价标准的制定应客观实际，便于比较。于比较。v指标间应避免显见的包含关系，隐含的相关指标间应避免显见的包含关系，隐含的相关关系应以适当的方法加以消除。关系应以适当的方法加以消除。v不同量纲的指标应按特定的规则作标准化处不同量纲的指标应按特定的规则作标准化处理，化为无量纲指标理，化为无量纲指标，以便于整体综合评价。，以便于整体综合评价。v指标处理中应保持同趋势化，以保证指标间指标处理中应保持同趋势化，以保证指标间的可比性。的可比性。7.1多属性决策指标体系多属性决策指
8、标体系7.1.2指标体系设置的原则指标体系设置的原则 科学性原则科学性原则v定性分析与定量分析相结合。定性分析与定量分析相结合。v定量指标应注意绝对量和相对量的结合使用。定量指标应注意绝对量和相对量的结合使用。实用性原则实用性原则v指标应涵义明确，数据规范，口径一致，资指标应涵义明确，数据规范，口径一致，资料收集可靠。料收集可靠。v指标设计应符合国家和地方的政策法规，口指标设计应符合国家和地方的政策法规，口径和计算应与通用的会计、统计、业务核算径和计算应与通用的会计、统计、业务核算协调一致，便于统计和计算。协调一致，便于统计和计算。7.1多属性决策指标体系多属性决策指标体系7.1.3决策指标的
9、标准化决策指标的标准化 将不同量纲的指标，通过适当的变换，化为将不同量纲的指标，通过适当的变换，化为无量纲的标准化指标。无量纲的标准化指标。决策指标的变化方向决策指标的变化方向v效益型（正向）指标：越大越优效益型（正向）指标：越大越优v成本型（逆向）指标：越小越优成本型（逆向）指标：越小越优v中立型指标中立型指标：在某中间点最优：在某中间点最优（如人的体重）（如人的体重）7.1多属性决策指标体系多属性决策指标体系7.1.3决策指标的标准化决策指标的标准化 设有设有n个决策指标个决策指标fj（1jn）m个可行方案个可行方案ai（1 i m）m个方案个方案n个指标构成决策矩阵：个指标构成决策矩阵：
10、7.1多属性决策指标体系多属性决策指标体系7.1.3决策指标的标准化决策指标的标准化 1.向量归一化法向量归一化法 令：令：称称矩矩阵阵Y(yij)mn为为向向量量归归一一标标准准化化矩矩阵阵。矩矩阵阵Y的列向量模等于的列向量模等于1，即，即注：向量注：向量归一标准化后归一标准化后 0yij1；正、逆向指标的方向没有发生变化。正、逆向指标的方向没有发生变化。7.1.3决策指标的标准化决策指标的标准化 2.线性比例变换法线性比例变换法在决策矩阵在决策矩阵X中，中，对于正向指标对于正向指标fj，取：，取：令：令：对于负向指标对于负向指标fj，取：，取：令：令：称矩阵称矩阵Y(yij)mn为线性比例
11、标准化矩阵。为线性比例标准化矩阵。注注：经经线线性性比比例例变变换换后后 0yij1；所所有有指指标均化为正向指标；标均化为正向指标；最优值为最优值为1。7.1.3决策指标的标准化决策指标的标准化 3.极差变换法极差变换法在决策矩阵在决策矩阵X中，中，对于正向指标对于正向指标fj，取：，取：对于负向指标对于负向指标fj，取：，取：令：令：称矩阵称矩阵Y(yij)mn为极差变换标准化矩阵。为极差变换标准化矩阵。注注：经经极极差差变变换换后后 0yij1；所所有有指指标标均均化为正向指标；化为正向指标；最优值为最优值为1，最劣值为，最劣值为0。7.1.3决策指标的标准化决策指标的标准化 4.标准样
12、本变换法标准样本变换法 在决策矩阵在决策矩阵X中，中，令令：其中其中：称矩阵称矩阵Y(yij)mn为标准样本变换矩阵。为标准样本变换矩阵。注注：经经标标准准样样本本变变换换后后标标准准化化矩矩阵阵的的样样本本均均值为值为0，方差为，方差为1。7.1.3决策指标的标准化决策指标的标准化 5.定性指标量化处理方法定性指标量化处理方法 将定性指标依问题的性质划分为若干级别，将定性指标依问题的性质划分为若干级别，第一级别分别赋以不同的量值。第一级别分别赋以不同的量值。如：分五级赋以分值如：分五级赋以分值 等级等级指标指标很很低低低低一一般般高高很很高高正向指标正向指标13579逆向指标逆向指标9753
13、1分值分值【例【例7.1】某航空公司欲购买飞机某航空公司欲购买飞机按按6个决策指标对不同型号的飞机进行综合个决策指标对不同型号的飞机进行综合评价。这评价。这 6个指标是，最大速度个指标是，最大速度(f1)、最大、最大范围范围(f2)、最大负载、最大负载(f3)、价格、价格(f4)、可靠、可靠性性(f5)、灵敏度、灵敏度(f6)。现有。现有4种型号的飞机可种型号的飞机可供选择，具体指标值如下表：供选择，具体指标值如下表：指标指标指标指标(fj)机型机型机型机型(ai)最大最大最大最大速度速度速度速度(马赫马赫马赫马赫)最大最大最大最大范围范围范围范围(公里公里公里公里)最大最大最大最大负载负载负
14、载负载(千克千克千克千克)费用费用费用费用(10(106 6美美美美元元元元)可靠可靠可靠可靠性性性性灵敏灵敏灵敏灵敏度度度度a12.02.01500150020000200005.55.5一般一般一般一般很高很高很高很高a22.52.52700270018000180006.56.5低低低低一般一般一般一般a31.81.82000200021000210004.54.5高高高高高高高高a49 91800180020000200005.05.0一般一般一般一般一般一般一般一般【例【例7.1】写出决策矩阵，并进行标准化处理。写出决策矩阵，并进行标准化处理。解：解：第一步，划分各类指标第一步，划分
15、各类指标正向指标：正向指标：f1、f2、f4；负向指标：；负向指标：f4；定性指标定性指标：f5、f6。第二步，将定性指标化为定量指标，得到如下第二步，将定性指标化为定量指标，得到如下决策矩阵决策矩阵:【例【例7.1】解：解：第三步，进行标准化处理第三步，进行标准化处理1.向量归一化法向量归一化法 令：令：【例例例例7.57.5】【例【例7.1】解：解：第三步，进行标准化处理第三步，进行标准化处理2.线性比例变换法线性比例变换法 【例例例例7.47.4】3.级差变换法级差变换法7.1.3决策指标的标准化决策指标的标准化 极差变换法的改进（极差变换法的改进（P175例例6.6）在决策矩阵在决策矩
16、阵X中，中，对于正向指标对于正向指标fj，取：，取：对于负向指标对于负向指标fj，取：，取：令：令：变变换换后后 1yij100；所所有有指指标标均均化化为为正正向向指标；指标；最优值为最优值为100，最劣值为，最劣值为1。7.1多属性决策指标体系多属性决策指标体系7.1.4决策指标权重的确定决策指标权重的确定 指标权重指标权重 表示各指标相对于决策目标的重要性程度，表示各指标相对于决策目标的重要性程度，或表示一种效益替换另一种效益的比例系数。或表示一种效益替换另一种效益的比例系数。确定指标权重的方法确定指标权重的方法 v主观赋权法：根据主观经验和判断，用某种主观赋权法：根据主观经验和判断，用
17、某种特定法则测算出指标权重的方法。特定法则测算出指标权重的方法。v客观赋权法：依据决策矩阵提供的评价指标客观赋权法：依据决策矩阵提供的评价指标的客观信息，用某种特定法则测算出指标权的客观信息，用某种特定法则测算出指标权重的方法。重的方法。7.1.4决策指标权重的确定决策指标权重的确定几种常用的确定指标权重的方法几种常用的确定指标权重的方法1.相对比较法相对比较法（属于主观赋权法）（属于主观赋权法）v将所有指标按三级比例标度两两相对比较评将所有指标按三级比例标度两两相对比较评分，三级比例标度的含义是：分，三级比例标度的含义是：显然：显然：注注意意：评评分分时时应应满满足足比比较较的的传传递递性性
18、，即即若若f1比比f2重要，重要，f2又比又比f3重要，则重要，则f1比比f3重要。重要。7.1.4决策指标权重的确定决策指标权重的确定几种常用的确定指标权重的方法几种常用的确定指标权重的方法1.相对比较法相对比较法（属于主观赋权法）（属于主观赋权法）v指标指标fi的权重系数为的权重系数为【例【例7.2】确定例确定例7.1中中6个指标的权重个指标的权重解：解：1.相对比较法相对比较法指标指标指标指标fi指标指标指标指标fif1f2f3f4f5f6评分评分评分评分总计总计总计总计权重权重权重权重wif10.50.51 11 11 10.50.50 0f20 00.50.5 0.50.5 0.50
19、.50 00 0f30 00.50.5 0.50.5 0.50.50 00 0f40 00.50.5 0.50.5 0.50.50 00 0f50.50.51 11 11 10.50.50 0f61 11 11 11 11 10.50.5评分值评分值41.51.51.545.5：182/91/121/121/122/911/36几种常用的确定指标权重的方法几种常用的确定指标权重的方法2.连环比率法连环比率法（属于主观赋权法）（属于主观赋权法）v将所有指标以任意顺序排列，不妨设为：将所有指标以任意顺序排列，不妨设为：f1,f2,fn。v从前到后，依次赋以相邻两指标相对重要程从前到后，依次赋以相邻
20、两指标相对重要程度的比率值。指标度的比率值。指标fi与与fi1比较，赋以指标比较，赋以指标fi以以比率值比率值ri（i=1，2，n-1）并赋以并赋以rn=1。几种常用的确定指标权重的方法几种常用的确定指标权重的方法2.连环比率法连环比率法（属于主观赋权法）（属于主观赋权法）v计算各指标的修正评分值。赋以计算各指标的修正评分值。赋以fn的修正评分的修正评分值值kn1，根据比率值，根据比率值ri计算各指标的修正评计算各指标的修正评分值：分值：kiriki+1（i=1，2，n-1）v归一化处理，求出各指标的权重系数值。即归一化处理，求出各指标的权重系数值。即【例【例7.3】确定例确定例7.1中中6个
21、指标的权重个指标的权重解：解：2.连环比率法连环比率法指标指标指标指标fi比率值比率值修正评分值修正评分值修正评分值修正评分值指标权重指标权重指标权重指标权重wif13 3f21 1f31 1f41/31/3f51/21/2f61 111/21/61/61/61/25/21/51/151/151/151/52/5几种常用的确定指标权重的方法几种常用的确定指标权重的方法3.熵值法熵值法（属于客观赋值法）（属于客观赋值法）利用指标熵值确定权重利用指标熵值确定权重，熵越大，权重越小。熵越大，权重越小。v对决策矩阵对决策矩阵X=(xij)mn用线性比例变换法作标用线性比例变换法作标准化处理，得到标准化
22、矩阵准化处理，得到标准化矩阵Y=(yij)mn，并进，并进行归一化处理，得行归一化处理，得:v计计算算第第j个个指指标标的的熵熵值值，其中，其中，k0，ej0几种常用的确定指标权重的方法几种常用的确定指标权重的方法3.熵值法熵值法（属于客观赋值法）（属于客观赋值法）v计算第计算第j个指标的差异系数个指标的差异系数v确定指标权重。第确定指标权重。第j个指标的权重为个指标的权重为【例【例7.3】确定例确定例7.1中中6个指标的权重个指标的权重解：解：3.熵值法熵值法归一化处理得归一化处理得：【例【例7.3】确定例确定例7.1中中6个指标的权重个指标的权重解：解：计算第计算第j个指标的熵值（取个指标
23、的熵值（取k0.5）得得：差异系数：差异系数：指标权重为：指标权重为：几种常用的确定指标权重的方法几种常用的确定指标权重的方法4.专家咨询法专家咨询法(Delphi法法)（属于主观赋值法）（属于主观赋值法）v设有设有n个决策指标个决策指标f1,f2,fn，组织，组织m个专家个专家咨询，每个专家确定一组指标权重估计值咨询，每个专家确定一组指标权重估计值v对对m个个专专家家给给出出的的权权重重估估计计值值平平均均，得得到到平平均估计值均估计值v计算估计值和平均估计值的偏差计算估计值和平均估计值的偏差几种常用的确定指标权重的方法几种常用的确定指标权重的方法4.专家咨询法专家咨询法(Delphi法法)
24、（属于主观赋值法）（属于主观赋值法）v对偏差对偏差ij较大的第较大的第j个指标的权重估计值，再个指标的权重估计值，再请专家请专家i重新估计第重新估计第j个指标的权重。个指标的权重。v反复进行以上步骤，直至偏差满足一定要求反复进行以上步骤，直至偏差满足一定要求为止。这样就得到一组权重指标的平均估计为止。这样就得到一组权重指标的平均估计修正值。修正值。7.2多指标决策方法多指标决策方法7.2.1简单线性加权法简单线性加权法 根据实际情况，先确定各决策指标的权重，根据实际情况，先确定各决策指标的权重，再对决策矩阵进行标准化处理，求出各方案再对决策矩阵进行标准化处理，求出各方案的线性加权指标平均值，并
25、以此作为各可行的线性加权指标平均值，并以此作为各可行方案排序的判据方案排序的判据。注意注意 标准化处理时，应当使所有的指标标准化处理时，应当使所有的指标正向化正向化。7.2.1简单线性加权法简单线性加权法 简单线性加权法的基本步骤简单线性加权法的基本步骤用适当的方法确定各决策指标的权重，设权用适当的方法确定各决策指标的权重，设权重向量为：重向量为：决决策策矩矩阵阵X=(xij)mn标标准准化化得得Y=(yij)mn，要要求求标准化之后的指标均为正向指标；标准化之后的指标均为正向指标；求出各方案的线求出各方案的线性加权指标值：性加权指标值：选择选择ui最大者为最最大者为最满意方案，即：满意方案，
26、即：【例【例7.4】用简单线性加权法对例用简单线性加权法对例 7.1的购机问题进行的购机问题进行决策决策解：解：用适当的方法确定各决策指标的权重为：用适当的方法确定各决策指标的权重为：用线性比例法将决策矩阵用线性比例法将决策矩阵X=(xij)mn标准化得标准化得Y=(yij)mn；求求出出各各方方案案的的线线性性加加权权指指标标值值ui：ui最大者为最大者为0.851，故满意方案为方案，故满意方案为方案4。7.2多指标决策方法多指标决策方法7.2.2理想解法（理想解法（TOPSIS）通过构造多指标问题的通过构造多指标问题的理想解理想解和和负理想解负理想解，并以并以靠近理想解靠近理想解和和远离负
27、理想解远离负理想解两个基准，两个基准，作为评价各可行方案的判据作为评价各可行方案的判据。理想解理想解是设想各指标属性都达到最满意值的解。是设想各指标属性都达到最满意值的解。负理想解负理想解是设想各指标属性都达到最不满意值的解。是设想各指标属性都达到最不满意值的解。又称又称双基点法双基点法，逼近理想解的排序方法。，逼近理想解的排序方法。理想解与负理想解理想解与负理想解设决策问题有设决策问题有m个可行方案个可行方案 a1,a2,am，两个评价指标两个评价指标f1、f2，不妨设二指标均为，不妨设二指标均为正向正向指标指标。方案。方案ai的二指标值记为的二指标值记为xi1,xi2，于是方，于是方案案a
28、i可以用平面可以用平面f1f2上的点上的点Ai(xi1,xi2)表示。表示。记：记：则：则：理想解理想解为为 A*(x*1,x*2)；负理想解负理想解为为 A-(x-1,x-2)。理想解与负理想解理想解与负理想解f1f2OA1A2A3AmA*A-问问题题：如如何何表表示示各各方方案案目目标标值值靠靠近近理理想想解解和和远离负理想解的程度？远离负理想解的程度？相对贴近度相对贴近度设方案设方案ai对应的点对应的点Ai到理想点到理想点A*和负理想点和负理想点A-的距离分别为：的距离分别为：定义方案定义方案ai与理想解、负理想解的相对贴近与理想解、负理想解的相对贴近度为度为满足：满足：0Ci*1；理想
29、点理想点Ci*1，负理想点负理想点Ci*0；方案逼近理想解而远离负理想解时方案逼近理想解而远离负理想解时Ci*1。理想解法的基本步骤理想解法的基本步骤用用向量归一化向量归一化法对法对决策矩阵决策矩阵进行标准化处进行标准化处理，得标准化矩阵理，得标准化矩阵Y=(yij)mn；用适当的方法确定各决策指标的权重用适当的方法确定各决策指标的权重wj，计，计算加权标准化矩阵：算加权标准化矩阵：确定确定理想解理想解和和负理想解负理想解正向指标集正向指标集负向指标集负向指标集理想解法的基本步骤理想解法的基本步骤计算各方案到理想解和负理想解的距离计算各方案到理想解和负理想解的距离 计算各方案的相对贴近度计算各
30、方案的相对贴近度Ci*，相对贴近，相对贴近度大者为优，小者为劣。度大者为优，小者为劣。【例【例7.5】用理想解法对例用理想解法对例 7.1的购机问题进行决策的购机问题进行决策解：解：求决策矩阵的向量归一标准化矩阵求决策矩阵的向量归一标准化矩阵Y适当的方法确定各决策指标的权重为：适当的方法确定各决策指标的权重为：计算加权标准化矩阵：计算加权标准化矩阵：V=(wjyij)mn；正正正正正正 负！负！正正正正【例【例7.5】解：解：确定确定理想解理想解和和负理想解负理想解 计算各方案到理想解和负理想解的计算各方案到理想解和负理想解的距离距离；计算各方案的相对贴近度计算各方案的相对贴近度Ci*：Ci*
31、最大的方案最优，故满意方案为方案最大的方案最优，故满意方案为方案1。7.2多指标决策方法多指标决策方法7.2.3改进的理想解法改进的理想解法利用决策矩阵的信息，客观地赋以各指标的利用决策矩阵的信息，客观地赋以各指标的权重系数，并以各方案到理想点距离的加权权重系数，并以各方案到理想点距离的加权平方和作为综合评价的判据，更简便实用平方和作为综合评价的判据，更简便实用。设权重向量设权重向量（待定）（待定）为：为：最最优优的的权权重重系数应满足：系数应满足：符符号号含含义义与与理理想解法相同想解法相同7.2.3改进的理想解法改进的理想解法注意到：注意到：vij=wj yij用求解条件极值的拉格朗日乘数
32、法，可以解得：用求解条件极值的拉格朗日乘数法，可以解得：改进的理想解法的基本步骤改进的理想解法的基本步骤将将决策矩阵决策矩阵进行标准化得进行标准化得Y=(yij)mn确定标准化矩阵的确定标准化矩阵的理想解理想解 按式（按式（7.18）计算各指标的权重系数）计算各指标的权重系数wj(j=1,2,n)计计算算各各方方案案到到理理想想解解的的距距离离平平方方di，并并按按di对方案排序：对方案排序：di越小，方案越优。越小，方案越优。【例【例7.6】用改进的理想解法对例用改进的理想解法对例 7.1的购机问题进行决策的购机问题进行决策解：解：求决策矩阵标准化矩阵求决策矩阵标准化矩阵Y（以极差变换（以极
33、差变换标准化矩阵为例）标准化矩阵为例）正正正正正正负！正负！正正正 标准化矩阵标准化矩阵Y的理想解为的理想解为Y*=1,1,1,0,1,1【例【例7.6】解：解：按式（按式（7.18）计算各指标的权重系数计算各指标的权重系数wj 计算各方案到理想解的距离平方计算各方案到理想解的距离平方dj：得得按按dj对方案排序：对方案排序：di越小，方案越优。越小，方案越优。因此最优方案为方案因此最优方案为方案1。7.2多指标决策方法多指标决策方法7.2.4功效系数法功效系数法 将各决策指标的相异度量，转化为相应的无将各决策指标的相异度量，转化为相应的无量纲的量纲的功效系数功效系数，再进行综合评价的多指标，
34、再进行综合评价的多指标决策方法。决策方法。功效系数的计算功效系数的计算设第设第j个指标的满意值为，不允许值为个指标的满意值为，不允许值为功效系数为：功效系数为：满满意意值值的的功功效效系系数数为为100，不不允允许许值值的的功功效效系系数数60。7.2.4功效系数法功效系数法 功效系数法的基本步骤功效系数法的基本步骤确定决策指标体系确定决策指标体系设设决策矩阵为决策矩阵为X=(xij)mn，用适当的方法确用适当的方法确定指标的权重向量定指标的权重向量 计算各指标值的功效系数计算各指标值的功效系数dij 计算各方案的总功效系数计算各方案的总功效系数 以总功效系数为判据，对各方案进行排序。以总功效
35、系数为判据，对各方案进行排序。功功效效系系数数越越大大，方方案案越越优优；功功效效系系数数越越小小，方案越劣。方案越劣。【例【例7.7】用功效系数法对例用功效系数法对例 7.1的购机问题进行决策。的购机问题进行决策。解：解：用适当的方法确定指标的权重向量为用适当的方法确定指标的权重向量为计算各指标值的功效系数计算各指标值的功效系数dij负！负！【例【例7.7】解：解：计算各指标值的功效系数计算各指标值的功效系数dij 计算各方案的总功效系数计算各方案的总功效系数di 以总功效系数为判据，对各方案进行排序。以总功效系数为判据，对各方案进行排序。功功效效系系数数越越大大，方方案案越越优优；功功效效
36、系系数数越越小小，方案越劣。因此方案方案越劣。因此方案3最优。最优。7.3主成分分析法主成分分析法7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理在多指标决策中，当指标数量大，并且指标在多指标决策中，当指标数量大，并且指标之间存在某种程度的相关关系时，这不仅增之间存在某种程度的相关关系时，这不仅增加决策的工作量，也直接影响到决策的有效加决策的工作量，也直接影响到决策的有效性和可靠性。性和可靠性。问题：如何消除指标间的相关性？问题：如何消除指标间的相关性？主成分分析法（主元分析法）主成分分析法（主元分析法）是将多个指标转化成是将多个指标转化成少数几个相互无关少数几个相互无关的综的综合指标的一种多元统计
37、分析方法。合指标的一种多元统计分析方法。主成分分析体现了主成分分析体现了降维降维的思想的思想。7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理v假假定定只只有有两两个个变变量量（指指标标），分分别别以以它它们们为为坐坐标标轴轴建建坐坐标标系系，则则每每个个观观测测值值都都对对应应于于该该坐标平面上的一个点。坐标平面上的一个点。v如如果果这这些些点点形形成成一一个个椭椭圆圆形形状状的的点点阵阵（这这在在变变量量服服从从二二维维正正态态的的假假定定下下是是可可能能的的），那那么么这这个个椭椭圆圆有有一一个个长长轴轴和和一一个个短短轴轴。在在短短轴轴方方向向上上，数数据据变变化化很很少少；在在极极端端的的
38、情情况况，短短轴轴如如果果退退化化成成一一点点，那那只只有有在在长长轴轴的的方方向向才才能能够够解解释释这这些些点点的的变变化化了了；这这样样，由由二二维维到到一维的降维就自然完成了。一维的降维就自然完成了。7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理v当当坐坐标标轴轴和和椭椭圆圆的的长长短短轴轴平平行行，那那么么代代表表长长轴轴的的变变量量就就描描述述了了数数据据的的主主要要变变化化，而而代代表表短轴的变量就描述了数据的次要变化。短轴的变量就描述了数据的次要变化。v但但是是，坐坐标标轴轴通通常常并并不不和和椭椭圆圆的的长长短短轴轴平平行行。因因此此，需
39、需要要寻寻找找椭椭圆圆的的长长短短轴轴，并并进进行行变变换换，使得新变量和椭圆的长短轴平行。使得新变量和椭圆的长短轴平行。v如如果果长长轴轴变变量量代代表表了了数数据据包包含含的的大大部部分分信信息息，就就用用该该变变量量代代替替原原先先的的两两个个变变量量（舍舍去去次次要要的一维），降维就完成了。的一维），降维就完成了。v椭椭圆圆（球球）的的长长短短轴轴相相差差得得越越大大，降降维维也也越越有道理。有道理。7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理v对对于于多多维维变变量量的的情情况况和和二二维维类类似似，也也有有高高维维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。的椭球，只不过无法直观地看见罢了。v
40、首首先先把把高高维维椭椭球球的的主主轴轴找找出出来来，再再用用代代表表大大多多数数数数据据信信息息的的最最长长的的几几个个轴轴作作为为新新变变量量；这样，主成分分析就基本完成了。这样，主成分分析就基本完成了。v注注意意，和和二二维维情情况况类类似似，高高维维椭椭球球的的主主轴轴也也是是互互相相垂垂直直的的。这这些些互互相相正正交交的的新新变变量量是是原原先先变变量量的的线线性性组组合合，叫叫做做主主成成分分(principal component)。7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理v正正如如二二维维椭椭圆圆有有两两个个主主轴轴，三三维维椭椭球球有有三三个个主轴一样，有几个变量，就有几
41、个主成分。主轴一样，有几个变量，就有几个主成分。v选选择择越越少少的的主主成成分分，降降维维就就越越好好。什什么么是是标标准准呢呢？那那就就是是这这些些被被选选的的主主成成分分所所代代表表的的主主轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。轴的长度之和占了主轴长度总和的大部分。v有有些些文文献献建建议议，所所选选的的主主轴轴总总长长度度占占所所有有主主轴轴长长度度之之和和的的大大约约85%即即可可，其其实实，这这只只是是一一个个大大体体的的说说法法；具具体体选选几几个个，要要看看实实际际情情况而定。况而定。7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理设有设有 n个决策指标个决策指标fj（1jn）m个可
42、行方案个可行方案ai（1im）m个方案个方案n个指标构成决策矩阵：个指标构成决策矩阵：其中其中7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理如何用新的指标来代替原来的如何用新的指标来代替原来的n个指标个指标Xj呢？呢？新变量是原先变量的线性组合：新变量是原先变量的线性组合：满足满足7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理此外，新变量应满足：此外，新变量应满足：相互不相关相互不相关 Z1的方差最大，的方差最大，Z2,Zn的方差依次减少。的方差依次减少。新旧指标的总方差不变。新旧指标的总方差不变。7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理v满足上述条件的新变量（综合指标）满足上述条件的新变量（综合指
43、标）Z1、Z2、Zn分别称为原始指标的第分别称为原始指标的第1、第、第2、第第n个主成分（主元）。个主成分（主元）。v当当很小时，用很小时，用Z1、Z2、Zk就就 可基本上反映出原始可基本上反映出原始n个指标所包含的信息量。个指标所包含的信息量。v优点：优点：减少了评价指标个数；减少了评价指标个数；充分保留了原始指标的信息量；充分保留了原始指标的信息量；新新指指标标彼彼此此不不相相关关，避避免免了了信信息息的的交叉和重叠。交叉和重叠。7.3.1主成分分析的原理主成分分析的原理v如何求得原始指标的如何求得原始指标的n个主成分？个主成分？设设X有协方差矩阵有协方差矩阵，12n是是的从的从大到小的大
44、到小的n个特征根，个特征根，L1,L2,Ln是这是这 n个特征根对应的标准化正交特征向量。个特征根对应的标准化正交特征向量。其中其中：数数理理统统计计已已经经证证明明，原原始始指指标标的的第第j个个主主成成分分Zj为：为：7.3.2主成分分析的主成分分析的计算步骤计算步骤设有设有 n个决策指标，个决策指标，m个可行方案的决策问题。个可行方案的决策问题。决策矩阵为决策矩阵为X=(xij)mn决策矩阵标准化决策矩阵标准化（一般采用标准样本变换）（一般采用标准样本变换）其中其中：7.3.2主成分分析的主成分分析的计算步骤计算步骤决策矩阵标准化决策矩阵标准化（一般采用标准样本变换）（一般采用标准样本变
45、换）？为什么要进行决策矩阵的标准化？为什么要进行决策矩阵的标准化由于主成分是从协方差矩阵由于主成分是从协方差矩阵求得的，而协求得的，而协方差矩阵会受评价指标的量纲和数量级的影方差矩阵会受评价指标的量纲和数量级的影响，从而主成分也会因评价指标的量纲和数响，从而主成分也会因评价指标的量纲和数量级的改变而不同。量级的改变而不同。标准化指标的协方差矩阵等于其相关系数矩标准化指标的协方差矩阵等于其相关系数矩阵，而相关系数矩阵不受指标量纲或数量级阵，而相关系数矩阵不受指标量纲或数量级的影响，因此标准化后的主成分是不受原指的影响，因此标准化后的主成分是不受原指标量纲或数量级的影响的。标量纲或数量级的影响的。
46、7.3.2主成分分析的主成分分析的计算步骤计算步骤求出样本相关系数矩阵求出样本相关系数矩阵R=(rij)nn R是对称矩阵，且主对角线元素均为是对称矩阵，且主对角线元素均为1，即：，即：7.3.2主成分分析的主成分分析的计算步骤计算步骤计算相关系数矩阵计算相关系数矩阵R的特征值和对应的特征的特征值和对应的特征向量向量由特征方程由特征方程 解出解出n个特征值：个特征值：12n再由齐次线性方程组再由齐次线性方程组解出对应的特征向量：解出对应的特征向量：L1,L2,Ln7.3.2主成分分析的主成分分析的计算步骤计算步骤按累积贡献率准则提取主成分按累积贡献率准则提取主成分 计算各主成分的贡献率计算各主
47、成分的贡献率 并按累积贡献率准则，即以累积贡献率并按累积贡献率准则，即以累积贡献率为准则，提取为准则，提取k个主成分个主成分7.3.2主成分分析的主成分分析的计算步骤计算步骤分析主成分的经济意义，用主成分进行综合分析主成分的经济意义，用主成分进行综合评价评价综合评价值根据具体情况，可以取第综合评价值根据具体情况，可以取第1主成主成分；也可以按综合评价值，即以各主成分的分；也可以按综合评价值，即以各主成分的方差贡献率为权数，对方差贡献率为权数，对k个主成分线性加权个主成分线性加权求和：求和：以以Z值的大小来评判被评价对象的优劣。值的大小来评判被评价对象的优劣。7.3.3主成分分析的主成分分析的应
48、用实例应用实例用用主主成成分分分分析析法法对对14个个企企业业的的经经济济效效益益进进行行综综合合评评价价。经经过过专专家家咨咨询询，。选选取取8个个经经济济效益评价指标这些指标是：效益评价指标这些指标是：（1）净产值利润率（）；）净产值利润率（）；（2）固定资产利润率（）；）固定资产利润率（）；（3）总产值利润率（）总产值利润率（）2（4）销售收人利润率（）；）销售收人利润率（）；（5）产品成本利润率（）；）产品成本利润率（）；（6）物耗利润率（）；）物耗利润率（）；（7）人均利润率（千元）人均利润率（千元/人）；人）；（8）流动资金利润率（）；）流动资金利润率（）；14个企业个企业8个指标
49、的样本数据如下表个指标的样本数据如下表 指指标标企企业业xi1xi2xi3xi4xi5xi6xi7xi8123456789101112131440.425.013.222.334.335.622.048.440.624.812.51.832.638.524.712.73.36.711.812.57.813.417.18.09.70.613.99.17.211.23.95.67.116.49.910.919.89.84.20.79.411.36.111.04.33.77.116.710.29.919.08.94.20.78.39.58.312.94.46.08.022.812.610.929.7
50、11.94.60.89.812.238.720.25.57.48.929.317.613.939.616.26.51.113.316.42.4423.5420.5780.7161.7263.0170.8471.7722.4490.7890.8740.0562.1261.32720.09.13.67.327.526.610.617.835.813.73.91.017.111.67.3.3主成分分析的主成分分析的应用实例应用实例解解:样本数据标准化变换样本数据标准化变换求得求得样本标准化变换矩阵样本标准化变换矩阵如下表如下表yij0.9574-0.2296-1.1391-0.43770.48720