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1、 估计理论是数理统计学的重要内容之一。估计理论是数理统计学的重要内容之一。一个随机变量，当它的分布类型为已知时，如何一个随机变量，当它的分布类型为已知时，如何通过抽样研究，对它的分布函数或密度函数的参数作通过抽样研究，对它的分布函数或密度函数的参数作一个合理的估计？当我们感兴趣于它的某些数字特征一个合理的估计？当我们感兴趣于它的某些数字特征时，又如何利用子样提供的信息去作估计？估计量的时，又如何利用子样提供的信息去作估计？估计量的“最佳最佳”评选标准是什么？评选标准是什么？参数的点估计参数的点估计 用子样的一个统计量来作为总体某未知参数或某数字特征用子样的一个统计量来作为总体某未知参数或某数字
2、特征的的估计量估计量的方法称为的方法称为点估计。点估计。将样本观测值代入估计量得到一将样本观测值代入估计量得到一估计值。估计值。参数的点估计参数的点估计点估计之方法点估计之方法 1 样本数字特征法样本数字特征法 这种方法不只局限于数字特征的估计，事实上某些重要这种方法不只局限于数字特征的估计，事实上某些重要分布的分布函数或分布密度的参数与数字特征有关。分布的分布函数或分布密度的参数与数字特征有关。1.以样本均值以样本均值 作为总体均值作为总体均值 的估计量的估计量即：即：2.以样本方差以样本方差 作为总体方差作为总体方差 的估计量的估计量即：即：参数的点估计参数的点估计点估计之方法点估计之方法
3、 1 样本数字特征法样本数字特征法得：得：例例1 已知随机变量已知随机变量 X 服从指数分布服从指数分布 ，X1，X2，.X20 是它的一个样本，试估计是它的一个样本，试估计 X 的分布密度中的参数的分布密度中的参数 。解：已知解：已知又又 参数的点估计参数的点估计点估计之方法点估计之方法 2 矩法估计矩法估计当要估计的参数比较多时，样本数字特征法是不够用的，要用当要估计的参数比较多时，样本数字特征法是不够用的，要用设设 是一随机变量，是一随机变量，是它的一个样本。是它的一个样本。称称 为为样本的样本的 阶原点矩。阶原点矩。若若 存在，则称之为存在，则称之为 X 的的 阶原点矩。阶原点矩。记作
4、记作若若 存在，则称之为存在，则称之为 X 的的 阶中心矩。阶中心矩。记作记作称称 为为样本的样本的 阶中心矩。阶中心矩。矩法估计：矩法估计：参数的点估计参数的点估计点估计之方法点估计之方法 2 矩法估计矩法估计设设 是一随机变量，是一随机变量，是它的一个样本。是它的一个样本。显然，随机变量的显然，随机变量的 1 阶原点矩正是它的数学期望：阶原点矩正是它的数学期望：随机变量的随机变量的 2 阶中心矩正是它的方差：阶中心矩正是它的方差：这是总体方差除样本方差之外的另一估计量。这是总体方差除样本方差之外的另一估计量。矩法估计：矩法估计：我们有：我们有：我们有：我们有：例例2 设设 是一随机变量，是
5、一随机变量，是它的一个样本，是它的一个样本，且且 X 的分布密度如下：试估计参数的分布密度如下：试估计参数 的值。的值。解：解：由方程（由方程（1）至（）至（5），可解得未知参数之估计量：），可解得未知参数之估计量：点估计之方法点估计之方法 3 极大似然法极大似然法例例3 设盒子里装有许多白球和红球，不知道哪种球多，只知道设盒子里装有许多白球和红球，不知道哪种球多，只知道 两种球的比例是两种球的比例是 3:1，我们希望通过实验去判别白球占的，我们希望通过实验去判别白球占的 比例是比例是 1/4 还是还是 3/4。解：采用有放回抽样方式从盒子里抽取解：采用有放回抽样方式从盒子里抽取 3 个球，记
6、白球数为个球，记白球数为 X。则则其中其中 是是 1/4 或或 3/4，是待定参数。，是待定参数。就就 是是 1/4 或或 3/4 为参数值计算二项概率得下表：为参数值计算二项概率得下表：显然，当实验结果是显然，当实验结果是X=0 或或 1 时，我们认为时，我们认为反之，当实验结果是反之，当实验结果是X=2 或或 3 时，我们认为时，我们认为点估计之方法点估计之方法 3 极大似然法极大似然法 参数的点估计参数的点估计就就 是是 1/4 或或 3/4 为参数值计算二项概率得下表：为参数值计算二项概率得下表：显然，当实验结果是显然，当实验结果是X=0 或或 1 时，我们认为时，我们认为反之，当实验
7、结果是反之，当实验结果是X=2 或或 3 时，我们认为时，我们认为 因为子样是来自总体的，它能很好地反映总体的概率分布因为子样是来自总体的，它能很好地反映总体的概率分布特征，所以在作参数估计时，应从子样的观察值出发，选取使特征，所以在作参数估计时，应从子样的观察值出发，选取使得子样落在观察值的邻近的概率达到最大的参数值作为总体参得子样落在观察值的邻近的概率达到最大的参数值作为总体参数值的估计值。这就是极大似然法的原理。数值的估计值。这就是极大似然法的原理。点估计之方法点估计之方法 3 极大似然法极大似然法 参数的点估计参数的点估计定义定义6.2 设连续型总体的概率密度函数为设连续型总体的概率密
8、度函数为 是未知参数。是未知参数。样本的联合密度函数样本的联合密度函数（似然函数）（似然函数）记作记作对固定的样本值对固定的样本值 ，若有，若有使使则称参数则称参数 是是 的极大似然估计值。的极大似然估计值。对多个参数的极大似然估计的定义类似。对多个参数的极大似然估计的定义类似。对离散型情形极大似然估计的定义类似，以对离散型情形极大似然估计的定义类似，以 代替代替 则可。则可。点估计之方法点估计之方法 3 极大似然法极大似然法 参数的点估计参数的点估计对多个参数情形，极大似然方程组由各偏导为零给出。对多个参数情形，极大似然方程组由各偏导为零给出。解极大似然方程解极大似然方程 可得参数可得参数
9、的估计值。的估计值。以上式子求导更为简便，得另一以上式子求导更为简便，得另一极大似然方程：极大似然方程：又又例例4 设设 是一随机变量，是一随机变量，是它的一个样本。是它的一个样本。X 的分布密度如下，求参数的分布密度如下，求参数 的极大似然估计量。的极大似然估计量。其它其它解：似然函数（当解：似然函数（当 时）：时）：由似然方程：由似然方程：参数参数 的极大似然估计量为的极大似然估计量为 估计量的评选标准估计量的评选标准 用不同的估计方法或从不同的角度出发作估计，很有可能用不同的估计方法或从不同的角度出发作估计，很有可能得到不同的估计量，怎么判别出哪一个得到不同的估计量，怎么判别出哪一个“更
10、佳更佳”呢？呢？1无偏性无偏性定义定义 6.3 设设 是参数是参数 的一个估计量，若的一个估计量，若 成立，则称成立，则称 是是 的的无偏估计量。无偏估计量。如：设如：设 是一随机变量，是一随机变量，是它的一个样本。是它的一个样本。因为因为所以样本均值是总体均值的无偏估计量。所以样本均值是总体均值的无偏估计量。因为因为为方便起见，记总体均值为为方便起见，记总体均值为 方差为方差为所以样本方差是总体方差的无偏估计量。所以样本方差是总体方差的无偏估计量。所以所以与与 有相同的有相同的 和和 估计量的评选标准估计量的评选标准因为因为 所以除样本均值外，总体均值有许多无偏估计量。那么，所以除样本均值外
11、，总体均值有许多无偏估计量。那么，当一个参数的无偏估计量不只一个时，怎样判定哪一个更好当一个参数的无偏估计量不只一个时，怎样判定哪一个更好呢？呢？设设 是一随机变量，是一随机变量，是它的一个样本是它的一个样本,若估计量的方差较大，即各估计值的差异较大，于是，用若估计量的方差较大，即各估计值的差异较大，于是，用一个具体的估计值去代表总体参数时易产生较大的误差。所以一个具体的估计值去代表总体参数时易产生较大的误差。所以我们从估计量的方差的角度给出另一评选标准。我们从估计量的方差的角度给出另一评选标准。估计量的评选标准估计量的评选标准二二.优效性（有效性）优效性（有效性）定义定义 6.4 设设 都是
12、参数都是参数 的无偏估计量，若的无偏估计量，若 ，即，即则称则称 较较 优效（有效）。当样本容量固定时，使优效（有效）。当样本容量固定时，使达到最小值的达到最小值的 称为称为 的的优效估计量。优效估计量。估计量的评选标准估计量的评选标准二二.优效性（有效性）优效性（有效性）设设 是一随机变量，是一随机变量，是它的一个样本是它的一个样本,因为因为所以，作为总体期望的估计量，所以，作为总体期望的估计量，较较 更佳。更佳。进一步可证，进一步可证，是总体期望是总体期望的优效估计量。的优效估计量。估计量的评选标准估计量的评选标准 无偏性和优效性（有效性）是估计量的两个主要无偏性和优效性（有效性）是估计量
13、的两个主要评选标准，要做到两者兼顾，方能找到评选标准，要做到两者兼顾，方能找到“最佳最佳”估计量，估计量，比如，当无偏估计量的方差都不足够小时，用它的某比如，当无偏估计量的方差都不足够小时，用它的某观察值作为总体参数的估计值仍会产生较大误差，这观察值作为总体参数的估计值仍会产生较大误差，这时我们应考虑方差较小的略有偏差的估计量。这就是时我们应考虑方差较小的略有偏差的估计量。这就是所谓的所谓的组合性组合性评选标准。此处不详述。评选标准。此处不详述。利用利用 MINITAB 求概率及作图求概率及作图输入数据输入数据计算分布密度值计算分布密度值计算分布函数值计算分布函数值利用利用 MINITAB 求其它函数值及作图求其它函数值及作图输入数据输入数据多么优美的曲线！多么优美的曲线！作作 的图形的图形避开间断点避开间断点多么豪气的图形！多么豪气的图形！数据修改问题数据修改问题欲将欲将-5:5/0.01 改为改为-6:6/0.01，在原命令中在原命令中 修改无效。修改无效。朝令夕改，不听！朝令夕改，不听！数据修改问题数据修改问题要重要重set才行得通。才行得通。有话好好说。有话好好说。