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1、第五章第五章 液体的流动液体的流动流体力学（流体力学（fluidmechanics）流流体体静静力力学学(hydrostatics)研研究究静静止止流流体体规规律的学科，如阿基米德原理、帕斯卡原理等。律的学科，如阿基米德原理、帕斯卡原理等。流流体体动动力力学学(hydmdynamics)研研究究流流体体运运动动的的学学科科，是是水水力力学学、空空气气动动力力学学、生生物物流流体体力力学学等等学学科科的理论基础。的理论基础。流体（流体（fluid）气体和液体气体和液体流动性流动性流体各部分之间极易发生相对移动，流体各部分之间极易发生相对移动，因而没有固定的形状。因而没有固定的形状。拉格朗日法拉格
2、朗日法考察每个考察每个质元质元质元质元的的位置随时间的变化的的位置随时间的变化t=0时，（时，（xo，yo，zo）代表了不同质元代表了不同质元某某t时刻，时刻，x=f（xo，yo，zo，t）y=g（xo，yo，zo，t）z=h（xo，yo，zo，t）牛顿定律适用。牛顿定律适用。一、两种方法一、两种方法二、定常流动二、定常流动如果如果v=v（x，y，z），），经过空间某处的质元速度经过空间某处的质元速度不随时间变化，这样的流动称为不随时间变化，这样的流动称为稳定流动。稳定流动。稳定流动。稳定流动。欧拉法欧拉法 经过空间经过空间某位置某位置某位置某位置（x，y，z）处质元，处质元，v=v（x，y，
3、z，t），a=a（x，y，z，t）等等一般采用欧拉法一般采用欧拉法流流线线(streamline)为为了了形形象象描描述述流流场场，在在任任一一瞬瞬间间，可可以以在在流流场场中中划划出出一一系系列列假假想想的的曲曲线线，使使曲曲线线上上每每一一点的点的切线方向切线方向与处在该点流体粒子的与处在该点流体粒子的速度方向速度方向一致。一致。三、流线和流管三、流线和流管流场（流场（field of flow）流体在流动过程的流体在流动过程的任一瞬时任一瞬时，流体所占据的流体所占据的空间每一点空间每一点都具有都具有一定的流速一定的流速.空间空间-流体速度场流体速度场这一时刻的流线这一时刻的流线流管流管(
4、tube of flow)在流动的流体中划出一个在流动的流体中划出一个小截面小截面，则则通过其周边各点的流线通过其周边各点的流线所围成所围成的的管状体管状体。在在稳稳定定流流动动的的流流场场中中任任取取一段细流管一段细流管四、连续性方程四、连续性方程截面截面S1和和S2处处流速分别为流速分别为v1和和v2，流体密度分别为流体密度分别为1和和2。(流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀流管的任一横截面上各点的物理量看做均匀)定常流动时的定常流动时的连续性方程连续性方程(equation of continuity)经过经过t时间，通过截面时间，通过截面S1进入进入的流体质量：的流体质量：m1=1
5、(v1t)S1=1S1v1t同时，通过截面同时，通过截面S2流出流出的流体质量：的流体质量：m2=2(v2t)S2=2S2v2t质量守恒原则质量守恒原则 定常流动定常流动m1=m21S1v1t=2S2v2t1S1v1=2S2v2S v=常量常量流速与横截面积成反比流速与横截面积成反比S v单位时间内通过任一截面单位时间内通过任一截面S的流体质量的流体质量质量流量质量流量连续性方程连续性方程 质量流量守恒定律质量流量守恒定律不可压缩流体不可压缩流体1=2S1v1=S2v2Sv=常量常量体积流量体积流量单位时间内通过任一截面单位时间内通过任一截面S的流体体积的流体体积体积流量守恒定律体积流量守恒定
6、律Sv不可压缩的流体在流管中做定常流动时不可压缩的流体在流管中做定常流动时流管中流管中一、理想流体一、理想流体粘滞性粘滞性：流：流动过动过程中，流体本身相程中，流体本身相邻邻两两层间层间存在内摩擦，流存在内摩擦，流动动可能不可能不稳稳定。定。可可压缩压缩性性：密度随：密度随压压强强不同而改不同而改变变。一些一些实际问题实际问题中中次要因素次要因素流流动动性性主要因素主要因素理想流体理想流体(ideal f1uid)模型模型绝对不可压缩、且完全没有内摩擦的流体。绝对不可压缩、且完全没有内摩擦的流体。设流体在设流体在X处：压强处：压强P1，速度速度v1，高度高度h1，截面积截面积S1在在Y处：压强
7、处：压强P2，速度速度v2，高度高度h2，截面积截面积S2取一细流管取一细流管截取一段流体截取一段流体XY经过时间经过时间t后，后，此段流体的位置由此段流体的位置由XY移到了移到了XY二、理想流体的伯努利方程二、理想流体的伯努利方程稳定流动稳定流动X X y y F1F2W=P1VP2Vt时间内时间内这段流体这段流体机械能变化机械能变化外力外力其它流体对它的压力其它流体对它的压力只有只有流管中流管中段外流体段外流体对它对它 作功作功F1作正功，作正功，F2作负功。作负功。X面的位移是面的位移是v1t，Y面的位移是面的位移是v2t总功：总功：W=F1v1tF2v2t=P1S1v1tP2S2v2t
8、V=S1v1t=S2v2t流管中流管中XX段和段和YY段的流体体积段的流体体积P1VP2V=（1/2mv22+mgh2）-（1/2mv12+mgh1）P1V+1/2mv12+mgh1=P2V+1/2mv22+mgh2P1+1/2v12+gh1=P2+1/2v22+gh2 XY段流体流至段流体流至XY时的时的机械能增量机械能增量EX与与Y之间的那段流体的运动状态没有变化之间的那段流体的运动状态没有变化能量变化仅反映在能量变化仅反映在XX和和YY两段流体上两段流体上XX段流体的机械能段流体的机械能E1=1/2mv12+mgh1YY段流体的机械能段流体的机械能E2=1/2mv22+mgh2功能原理功
9、能原理W=E=E2E1=m/V是流体的密度是流体的密度对同一流管的任一垂直截面：对同一流管的任一垂直截面：P+1/2v2+gh=常量常量在在一般管道一般管道 流动中，忽略各物理量在其横截流动中，忽略各物理量在其横截面上的变化也可面上的变化也可近似成立近似成立。式中各量为式中各量为管道截面上所取的平均值管道截面上所取的平均值。柏努利方程柏努利方程(Bernoulli equation)单位体积的单位体积的动能、重力势能、该点的压强动能、重力势能、该点的压强之和为一常量。之和为一常量。三项都具有压强的量纲三项都具有压强的量纲动压动压(dynamicalpressure)静压静压(staticpre
10、ssure)。同一细流管中同一细流管中同一细流管中同一细流管中例如：如果流体在例如：如果流体在水平管子水平管子中流动（中流动（h1=h2），），则流体的势能在流动过程中不变，则流体的势能在流动过程中不变，P+1/2v2=常量常量流速小的地方压强较大，流速大的地方压强较小流速小的地方压强较大，流速大的地方压强较小例题例题1设有流量为设有流量为0.12m3/s的水流通过图示的管子。的水流通过图示的管子。A点的压强为点的压强为2105N/m2，A点的截面积为点的截面积为100cm2，B点的截面积为点的截面积为60cm2。假设水的内摩擦可以忽略不计，假设水的内摩擦可以忽略不计，求求A、B点的流速和点的
11、流速和B点的压强。点的压强。解：解：水可看作不可压缩的流体，水可看作不可压缩的流体，根据连续性方程有根据连续性方程有SAvA=SBvB=Q（m/s）（m/s）又根据柏努利方程可得又根据柏努利方程可得PB=PA+vA2vB2ghB=2105+1000122100020210009.82=5.24104(N/m2)三、柏努利方程的应用三、柏努利方程的应用1 1、汾丘里流量、汾丘里流量计计（Venturimeter）液体液体中中间间逐逐渐缩渐缩小小稳稳定流定流动动。S1、P1、v1和和S2、P2、v2S1v1=S2v2P1-P2=gh解得：解得：因此，流体的流量为因此，流体的流量为 气体：气体：P1
12、=P0+gh1P2=P0gh2P1+1/2v12=P2+1/2v22S1v1=S2v2为压为压强强计计中液体的密度，中液体的密度，为为管中气体的密度管中气体的密度得到：得到：2 2、流速、流速计计皮托管皮托管(Pitottube)是一种是一种测测流体流速的装置。流体流速的装置。图中图中a是一根是一根直管直管，b是一根是一根直角弯管直角弯管，直管下端的管口截面与流体流线直管下端的管口截面与流体流线平行平行，弯管下端管口截面与流体流线弯管下端管口截面与流体流线垂直垂直。流体在弯管下端流体在弯管下端d处处受阻受阻,形成流速形成流速为为零的零的“滞止区滞止区”。则则比比较图较图中中c、d两两处处的的压
13、压强强可得可得cdv是是粗细均匀的这段流管中各点的速度。粗细均匀的这段流管中各点的速度。Pd比比Pc大大 ：流体的流体的动压动压在滞止区全部在滞止区全部转转化成了静化成了静压压。两管的液面高度差两管的液面高度差Pd与与Pc的差的差值值求得流速求得流速v 放在待放在待测测流速的流体（密度流速的流体（密度为为）中，使中，使A孔正孔正对对着流体前着流体前进进方向，形成方向，形成“滞止区滞止区”，M孔的孔面平行与流孔的孔面平行与流线线。两。两处处的的压压强强差差可从可从U形管中液面的形管中液面的高度差高度差测测得，即得，即 式中式中h是是U形管中液面的高度差，形管中液面的高度差，是是U形管中液体的密度
14、形管中液体的密度。一种皮托管的一种皮托管的简单简单装置（气体）：装置（气体）：AM例例题题水在截面不同的水平管中作水在截面不同的水平管中作稳稳定流定流动动，出口，出口处处的截面的截面积为积为管的最管的最细处细处的的3倍。若出口倍。若出口处处的流速的流速为为2m/s，问问最最细处细处的的压压强强为为多少？若在此最多少？若在此最细处细处开一开一小孔，水会不会流出来？小孔，水会不会流出来？解：由解：由连续连续性方程性方程S1v1=S2v2，得得S2=6（m/s）再由柏努利方程在水平管中的再由柏努利方程在水平管中的应应用用代入数据得：代入数据得：P2=85（kPa），），P2S2，所以可将容器中水面所以可将容器中水面处处流速流速v1近似近似为为零。零。运用柏努利方程有运用柏努利方程有，小孔处水流速，小孔处水流速v2为：为：代入数据得：代入数据得：（m）（2）设设容器内水流尽需要的容器内水流尽需要的时间为时间为T。t时时刻水的高度刻水的高度为为h，小孔小孔处处流速流速为为,液面下降液面下降dh高度从小孔流出的水体高度从小孔流出的水体积为积为dV=S1dh，需要的需要的时间时间dt为为dV/Q（s）