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1、海宁一中22届高三数学高考知识点扫描专题卷（三）一一立体几何班级 姓名知识点1.基本立体图形直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.（2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱 锥.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥.（3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.2 .简单几何体的表面积与体积（D圆柱侧面积；S恻面=2乃人/ （是底面圆半径，是母线长）（2）圆锥侧面积：s侧面二
2、期八/（是底面圆半径，是母线长）r其余试卷上有提供6 、3 .平面（D三个事实：基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.（即不共线的三点确定一个平面）基本事实2：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（2）三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.4 .点、直线、平面之间的位置关系（1）空间中直线和直线的位置关系（2）空间中直线和平面的位置关系（3）空间中平面和平面的位
3、置关系.空间直线、平面的平行（D线面平行判定定理（线线平行=线面平行）：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（2）线面平行性质定理（线面平行=线线平行）：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.（3）面面平行判定定理1 （线面平行=面面平行）：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.（4）面面平行判定定理2 （线线平行=面面平行）：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行.（5）面面平行性质定理（面面平行=线线平行）：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那
4、么两条交线平行.（6）面面平行的定义推论（面面平行=线面平行）：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.5 .直线、平面的垂直（1）线面垂直定义的推论（线面垂直 =线线垂直）：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线.（2）线面垂直判定定理（线线垂直=线面垂直）：C.求二面角的大小（D如图1, A3、C。是二面角。一/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小夕=万g, CD ） ./ g/ z_Z/II图1图2图3如图2、3, ）分别是二面角。一/一的两个半平面a, 的法向量，则二面角的大小。=勺，2 （或 不一/，2 ）.d.点面距的求
5、法（线面、面面距离可以作相应转化）.川如图，设为平面a的一条斜线段，为平面a的法向量，则8到平面a的距离d= |川.参考答案1.线面角（2022浙江高三专题练习）如图，已知三棱台ABC-C,中，二面角A - AC-B的大小为60 , 点 A 在平面48c 内的射影。在 8c上，AAj=AB = 4 , Z/AC = 30 , N84C = 90 .io(1)证明：AC _L平面AB。；(2)求直线4田与平面ACG A所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析孝【解析】【分析】(1)过。作。石/A8交AC于E,连AE,则四点、4、。、后共面，通过证明4C_LZ)E、A.D1AC 可证AC_L平面A
6、g。；(2)以E为原点，血,月。分别为MV轴，过E且与。A平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利川宜 线与平面所成角的向审公式计算可得结果.(1) 过。作。E/A8交4c于E,连4七，因为在三棱台A8CA4G中，ABJ/ab,所以。所以四点a、。、E共面, 因为/84C = 90,所以 ACJ_4?,所以 AC_LOE,因为点A在平面A8C内的射影。在8c上，所以4。，平面4BC,因为ACu平面ABC,所以A。，AC,因为AOcOE=Z),所以AC1平面A8QE,即AC_L平面4耳。.(2) 由(1)可知，4。_1平面4片。，又AEu平面人因。，所以AE1AC,结合OE_LAC可知，NAED
7、是二面角A-AC-A的平面角，所以“瓦=60,在直角三角形 4EA 中，A4, =4, ZAAC = 30,所以 AE = 3,=2, AE = 20在直角三角形AQE中，有。石=3AE=1, AD=6以E为原点，EDEC分别为xy轴，过E且与0A平行的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系:则 (0,0,0), A(0,2G,0), 4(4,-26,0),4(1,0,75),所以乖=(3,-26,-扬，4 = (-1,-275,-73),丽=(0,-2瓜0),设平面ACGA的一个法向量为” = (M)=),rtI Z? AA = O1-x-2岛-6z = 0y = 0则2L ,所以，得 K
8、八n - AE = O-2v3 v = 0-x-/3z = 0令z = l,则工=一石，所以“ 二（一6,0,1）, 所以直线邛与平面acca所成角的正弦值为际/卒小潦焉- 36二旧_ 4/3 _/2VJTTx J9 + 12 + 3 -2x2/6-r 2. (2022.浙江杭州二模)在四棱锥A8c。中，P48为正三角形，四边形A8CO为等腰梯形，M为棱 AP 的中点，且/W = 2AO = 28C = 2CO = 4, DM =6(I)求证：OM/平面P8C；(2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；曲.13【解析】【分析】(1)取心中点为N,连结MN, CN ,
9、证明。M/CN,再利用线面平行的判断推理作答.(2)取人B中点Q, AQ中点O,证明平面。M，平面48。.以。为原点建立空间直角坐标系，借助 空间向量计算作答.在等腰梯形ABC。中，CD/AB , CD=2,取/W中点M 连结A/N, CN ,如图,因M为棱”的中点，则MN/A3/CD, .MN = AB = 2 = CD,即四边形MNC。为平行四边形，则。M/CN,而CNu平面P8C,。昭二平面?8。，所以DM 平面PBC.(2)取 48 中点 Q, AQ 中点。，连结。Q, PQ, OD , OM ,有 CD/BQ,且 CO=3Q,四边形8COQ是平行四边形，则)Q = 8C = 4O =
10、 AQ = 2,则有。=6,且OQJ.八4,正PA8 中，PQ 工 AB,PQ = 2 逐,而 OM/PQ,因此，OM =PQ = & 月.0M_LA8,而OMp|OO = O，OM,OOu 平面dom,则 AB_L平面 DQM, AB 平面 ABC。，有平面 OQM_L平面 ABCD,由0M=6,得N)OM=60。，在平面。QM内作。:_LOZ),平面力QMc平面ABC = 3),即有。2，平 面 ABCD,以。为原点，射线。从0。，Oz分别为月6z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，有丽=(2,瓜3), Pli = (2,-衣-3),CB = (1,-5/5,0),设平面 PI3C 的法向
11、量为 n = (x, ,y,z),有丽=(2,瓜3), Pli = (2,-衣-3),CB = (1,-5/5,0),设平面 PI3C 的法向量为 n = (x, ,y,z),PBn = 2x- /3y-3z = 0CBn=x- 6y = 0令y = 6,得3=（3,6,1）,设直线AP与平面P8C所成角为e,k儿0 _3屈 网卡13所以直线AP与平面P8C所成角的正弦值为3叵.133. （2022浙江宁波二模）如图，在四棱锥P-ABCO中，MAB, 24。均为等边三角形，BC = CD.求证：BQ_L平面PAC；（2）若PA = BD = 6BC, M , N分别是PC, AC的中点，。在边
12、人。上，且DQ = 204 .求直线人加与平面PQN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析I22【解析】【分析】(1)取8。中点E,证明比_LA, BDLPE,根据线面垂直的判定定理即可证明结论；(2)建立空间平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，再求得平面PQN的法向量，根据向量的夹角公式, 求得答案.(1) 证明：取3。中点E,因为尸AB, 以)均为等边三角形，则 PB = PD, AB = 4Q,而 BC = CD,所以A, E,。三点共线，且BDLPE,又 AECPE= E, AE,PEU 平面 PAE，所以5OJ.平面F4E，即8D_L平面P4C.(2) 由题意可知：三棱锥P-A3。
13、为正四面体，故P点在底面上的投影H为AABD的中心.，如图以为坐标原点，过”在面A8C内作AC垂线为x轴，。为y轴，HP为z轴，建立空间直角坐标系H-xyz.设尸A = 6,则 A（0,20）, 8（3,0）,Z）（3,疯 0）, P（0,0,2旬,C（0,20）,144于是前=(0,3，Q户=(1,6,回，丽=I，哼，。)， 设平面PQN的法向最为 =(x x z),n-QN = 0_,即（n-QP = 05 /6 _x+y = 022X+y/3y + y/6z = 0令y = l ,则可取。=卜石,0),设直线AM与平面尸QN所成的线面角大小为。，,. I |力.aM则 sin 夕=cos
14、 (见而)=,!, =,71 n-AM22因此更线AM与平面PQN所成的线面角的正弦值Ml.4. (2022.浙江.模拟预测)如图1所示，在矩形/WCQ中，AB = 20，8C = 2, M为。中点，将DW 沿A/W折起，使点。到点处，目.平面平面A6CM ,如图2所示.求证：PBtAM ；(2)在棱阳上取点N,使平面AW/V_L平面么求直线4A与平面4MN所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；迥15【解析】【分析】在矩形ABCD中，连接BD交AM于点Q，则由tan NDBA = lan ZMAD可推出/DBA = ZMAD .因此有 NZMQ = 5,故在翻折后的四棱锥中，有PQ -L
15、AM, 8。1 AM，据此推出AM _L平面PBQ，从而有所_L AM ;(2)以点Q为原点,。儿。反。户方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，再过点M作J.4V于点.由平面AAW平面以3可推出MA/ _L平面248,即有MH 1尸8,结合尸8_L AM、可知尸8_1_平面A用N,即 总_1,加,设丽=2夙0/141),再结合而.丽=()可求山2(0,华,哈)、最后再利用空间向量法求线面 角的正弦值即可.(1)在矩形ABCD中，连接BD交AM于点Q.DM由题知 44 = 20,AO = 2.OM =&,所以 tan /DBA = tan NMAD =，即 ZDBA = ZMAD,2乂
16、NO8A +NBOA =巳,所以 NM4O+/BOA =乙， 22所以 NDQA = ，即。 AM, BQ 1 AM ,故在翻折后的四棱锥中，有尸Q，AM,3。_L AM,又尸QflBQ = Q，所以A_L平面PBQ,乂 PB u平面PBQ，所以尸8 _L AM :(2)如图所示，以点。为原点、QA。反Qp方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系,在矩形A5c。中，经计算可得AQ = 2西,8。=生叵,。=2叵, 333因此n 八、石 r( 2G ?+小 p( 八右、a( c(,0,0), 8(0, , 0), C( , ,0),P(0,0,), M (- ,0,0),过点M作M”_LAN
17、于点”, 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）线面垂直性质定理：a.垂直于同一个平面的两条直线平行.b.如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面.（4）面面垂直判定定理（线面垂直= 面面垂直）：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.（5）面面垂直性质定理（面面垂直二线面垂直）：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.7.空间向量（1）空间向量的平行和垂直的条件：设& = （。打，g）, B = （bi，b2 匕3），a 1 b a 1 b a b （50） o
18、（2）两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式:|a| = Va - a = , b = -Jb-h = J瓦？ + b22 + b32ycos（a, b） = = （3）空间向量的应用a.两条异面直线所成的角定义：设。，人是两条异面直线，过空间任一点。作直线出Bb,则与所夹的锐角或直角叫做 。与/，所成的角.范围：两异面直线所成角夕的取值范围是 .向量求法：设直线a, b的方向向量为a, b,其夹角为仰 则有cos6= .b.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为，直线/与平面a所成的角为以两向量e与 的夹角为外 则有sin/?=.范围：直线和平面所成角。
19、的取值范围是c.求二面角的大小_ _（1）如图1, AB. C。是二面角a/一夕的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小=彳万，CD） .（2）如图2、3, 1,兀分别是二面角a-1-p的两个半平面a, B的法向量，则二面角的大小0 = （或 不一）.|水夕| =,范围：直线和平面所成角。的取值范围是因为平面AMN _L平面A4A,平面AMNf平面PAB = AN, 所以!平面E4A,所以 PB,乂由(1)知 PBLAM .且 MH _L AM = M,所以PB_L平面AMN,所以PA_L AN,即有丽.丽=0,因为点N在依匕设7W = %P*(0K发/ 1)，则no,怨4 2”； 一“),
20、由丽丽=0解得力 = g，即N(0,华，笔)，又平面AMN的一个法向量为PB = (0,).且而=(-, ,(), 3333设直线48与平面AMN所成角为。,则 sin a则 sin a丽通RM所以直线A8与平面AMN所成角的正弦值为观.15所以直线A8与平面AMN所成角的正弦值为观.155. （2022浙江模拟预测）在四棱锥P-A8CO中，侧面PCO_L底面ABCD, AB/CD, AB _L BC,NPDC = ZADC = 120, AD = CD=PD = 2.(1)求证：AD1PB； (2)求直线AO与平面RV?所成角的正弦值.【答案】(I)证明见解析手4【解析】【分析】(1)作P，
21、_LCD交。力延长线点儿连设4。口8 = E ,通过面面垂直的性质定理证得尸” JL 面A8C。，所以再证得3 _LAO.PnB = ，所以AO JL面7778,由线面垂直的性质定 理即可得出AD_L -(2)方法一：几何法，先证明面尸48_!_面，在面小内过点月作GJ_Q4,则“6_1面左5,由 于DH 面PAB,故点。，”到面E4A的距离相等，距离d = HG,再由线面角公式即可求出答案.方法二:坐标法，以点H为坐标原点，HA. HC、P分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直 线AO的方向向量，平面04B的法向量，由线面角的公式代入即可得出答案.(1) 作P”_LC)交8延长线
22、于点从 连AH,BH ,设A)n8” = E. AD = CD = PD = 2, NPDC = ZADC= 120。：. PH = AH = 0HD = 1.面 PCD 面 ABCD交于 CD, P” u 面 PCD.J 0，_1_面48。，A PH LAD.在.RHCB 中,CH = CD+HD = 3,BC = 6 得 N8”C = 30.在 y/HDE 中,ZEHD = 30, ZHDE =180- ZADC = 60 ,故/HED = 900 ,即9_1/。，PHCBH = H ,所以 4)_1面28,AOJ,Q8.p方法一：几何法在/中，DH = LAD = 2,ZADH = 6O
23、0 ,余弦定理得 AH=G，AH2 + DH2=AD2 得 DH 工 AH, 乂 PH 工 DH,J DH 面 PAH，乂 AI3/DH 得 A8 _L 面 PAH，面尸43_!_面幺，且交线为小在面尸A内过点作G_LPA,则6_1面248,在心PH = AH =0 求得 =后，故 HG =、PA = 22由于面以8,故点。，到面姑8的距离相等，即距离d = G = 2所以直线AO与平面上钻所成角。的正弦值AD方法二：坐标法 在闻羽中，。” =1,4。= 2,44。=60。，余弦定理得A”=K，由 AH2 + o2=ao2 得 a” j_c,又面尸。_1_面片8。所以A“_umpco,以点，为
24、坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系由已知条件得坐标如下：（o,o,o）,p（o,o,G）,a（/5qo）,8（G,3,o）,o（o,o）AD = (-6 1,0), A* = (0,3,0), AP =G)设平面PAB的法向量”=（芭y, Z）取吊= 0,0,1)丽.万= 3y = oZ1! Jy = oAP-h=-x/3x + V3z = O x = z所以直线AD与平面所成角。的正弦值sin。=型=溪ADn 2xy/246. （2019年高考全国HI卷理）图1是由矩形AOEB, RIA48C和菱形8FGC组成的一个平面图形，其中AB=, BE=BF=2, NF8c=60。，将其沿/W,
25、BC折起使得防与重合，连结。G,如图2.（1）证明：图2中的A, C, G,。四点共面，且平面A8C_L平面8CG；（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小.【答案】（1）见解析；（2） 30 .【解析】（1）由已知得CG/BE,所以AO/CG,故AO, CG确定一个平面，从而A, C, G,。四点共面.由已知得ABA.BC,故4B_L 平面BCGE.乂因为A8U平面48C,所以平面A8cd.平面8CG.（2）作E_L8C,垂足为，.因为EHU平面ACGE,平面为CGK_L平面ABC,所以切_L平面ABC.由已知，菱形8CGE的边长为2, /EBC=60。,可求得B=l, EH=.以为坐标原点
26、，的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系-42，则A (-1, I, 0) , C (I, 0, 0) , G (2, 0, G ) , CG= (I, 0, 6 ) , AC= (2, -1, 0).设平面ACGQ的法向量为 =(x, y, z),则CG/z = 0 Jx + V3z = 0,一 即AC - n = 0, 2x y = 0.所以可取二(3, 6, -V3 ).又平面BCGE的法向量可取为“=(0, 1, 0),所以cos,m=2.111川 2因此二面角8-CG-A的大小为30。.7.(2020四川资阳 高三其他(理)如图，在四棱锥P A8CD中，PA_L平面A8C
27、O, AD/BC, ADA.CD, 且 4) = C), ZABC = 45.(I)证明：ACA.PB.(2)若ao = &pa，试在棱尸8上确定一点M，使DM与平面2钻所成角的正弦值为名旦.21【答案】(1)证明见解析；(2)点M为棱依的中点【解析】(I)证明：； ADLCD,且 AD = CD，/. ZACD=ZDAC = 45,/. ZBC4 = 45,又ZA3C = 45。，/fiAC = 90。，即 AC_LAB.尸4_1_平面 48cO, 4CuilA8CO，.E4_LAC，又PAnA8 = A, AC_L平面抬A,P3u平面.AC_LP(2)解：取BC的中点E，以A为坐标原点，4
28、E, AD, AP所在的直线分别为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系.如图所示.设 = 1，则 A(0,0,0), P(O,O,1), B(V2,-/2,0), C(6&,0), D(0,5/2,0),则而= (上,-a,-1), PD =(0,V2,-l), AC = (V2,V2,0),设而= ZPB = (V22,-V22,-2)(0 21-2/1-21sin0 = cos(DM, AC) = / 、,- A DMAC ,2把十2仅十十(x21 2V2T7229整理得2(比2+84-9 = 0,解得义=5或4 = 一历(舍)， 点M为棱总的中点.8. (2020全国高三课时练习(理)正B
29、C的边长为2, CO是A8边上的高，E、b分别是AC和8c的 中点(如图(1).现将“8。沿CD翻成直二面角人一。一仇如图(2).在图(2)中：求证：A8平面DE尸:(2)在线段8c上是否存在一点P,使AP_LOE?证明你的结论； (3)求二面角七一。尸一C的余弦值. + 2(2 + l)2+(-/l + l)221 图图n（2）【答案】（1）见解析.（2）见解析.（3）亘.7【解析】（1）证明：在aABC中，因为E、F分别是AC、BC的中点，所以EFAB.又ABC平面DEF, EFu平面DEF,所以AB 平面DEF.（2）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间
30、直角坐标系.2(1.0,而*1), BC=(T，/3 0),。后=- 2设丽=）、B（j，则人户=4分+丽=（1 一入，道入，一1），注意到 AP_LDEo A户.DE =0=1=-5P = - BC，所以在线段BC上存在点P,使APJ_DE.(3)平面CDF的一个法向量丽=(0,0,1),设平面EDF的法向量为力=(x, y, z),则则DFn = 0DEn = 0x+= 0即岛+ z = 0取力=(3, 一6，3),n)/方历同可一，所以二面角E-DF-C的余弦值为亘7利用向量求空间距离9.如图，在棱长为2的正方体力4c出Wi中，M是线段上的动点.(1)证明：力8平面4%G(2)若点M是A
31、8中点，求二面角M-4出的余弦值；(3)判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)巡；(3)点M到平面4/C的距离为定值W!.33【解析】(I)证明:因为在正方体力C8D-4c出山1中，AB/A1B” 公4u平面4道伍,平面必弥，48平面(2) 在正方体4。8。-41%8】。】中，CB, &4, CQ两两互相垂直，则建立空间直角坐标系C-%”如图 所示，则M(l,1,0), 4(022), Z7(2,0,2), C(0,0,0),所以M41=(-1,1,2), MBX = (1,-1,2), CBX = (2,0,2), CAX = (
32、0,2,2),设向量=(孙力之1), n2 =(3及即)分别为平面M481和平面4向的法向量，由 (nyMA = 0, f - Xi + yi + 2zi = 0,= 0, =1 %i-yi + 2zi = 0.取41 = 1,则力=1, z = 0, a ni = (1,1,0).同理ni,CA = 0, n2CB = 0,(2y2 + 2z2 = 0, =(2%2 + 2z2 = 0,取2=T，则、2=-l，Z2 = l, .,.n2 = (-1,- 1,1). COS(ni，7l2)=九2又二面角M - 4% -。的平面角为锐角,二面角M-Mi的余弦值为半（3）由（1）知力8平面44C且
33、M在AB上.,.点M到平面4道的距离等于AB匕任意一点到平面4道的距离，取点M为的中点，结和（2）和点M到平面4声的距离d =距离，取点M为的中点，结和（2）和点M到平面4声的距离d =nMA122/3= 节 =-二点M到平面4师的距离定值为竽d.点面距的求法(线面、面面距离可以作相应转化)如图，设4为平面a的一条斜线段，为平面a的法向量，则B到平面a的距离d=例题演练线面角1. (2022浙江高三专题练习)如图，已知三棱台A8C-ABG中，二面角A -8的大小为60 ,点A在平面ABC内的射影。在BC上，AA.=AB = 4,乙4,4。= 30 ,(1)证明：/1。_1平面4与。：(2)求直
34、线A/与平面ACC.A所成角的正弦值.2. (2022.浙江杭州二模)在四棱锥产一 A8c。中，P48为正三角形，四边形A8C。为等腰梯形，M为棱”的中点，且AB = 2AD = 25C = 2CO = 4, DM =瓜(1)求证：。0/平面?8。；求直线AP与平面P8C所成角的正弦值.303. (2022浙江宁波二模)如图，在四棱锥P-456中，E48, 24。均为等边三角形，BC = CD.求证：83_L平面PAC；P(2)若24 = 8。=68。，M , N分别是PC, BC的中点，。在边A。上，/ 且OQ = 2QA .求直线AM与平面PQN所成角的正弦值.4. (2022浙江模拟预测
35、)如图1所示，在矩形A3C。中，A8 = 2夜，BC = 2, M为CD中点,将D4M 沿AW折起，使点。到点处，且平面E4M_L平面A8CM,如图2所示.求证：PB.LAM：(2)在棱棚上取点N,使平面/WN_L平面丛氏求直线AB与平面AMN所成角的正弦值.5. (2022浙江模拟预测)在四棱锥P-A8CD中，侧面尸CO_L底面ABCD,AB/CD.AB 1 BC,NPDC = ZADC = 120, AD = CD=PD = 2.(1)求证：ADLPB；AAB求直线A。与平面A48所成角的正弦值.二面角(2019年高考全国HI卷理)图1是由矩形AOEB, RtaABC和菱形8户GC组成的一
36、个平面图形，其中AB=f BE=BF=2, ZFBC=60f将其沿AB, BC折起使得8E与8尸重合，连结OG,如图2.(1)证明：图2中的A, C, G,。四点共面，且平面A8cL平面8CG；(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.(2)求图2中的二面角B-CG-A的大小.空间角有关的探索性问题6. (2020四川资阳高三其他(理)如图，在四棱锥产一A3CD中， 抬_1_平面ABC。，AD/BC, AD1CD,且AD = C), ZABC = 45.(1)证明：AC1PB.若AD = 6PA，试在棱23上确定一点M，使DW与平面Q48所成角的正弦值为2叵.21(2020全国高三课时练习(理
37、)正ZkABC的边长为2, C。是边上的高，E、f分别是AC和8C的中点(如图(1).现将4BC沿CO翻成直二面角ADCB(如图(2).在图(2)中：(1)求证：A8平面。EF；(2)在线段8c上是否存在一点P,使证明你的结论;(3)求二面角一。尸一。的余弦值.利用向量求空间距离如图，在棱长为2的正方体力。8。-41。科】。1中，M是线段A8上的动点.(1)证明：力8平面4/C；(2)若点M是AB中点，求二面角M-44-C的余弦值：(3)判断点M到平面的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，理由.知识点1.基本立体图形 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正
38、棱柱.平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.（3）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫棱 锥.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥.（4）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.2 .简单几何体的表面积与体积（1）圆柱侧面积；5俯面=2（是底面圆半径，是母线长）H 一（2）圆锥侧面积：响=/（是底面圆半径，是母线长）其余试卷上有提供3 .平面（1）三个事实：基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.（即不共线的三点确定一个平面）基本事实2：如
39、果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.（2）三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.4 .点、直线、平面之间的位置关系（1）空间中直线和直线的位置关系（2）空间中直线和平面的位置关系（3）空间中平面和平面的位置关系.空间直线、平面的平行（D线面平行判定定理（线线平行=线面平行）：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.（2）线面平行性质定理（线面平行=线线平
40、行）：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.（3）面面平行判定定理1 （线面平行=面面平行）：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.（4） *面面平行判定定理2 （线线平行=面面平行）：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行.（5）面面平行性质定理（面面平行=线线平行）：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.（6）面面平行的定义推论（面面平行=线面平行）：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.5 .直线、平面的垂直（1）线面垂直定义的推
41、论（线面垂直=线线垂直）：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线.（2）线面垂直判定定理（线线垂直=线面垂直）：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.（3）线面垂直性质定理：a.垂直于同一个平面的两条直线平行.b.如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面.（4）面面垂直判定定理（线面垂直=面面垂直）：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.（5）面面垂直性质定理（面面垂直=线面垂直）：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.6 .空间向量（1）
42、空间向量的平行和垂直的条件：设a = （a1,瓦，q）, b （瓦,b?,力3），% =/瓦a2 =彻；a3 =彻alba-/? = O q/i + a2b2 + a3b3 = 0.（2）两个向量的夹角与向展的长度的坐标计算公式：|a| = Vi2 + 22 + 32, b = VO = Jbi2 + b22 + b32,c/ n h -五七-a3i+a2b2+a3b33 b 同旷、际用7际彳（3）空间向量的应用a.两条异面直线所成的角定义：设小人是两条异面直线，过空间任一点O作直线aa，b/bt则/与所夹的锐角或直角叫做 a与b所成的角.范围：两异面直线所成角夕的取值范围是（0,51 .C1 - h向量求法：设直线小的方向向量为a, b,其夹角为0，则有cosO=|cosoh|r-h|.I a I 网b.直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线/的方向向量为e,平面a的法向量为，直线/与平面a所成的角为夕，两向量e与 依山的夹角为仇 则有sinp=|cosa=|e|M|.