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1、卡尔曼滤波器摘要：卡尔曼滤波(Kalman filtering)是一种采用线性系统状态方程，通过系统输入输出观 测数据，对系统状态进行最优估量的算法。由于观测数据中包括系统中的噪声和干扰的影响, 所以最优估量也可看作是滤波过程。对于解决大部分问题，它是最优，效率最高甚至是最有 用的。他的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，掌握，传感器数据融合甚至在军事 方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像处理，例如头脸识别，图像 分割，图像边缘检测等等。1卡尔曼滤波原理在统计中，卡尔曼滤波是以鲁道夫一卡尔曼命名的数学方法。它供应了一种有效的计 算(递归)算法来估量过程的状态，它最大限度
2、地削减了均方误差。该滤波器在很多方面的 应用是特别强大：即使在模拟系统精确性不明的状况下，它可以对过去，现在,甚至可以对将来状态进行估量。卡尔曼滤波器产生测量真值的估量值及其相关的计算值的猜测值，估量猜测值的不确定性, 并计算猜测值与实测值的加权平均值。它给出不确定性最小的估量值。用该方法产生的估量 值往往比原来测量真值更接近真实值。从理论上看，卡尔曼滤波是一种有效的实现非线性动力学系统的算法，全部潜在的和观看到 的变量都听从高斯分布(通常是一个多元高斯分布)。假如全部的噪声为高斯噪声，卡尔曼滤波器最小化了参数估量的均方误差。鉴于只有噪声平 均值和标准差，卡尔曼滤波器是最优的线性估量；并且，它
3、结构优良，易于实现。2卡尔曼滤波简洁介绍(1)首先，我们先要引入一个离散掌握过程的系统。该系统可用一个线性随机微分方程(Linear Stochastic Difference equation) 来描述：X(k)=A X(k-1)+B U(k)+W(k)协方差为 Q再加上系统的测量值：Z(k)=H X(k)+V(k)协方差为 RX(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的掌握量。Z(k)是k时刻的测量值A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声(White Gaussi
4、an Noise), 他们的协方差(covariance)分别是Q, R (这里我们假设他们不随系统状态变化而变化)。首先我们要采用系统的过程模型，来猜测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k,依据 系统的模型，可以基于系统的上一状态而猜测消失在状态：X(k | k-l)=A X(k-11 k-l)+B U(k)(1)式中，X(k|k-1)是采用上一状态而进行猜测的结果，X(k-l|k-l)是上一状态最优的结果，U(k) 为现在状态的掌握量，假如没有掌握量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k|k-1)的协方差还没更新。我们 用P表示协方差矩阵(covarian
5、ce)：P(k | k-l)=A P(k-11 kl) Az+Q(2)式(2)中，P(k|k-1)是X(k|k-1)对应的协方差，P(k-l|k-l)是X(k-l|k-l)对应的协方差，A表示A 的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。式子1, 2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个， 也就是对系统的猜测。计算卡尔曼增益矩阵(Kalman Gain)Kg：Kg(k)= P(k | k-1) H，/(H P(k |k-l) HT R)(3)现在我们有了现在状态的猜测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合猜测值和测量 值和卡尔曼增益，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k|k)：X(k |
6、k)= X(k | kl)+Kg(k)亿伙)H X(k |k-l)(4)到现在为止，我们已经得到了 k状态下最优的估算值X(k|k)。但是为了要令卡尔曼滤波器不 断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k|k)的协方差：P(k|k)= (l-Kg(k)H)P(k|k-1) (5)其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，1=1。当系统进入k+1状态时，P(k|k)就是式子(2) 的P(k-l|k-l)。这样，算法就可以自回归的运算下去。初始值依据上一最优方程进行估量运算，得到 X(k|kl)依据上一最优方程进行估量运算，得到 X(k|kl)输入测量值Z化)计算X(k|kl)对应的协方差
7、P(k|k-1)依据P(k|kl)计算卡尔曼增益矩阵Kg(k)依据估量值和测量值得出最优方程X(k|k)V.基于卡尔曼滤波的温度估量C(k | k-l)=A C(k-11 k-l)+B U(k)(1)P(k | k-l)=A P(k-1 |k-l) A4Q(2)Kg(k)= P(k | k-1) H /(H P(k |k-l) H + R)(3)C(k |k)= C(k | kl)+Kg(k)亿(k)-H C(k | k-1)(4)P(k|k)= (l-Kg(k)H)P(k|k-1) (5)假如我们要估算k时刻的实际温度值。首先要依据k-1时刻的温度值，来猜测k时亥ij 的温度。一般来说，我们
8、假设温度是恒定的，所以k时刻的温度猜测值是跟k-1时刻一样的， 假设是23度，同时该值的高斯噪声的偏差是5度(5是这样得到的：假如k-1时刻估算出 的最优温度值的偏差是3,假如对猜测的不确定度是4度，他们平方相加再开方，就是5) o 然后，从温度计那里得到了 k时刻的温度值，假设是25度，同时该值的偏差是4度。由于我们用于估算k时刻的实际温度有两个温度值，分别是23度和25度。那么毕竟 实际温度是多少呢？估量值更精确还是测量值更精确？我们可以用他们的协方差(covariance)来推断。由于Kg=5八2/(5八2+4八2),所以Kg=0.61,我们可以估算 出k时刻的实际温度值是：23+0.6
9、1*(25-23)=24.22度。可以看出，由于温度计的协方差 (covariance)比较小(比较信任温度计)，所以估算出的最优温度值偏向温度计的值。现在我们已经得到k时刻的最优温度值了，下一步就是要进入k+1时刻，进行新的最 优估算。但是，在进入k+1时刻之前，我们还要算出k时刻那个最优值(24.22度)的偏差。 算法如下：(1-Kg)*5八2)八0.5=3.12。这里的5就是上面的k时刻你猜测的那个23度温度值 的偏差，得出的3.12就是进入k+1时刻以后k时刻估算出的最优温度值的偏差(对应于上 面的3)。就是这样，卡尔曼滤波器就不断的把(协方差(covariance)递归，从而估算出最
10、优的温度值。 他运行的很快，而且它只保留了上一时刻的协方差(covariance)。上面的Kg,就是卡尔曼增 益(Kalman Gain)。3 .基于卡尔曼滤波的飞行器跟踪本试验中，我们应用扩展卡尔曼滤波器来跟踪飞行器的位置和速度，飞行器按方案以给 定的方向和速度运动，需测量距离和方位。在得出的飞行器的动力学模型中，我们假定恒定 速度，只受到由风、稍微的速度修正等产生的扰动，这些状况在飞机上是可能消失得，所以 在n时刻，在X和Y方向的速度重量为v n = v n-l + u MA“I假如没有噪音MM和町川 扰动，速度是不变的，因此，飞行器将被看作是直线运动。 依据运动方程，在时刻n的位置为，尸
11、丫=9 T + v J，TAJJ其中A是样本之间的时间间隔。在这个运动方程的离散模型中，飞行器将按前一时刻的 速度运动，然后下一时刻突然转变，这是对真实连续行为的一种近似。现在，我们选择的 信号矢量是由位置和速度矢量重量组成的。TX y AV状态:10A0010A00100001vA小Tsn -100“J卬测量的是距离和方位:- arctan 或者Rn = Ri + coRn血，1 =加7 + 0,按照一般形式，观测方程式为xn=%(sD +其中h是函数:/?($) =r 77 y arctan A最终，我们需要指定驱动噪声和观测噪声的协方差。我们假设风、速度修正等在任何方2向以同样的幅度消失，那么给以川和”给予相同的方差（都用表示）并且假定 它们是独立的，这是合理的。那么，我们有0 0 00 0 00 0 a2000b1/11