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1、4.2.解: 1 1设ARMA(1,1)模型的传输系数为：H(z)=11 +。隆一1则：x(n) = -axxn一 1) + ()+ bxun-1)所以：7?vv(m) = x()x(m +) = x()-4 x(m + n- l) + u(m + n) + b1u(m + -1) =-ax R(m -1) + Ex(7i)w(7n + n) + bx Ex(n)u(m + - 1)=-axRm-Y) +(ySiri) +b cr2(m-1)(1)(2)由自相关函数的偶对称性得：尺=7?(-1)= 一。(0) + 4而又由：R(0) = qR(D + cP所以：尺二11等可以得到递推关系试：R
2、(0) =可以得到递推关系试：R(0) =1-a2R=/呼+府=(产1 211 2I -I _ 6Z|R(2)L =一。rz x z 、吁I (伪 一 1)。2R(m)=(一卬)-a若用ARG)来逼近ARMA(1)则由Yule-Walker方程:p ,-Z akRxx(m-k)+ a2, m = 0k=4.23 解:q求MA(q)的丫山6-川/女方程r(几)=k(n - k)k=0Rxx(m)= Ex(n)x(m + n)=+ 攵) = Ex(n)u(m + n- k) k=k=q oo=，W(/)5/)(机+ 一左)z=i 1=0 q oo=/Jbkyj h(l)Eu(n - V)um +
3、n- k) k=1=0qgq=2瓦 。(5-k + l) =h(m- k),m = 0,l,qk= /=0k=即为MA(q)模型的上方程。设有一MA(q)过程，现根据它的7个已知数据%(-1),%(-2)-,%(-)的q线性组合() = b*(几-攵)来预测x()。k=0预测系数按预测误差功率最小准来选取，即8 - Ee2(n) = (%(/:) - i(/i)2 = minq由正交原理，稿为=砥幻=17/)k = ，i，qR(k) = 0m q + 1这与AM(q)模型的H/e-W”优方程相同，若二者是有同样的自相关值，它们 的解必相同，艮叫=%，即最佳线性预测系数恰等于MA模型参数，根据W
4、o/d分解 定理推证，任何以4过程可以用一个无限阶的4底程表示ooq即()= -(-Z)这个无限阶的AR过程可以表示膈()=bk(n-k)k=k=0这个阶的队4过程。第五章答案M=,11(1一/7),所以 r=0M=,11(1一/7),所以 r=05.185.18：5.18：x()=(一 eV). X(z)=1 0 rzr=0r=lX 1(z) = IwA(z) = InaQ + 工 Z?j(l-z/rz*v)F=04/ qd nx / nxxz)=ina.+yy(-=/4+yy(_”-外=加4+v夕,厂外，所以：x(w) = ZX ()=力7 ao5(0) + 1 13Ml7 rN) n=I
5、很 湖了 瓜升的旧诉面的常数q,而口厂的范围是从0到跟戈件卜一的1到M不同，因此展开式也不同，我们在改作业的过程中可能仃些疏漏，请大家仔细对照。pm 0m 0-建晨m-k),k=i可以由递推关系写成矩阵形式:矩阵中当P A8时即可得到AR(8)逼近ARMA(1,1)时系数所对应的关系。4. 3证明:设AR模型要模拟的过程为AR(p)过程，且用AR(p)模型可以精确模拟AR(p)过程 其预测误差为：Apx()-X()- akx(n _ ) + u(n) -akx(n- k)k=k=取线性预测系数等于AR模型的参数则：x() 一 X()= U)命题得证.4 . 4 解E：a N-l-|/?|(1)
6、Rn(m)= F E x(n)x(m + n)， N =()，放3)=|，R =gaA 4 A 37?()= i ，RD = m ，R2)=ky _A_44 ay =一/i Q(),o =一1E + *) z=0流程图:流程图:0x (n) oe；()R(0) + .4 10 8(2)21 = % _72ali=- y y1a22 = 一7210 = y99S2=R() +&mE = (1 - )cr： = (1-)x =8125 45功率谱为:1445x|9_8xe-216s.W)=h45x|l + %e-加 Fk=l4.4由公式 r(n)= N72-4-1-/7?2()2 得: /=13R
7、(2)=不AR(0):S；=R(0)=lAR(1):4Do=aoo*R(l)=-4殍=(1一言* %=(_1|)*用=* 即）二1A R ( 2 )：1A =$*(1 + 1) /=0= o10*R(2) + a11R(l)_ 3_26 _J_-525 -25r 二，二一25 二 12 5：2925四二（1-片）*印=(1-1)*伪2 =(1-1)*伪2 =。2.21一阶预测误差滤波器:一阶预测误差滤波器:P“T(z) = A(z) = Zq(Z)*z-ak=04= 1+ *2一5预测误差滤波器:预测误差滤波器:- z) - 7 z z/v n-z*1 - 9+ Tz*8 - 9+16一452
8、x(5) = -(%) * x(5 - k)k=_ *x(4)_q *x(3)_87-9_9-9(3 )格型滤波器的原理图如下：4.5解法一R(0) =1 + 4 + 9 + 16 + 255=11RQ) =2 + 6 + 12 + 205RQ) =3 + 8 + 15 5= 5.2AR(0):b； = R(0) = UAR(1)D = %。* WD = 81用ii o o 64575：=(i)*n = 12111ai.O = 18Q =一4=11 1 11AR(2)0 =%*R+%R26 8 34=*8 =5115534r =2l = _55=_212 5：572851134257酣=(1/
9、)*5： =(i-)*= 5.1081-285211。2.0 = a2A = a1 一 g * % = 0.6405134 = -r.=,2854.5解法二4.51 41、r(k) =，口(k) = Ex(n)x(n + k)”0)=二 x2) = ll.r(l) = 8.r(2) = 52 , 5 ,=o初始化(j=0) =r(O) = llj=l：4=匕=1)/r(0) = 0.7213=(1 -吁)r(0) = 5.1818j=2时，递推得到：k2 =-r(2)-ar(2-1) = -0.1193.a； =ka； =a；=0.8140.E? =(1 一后)彦=5.1081 E所以：2阶时
10、的解为：2q = a； = 0.8140. a2 = -0.1193. a： = ? = -0.1193. x(h) = ： qx(” 一 z).乳0) = 1.2701. x(4) = 2.8981 高图略。2、已知：x(0)= 1 .x( 1 )=2 .x(2 )=3 .x(3)=4.x(4)=5初始化:靖5) = x().e；() = x().b； = ?(0) = 11 o j=l 时：42Vef(W)4(W)2022 23 24 25K = I-5=方=092524 e：=1()-K*；(w-1) = 1.TT-TV*外了工团货+工团-i)F 2121 21 21 21=1e； =
11、e：()We：=一寺言.卷.卷等,%2 = (1-时)凉=1.0027尸时：K? =回：=-0.9571,次=(1-(注)2)0； =0.0859-工囿(行+同(一1)676 “,1弗a； = K： = 0,9524. a； = . 一 =1.8639. a： = K； = -0,9571.x(0) = a；x(l) + a：x(2) = 0,8567. x(4) = a：x(3) + a；x(2) = 4.5841e； (.) = e；()-K：e； (- 1) = L0.136L0.2293.0.3225.0,4157e；() = e；G?) K；e；(3、略(做表比较)这道题很多同学在求
12、元(0)出错,实际1应该用武1)和(2)用公式可以直接反向求出(0)“4. 74。9为汪枫、李广柱所做 kZ akiX(n - k + i ak0 二 1 i=04.7解：模型的传输函数为：H AR(Z)= A(Z)其模型输出功率谱为:3r(z)二a2AA 9k jfe -iA(z)A (z )(1)是随机过程自相关函数的个取样值位置变换而来，即:00AR(z)=工宜(m)zT7=-00由(1)、(2)式，得&2A八暮 率- 1A(z)A (z )00=Yzmm=700EMM”。in=-人人人&2h -m) - (T2cr(m) = a(m) * i?(m) = &(l)宜(m - /),(m
13、 0)1=0n a2a(m) = a(l)R(m 一 l),(m 0)7=0当mp , /)Ao /)= onA(m)= (/)A(m/)/=()/=()/=1(2)/n = O,l,.p &(l)&(m -1)= 1=0d2 m = 00 m = l,，p4.9解：前向预测误差为：e： =%/(i),以。=1 ，/=0后向预测误差为：e = Ea/-k + i)k()= 1/=ok二工为小/一)。=L(2)z=0设前向预测系数翘(i);后向预测系数% (i).由、(2)式，得 bp(i) = .(p-i) (i = O,l,p)4. 18举一反例证明在自相关法利用自相关函数的无偏估计将不能保
14、证Yule-Walker方程的系数矩阵正定。解：设数据序列X = (l 1 I)，则其自相关的无偏估计为:NTz|-1x(n)x(n + m)n=O可求得：/?vv(0) = -(1 + 1 + 1) = 1 ， 七(1) = 1 =尺2)AA3人人AA显然，Yule-Walker方程的系数矩阵为：1 1 r1 1 1 非正定。1 1 1N-制-1反之，若采用自相关的渐近无偏估计尺加(加)=工()%( +加)，可计算得二0八A2A1(0) = 1,=一，(2) = 2 ri2-31-33 3则，Yule-Walker方程的系数矩阵为：4. 19试证明矩阵的维数为pxp且数据由p-1或更少的复正
15、弦波构成时协方差法中的矩阵是奇异的。证明：设数据由p-1个复争正弦波组成，则协方差法中的元素N-lN-Cxx，j)= X (，)%(=-，)+ xn-P + 1 + i)x(n- p + l + j) n=p-n=p-4. 20试证明：Burg法估计的反射系数的模总是小于或等于1的。 证：2月联J 5-1) n= PN-12-(T)Vn=P()2 +(H-l)2Z (部)2 +(-1 5 1)广n=pN12与%()小(”1)福=1得证。1)n=p4. 21以AR (3)为例，证明格形滤波器中各阶反向预测误差是互相正交的。 证明：以AR (3)为例，得到格形滤波器的各阶反向预测误差为：，()=Z
16、gi.itM - i) = ciuxn + xn -1) i=02e2()= Z2.2M - i) = 6z22x(/i) + a2x(n -1) + x(n - 2)i=03e3(n) = Z3,3tX( 一，)= 33%(九)+一 1) + axn - 2) + xn 一 3)i=U则Ele (n)e (n) = a22alRx(0) + + 421ali& + 421HX。)+。“尺(2) + &(1)由二阶Yule-Walker方程（。）（R。）（。）（R。）4 (。) 尺尺1a2R式1） + &冏（） +。22尺=0代入上式，则Ee(n)e(n) = 422ali %(。)+ /吗 i & + aw 凡 =% J22Hx()+ % & (1) + & =0同理可证，e(n)与e(n)正交，e(n)与()正交。故命题成立。