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1、3-1某弹簧质量系统攵/m,具有自然频率工，第2个弹簧心串联于第一个弹簧, 其自然频率降至1/2工，求以勺表示的公。kk211J/1/(27r v m(k +k2)3-2如图所示，杆a与弹簧勺和心相连，弹簧勺置于杆a的中央，杆b与弹簧/ 和号相连，质量m置于杆b的中央。设杆a和杆b为质量和转动惯矩可忽略 的刚性杆，并能在图示平面内自由移动和转动。求质量m上、下振动的固有频 率。解:红、pi/2i,/4mv-1 11 秋 2 4b1X, =F2k3X1 +x221% =2k416匕 I6k2 的16匕 I6k2 的王，1n i i r16kl I6k2 4k3 4%所以九所以九2tc V m 2
2、 7i4z i irm(111)4左 4kk& k.1乙*1（0）= 2兀工）3-3求图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是匕及履,悬臂梁的质量忽 略不计。解：匕和攵2为串联，等效刚度为：跖=心一。（因为总变形为求和） k、+ k?匕2和七为并联（因为匕2的变形等于网的变形），则:, kk, , k,k. + k,k. + k.k.b b _1_ b Z _1_ b Z1 3Z J23 一 2十“3 一 7, j十与一k、+ k2kx + k2人123和攵4为串联（因为总变形为求和），故:k、23k4 _kJ2k4 + kJ3k4 + k2k3k4kn3 + k 4kxk2 + 3 + k
3、2k3 + k/4 + k2k4故：= J3-4求图所示系统的固有频率，刚性杆的质量忽略不计。解： 机的位置：x = x2 + xAk2mgl = Fa ,mglak、xx _ a7mg2a2k1mg m212：.X = X2+XA + k, a /vi12-k2 a k、_ akx + 12 k2a2k1k2mgj _ a2kk2,C% + 12 k 23-5在图所示的系统中，已知仁.(i = l,2,3), m, 和b,横杆质量不计。求固有频WAWA解：对加进行受力分析可得:mg = k3x3，即 =强-k3如图可得:由 二大二 mgb , F? = mga1 k1 ( + b)k 9 2
4、 k2 (a + b)k2a + b (6Z + Z?)2 kyk2mgmg = mgkemX = x0 + x3 =X = x0 + x3 =a2k. +b2k91o=1但 + 飞12 k3则等效弹簧刚度为:k _“k、k2k3c a1 k#3 + Nk2k3 + (a + bf kk2则固有频率为:.kJ2k3(a + 疗”kk2(a + bf + 左3(匕2 + k2b2)3-6质量班 物体挂在弹簧MN/m）下端形成静平衡，第二个质量%从高度力 降落到物体叫上，该碰撞为完全弹性碰撞，如图所示，求碰撞后下方质量的运解：由町的静平衡位置得位移：x由撞击后班+网为自由体，分析力系动平衡，得到振
5、动的运动平衡方程:（町 + m2 ）x = m2g - kx一般解：xt = A cos cot + B sin cot + k其中69 = IY肛十的加2从高度。处落下，其速度有能量守恒：m2g/t = -m2v2得至叫，网碰撞后，由于必不反弹（完全弹性碰撞），所以能量守恒并不适用,根据动量不减定律生匕=（町+m2）V，得到两者合体速度速度为牡械通/（町+色）。初始条件：x（0） = 0,食（0） = m2d2gh/（见 +“）货”二号元(0) = (一 Aysin cot + 5。cos cot)t=() = Bco - m2 小2gh / (町 +m2)町 +m2 m2 y12gh _
6、m212ghk町+根21人(班+42)/八_一也80也在皿m2gXyt)-cos cut /sin cutkJ%(町+生) km2g Z1、 m2d2gh.,-(1- cos 69/) H/sin cot3-7如图所示，质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位 置，质量为的重物从高度为h处自由降落到m1上而无弹跳，求系统的运 动规律。解：/无阻尼自由振动通解：x （0 = c j cos co n t + c2 sin co n tu A Au A A其中臼=X。 c2 = x0 / con由班的静平衡位置得位移：kA I mig =无弹跳（完全弹性碰撞：动能和动量守恒）所以有 m
7、2gh = m2vl/ ,私 J2gm2V2 =(町 + 机2)v 得至U % = %o = -町+ m7所以xQ) =12gh小(m、+ m2) k3-8 一个弹簧-质量系统从倾斜角为30。的光滑斜面下滑。求弹簧从开始接触挡 板到脱开挡板的时间。解：设弹簧接触挡板的时刻为t=0,此后质量块做无阻尼 自由振动，以弹簧的平衡位置为原点，其运动方程为：t=0时的初始速度 用=d2gs-sin30；= 拆初始位移(即弹簧自由长度与静平衡长度的差值)_ mg sin 30xo 二 ；kmg 2k质量块的运动规律为X = x0cosa)nt + sina)nt con 7klm求出运动规律后，要求弹簧从
8、开始接触挡板到脱开挡板的时间，有两种办法。解法一：设弹簧运行至最低点时t =则弹簧脱离挡板的时刻应为厂21。令 以7) = 0,可得 一sin COnT + x0 COS CDnT = 0弹簧从接触挡板到脱离的时间为At = 2r解法二：将此简谐运动写作x = cos a）nt + sin cont = A cos（。/ - 0） con（p = arctan x（） 玉）由图可见，弹簧从接触挡板到脱离的时间为式中:Z _ 2万一2。7 _ 27t-2（/） 23-9一振动系统具有下列参数：质量m = 17.5 kg,弹簧刚度k = 70.0 N/cm,粘性 阻尼系数c = 0.70 N s/
9、cm0求：(a)阻尼比C ； (b)有阻尼固有频率；(c)对 数衰减率；(d)任意二相临振幅比值。对数衰减率：时间-位移曲线上两相邻极大值之比再取对数 c C解： Cc2ylmk(注意单位之间的统一：这里要将k=7000N/m)g= J U = Jl - U 19.9 rad/sV m5=产，- 0.6282乃呼工= e/W = e4 1.88玉+13-10带粘性阻尼的单自由度系统，等效质量m = 5kg,等效刚度k=10 kN/m, 其任意两相邻振幅比为1 :0.98,求：(a)系统的有阻尼固有频率；(b)对数衰减率；(c)阻尼系数c；阻尼比.解：=/=：098 所以3 = 0.0202所以二= 0.003215c = 1.44 Ns/m