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1、梯形一选择题1（2013兰州，6，3分）下列命题中是假命题的是（）A平行四边形的对边相等 B菱形的四条边相等C矩形的对边平行且相等 D等腰梯形的对边相等考点：命题与定理；平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；等腰梯形的性质分析：根据平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的判定与性质分别判断得出答案即可解答：解：A根据平行四边形的性质得出平行四边形的对边相等，此命题是真命题，不符合题意；B根据菱形的性质得出菱形的四条边相等，此命题是真命题，不符合题意；C根据矩形的性质得出矩形的对边平行且相等，此命题是真命题，不符合题意；D根据等腰梯形的上下底边不相等，此命题是假命题，符合题意故选：D点评：此题主要
2、考查了平行四边形、矩形、菱形、以及等腰梯形的判定与性质等知识，熟练掌握相关定理是解题关键2 （2013湖南张家界，6，3分）顺次连接等腰梯形四边中点所得的四边形一定是（）A矩形B正方形C菱形D直角梯形考点：中点四边形分析：根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形解答：解：如图，已知：等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：四边形EFGH是菱形证明：连接AC、BDE、F分别是AB、BC的中点，EF=AC同理FG=BD，GH=AC，EH=BD，又四边形ABCD是等腰梯形，AC=BD，EF=FG=GH=HE，四边形EFGH是菱形故选C点评
3、：此题主要考查了等腰梯形的性质，三角形的中位线定理和菱形的判定用到的知识点：等腰梯形的两底角相等；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；四边相等的四边形是菱形3. （2013宁波3分）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=，BC=4，连结BD，BAD的平分线交BD于点E，且AECD，则AD的长为（）ABCD2【答案】B【解析】延长AE交BC于F，AE是BAD的平分线，BAF=DAF，AECD，DAF=AFB，BAF=AFB，AB=BF，AB=，BC=4，CF=4=，ADBC，AECD，四边形AFCD是平行四边形，AD=CF=【方法指导】本题考查了梯形的性质，等腰三角形的性质，平行四
4、边形的判定与性质，梯形的问题，关键在于准确作出辅助线4（2013上海市，6，4分）在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（ ）（A）BDC =BCD；（B）ABC =DAB；（C）ADB =DAC；（D）AOB =BOC5.（2013四川巴中，6，3分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，点E、F分别是AB、CD的中点且EF=6，则AD+BC的值是（）A9B10.5C12D15考点：梯形中位线定理 分析：根据梯形的中位线等于两底和的一半解答解答：解：E和F分别是AB和CD的中点，EF是梯形ABCD的中位线，EF=（AD+BC），EF=6
5、，AD+BC=62=12故选C点评：本题主要考查了梯形的中位线定理，熟记梯形的中位线平行于两底边并且等于两底边和的一半是解题的关键6（2013湖北省十堰市，1，3分）如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60，则下底BC的长为（）A8B9C10D11考点：等腰梯形的性质；等边三角形的判定与性质分析：首先构造直角三角形，进而根据等腰梯形的性质得出B=60，BF=EC，AD=EF=5，求出BF即可解答：解：过点A作AFBC于点F，过点D作DEBC于点E，梯形ABCD中，ADBC，AB=DC=3，AD=5，C=60，B=60，BF=EC，AD=EF=5，cos60=，解得：B
6、F=1.5，故EC=1.5，BC=1.5+1.5+5=8故选：A点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及解直角三角形等知识，根据已知得出BF=EC的长是解题关键7（2013广东广州，10，4分）如图5，四边形ABCD是梯形，ADBC，CA是BCD的平分线，且ABAC，AB=4，AD=6，则tanB=（ ）A. B. C. D. 【答案】 B.【解析】如答案图，CA是BCD的平分线1=2ADBC1=3从而3=2AD=6CD=AD=6作DEAC于E可知AE=CE1=2，BAC=DECABCEDCAE=CE， CD=6BC=12在RtABC中，由勾股定理求得AC=8所以，tanB=2，答案选B。【方法
7、指导】1.一道几何题中，同时有角平分线和平行线，要注意角间的转化；2.对于等腰三角形，要注意运用“三线合一”的性质将问题转化8（2013山东德州，7，3分）下列命题中，真命题是A、 对角线相等的四边形是等腰梯形B、 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C、 对角线互相垂直的四边形是菱形D、 四个角相等的边形是矩形【答案】D【解析】A、对角线相等的四边形是等腰梯形，是假命题，如：对角线相等的四边形可以是矩形等；B、对角线互相垂直且平分的四边形是正方形是假命题，如：满足条件的四边形可以是菱形，但菱形不是正方形哦；D、四个角相等的边形是矩形是假命题，如：满足条件的四边形可以是正方形，但要注意矩形与正
8、方形是一般与特殊关系.【方法指导】本题考查了命题真、假的判断.实际可以记住我们已经学过的相关定义、定理、数学基本事实等，它们都是真命题.9. （2013四川宜宾，12，3分）在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90，AB=BC，E为AB边上的一点，BCE=15，且AE=AD，连接DE交对角线AC于H，连接BH下列结论：ACDACE；CDE等边三角形； ；其中结论正确的是()A只有B 只有C 只有D 【答案】A【解析】根据AB=BC, ABC=90可得ABC为等腰直角三角形所以BAC=ACB=45，由ADBC可得DAC=BCA=45根据“边角边”可得ACDACE，所以正确；由ACDACE可得
9、EC=DC，ECH=DCH.因为ACB=45,BCE=15，所以ECH=DCH=30所以ECD=60,所以CDE等边三角形；故正确.根据ECH=30，而BCE=15，所以延长EB至F，使EB=BF，连接CF，如图，则BECBFC，所以ECM=30,然后过点E作EMFC,垂足为M，根据AAS易证EMCEHC，可得EH=EM。因为EMEF,而EF=2EB,所故不正确由ACDACE可得ECH=DCH，根据三线合一定理，CHDE，E边上的中线，所以所以因为AEH为等腰直角三角形，所以AH=EH在RtCEH中，CH=所以故不正确【方法指导】本题考查了三角形全等、平行线的性质、等腰三角形三线合一定理、直角
10、三角形、等边三角形、三角形的面积，综合性较强，.要熟记全等三角形的判定定理，并能灵活运用在复杂的几何图形中能通过作辅助线（如借助垂直、中点或角的平分线、已知条件等或通过对称进行转换，把角转换成特殊角），构造全等条件来证明线段、角相等；另外遇到等腰三角形一定要想到“三线合一”定理，解题时要注意一些思想方法的运用求面积时，要选择合适的底和高二填空题1.（2013湖南长沙，18，3分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，B=50，C=80，AECD交BC于点E，若AD=2，BC=5，则CD的长是 .答案：3【详解】因为AECD、ADBC，所以AEB=C=80、CD=AE、AD=EC；在ABE中，根据三
11、角形内角和可知BAE=1808050=50，即AE=BE=BCEC=52=3，所以CD=3.2. （2013江苏南京，15，2分） 如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，AC与BD相交xyABCDPO 于点P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，则点P的坐标为（ ， ）。答案：3； 解析：如图，由对称性可知P的横坐标为3，错误！不能通过编辑域代码创建对象。，即错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以，PE错误！不能通过编辑域代码创建对象。，错误！不能通过编辑域代码创建对象。1故P的坐标为（3，）。3（2013贵州省六盘水，15，4分）如图，梯形ABCD中，ADBC，A
12、D=4，AB=5，BC=10，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于19考点：梯形；线段垂直平分线的性质分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DE=CE，然后求出四边形ABED的周长=AD+AB+BC，然后代入数据进行计算即可得解解答：解：CD的垂直平分线交BC于E，DE=CE，四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=AD+AB+BC，AD=4，AB=5，BC=10，四边形ABED的周长=4+5+10=19故答案为：19点评：本题考查了梯形，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键4.（2013山东
13、临沂，18，3分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，DEBC，BDDC，垂足分别为E，D，DE3，BD5则腰长AB_ABCDE【答案】：【解析】因为DE3，BD5所以BE=4，DE2=BEEC,EC=,在三角形DEC中，根据勾股定理得AB。【方法指导】利用勾股定理和相似三角形的性质。5. （2013江苏扬州，14，3分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=CD，BC=12，ABC=60，则梯形ABCD的周长为 【答案】30【解析】过点D作DEAB，交BC于点EADBC，AD=BE设AB=AD=CD=x，则BE=xABC=60，DCE是等边三角形CE=xBC=12，2x=12解得x=
14、6所以梯形ABCD的周长=56=30所以应填30【方法指导】考查梯形中常作辅助线的方法以及梯形的性质利用梯形中常作的辅助线的方法，求出梯形的上底和两腰，再求得周长【易错警示】不掌握等腰梯形的性质，等腰三角形（等边三角形）的性质，平行四边形的判定和性质等知识，不能综合运用知识而出错6. (2013山东烟台，15,3分)如图，四边形ABCD是等腰梯形，ABC=60若其四边满足长度的众数为5平均数为，上、下底之比为l：2则BD=_.【答案】【解析】如图：根据等腰梯形的性质以及众数的定义，可以确定出AB=CD=5，设AD=x，则BC=10，x=5在等腰ABD中，过点A作AEBD，垂足为E.ABC=60
15、，ABD=ADB=DBC=30，在ABE中，AB=5，ABD=30，BE=BD=【方法指导】本题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、众数、平均数、三角函数.梯形是三角形与平行四边形以及三角函数知识的结合点，所以有关梯形的试题形式灵活，考查面广，本题巧妙的把众数、平均数和梯形巧妙的结合在一起，解题时要透过现象抓住本质，分离出基本图形等腰ABD，然后再利用三角函数求解.三解答题1（2013广西钦州，20，6分）如图，梯形ABCD中，ADBC，ABDE，DEC=C，求证：梯形ABCD是等腰梯形考点：等腰梯形的判定专题：证明题分析：由ABDE，DEC=C，易证得B=C，又由
16、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形，即可证得结论解答：证明：ABDE，DEC=B，DEC=C，B=C，梯形ABCD是等腰梯形点评：此题考查了等腰梯形的判定此题比较简单，注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形定理的应用，注意数形结合思想的应用2. 2013杭州8分）如图，在等腰梯形ABCD中，ABDC，线段AG，BG分别交CD于点E，F，DE=CF求证：GAB是等腰三角形【思路分析】由在等腰梯形ABCD中，ABDC，DE=CF，利用SAS，易证得ADEBCF，即可得DAE=CBF，则可得GAB=GBA，然后由等角对等边，证得：GAB是等腰三角形【解析】证明：在等腰梯形中ABCD中，AD=BC
17、，D=C，DAB=CBA，在ADE和BCF中，ADEBCF（SAS），DAE=CBF，GAB=GBA，GA=GB，即GAB为等腰三角形【方法指导】此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用3（2013山东滨州，24，10分）某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图所示其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40cm、8cm，为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50cm，那么横梁EF一年高位多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)【答案】：解：过点C作CMAB，交EF、AD于N、M，作CPA
18、D，交EF、AD于Q、P由题意，得四边形ABCM是平行四边形，EN=AM=BC=20(cm)MD=ADAM=5020=30(cm)由题意知CP=40cm，PQ=8cm，CQ=32cmEFAD，CNFCMD=，即=解得NF=24(cm)EF=EN+NF=20+24=44(cm)答：横梁EF应为44cm【解析】根据平行四边形的性质，可得EN=AM=BC，先求出MD,CQ的长度，再由CNFCMD，可得出NF，继而得出EF的长度【方法指导】本题考查了相似三角形的应用及等腰梯形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰梯形的性质，这些是需要我们熟练记忆的内容4、（2013深圳，20，8分）如图4，在等腰梯形中
19、，已知，与交于点，延长至，使得，连接。（1）求证：（2）若，试求的长。 图4【答案】（1）证明：梯形为等腰梯形， 又 四边形为平行四边形 （2）过点作于点梯形为等腰梯形又四边形为平行四边形，因此，故又，则，由（1）知，故而 为等腰直角三角形 ，从而，则 从而 【解析】（1）由等腰梯形的性质有，又易证四边形为平行四边形，知，故（2）过点作于点，由等腰梯形和平行四边形的性质有，故由（1）知，由（2）的条件知，因而 为等腰直角三角形，因而易求，进而可求及 从而求出的长【方法指导】本题考查了等腰等梯的性质、等腰三角形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理及转化思想的运用等知识点，其中，将梯形的面积转
20、化为等腰三角形的面积是切题的关键。5. （2013福建福州，21，12分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，B45，P是BC边上一点，PAD的面积为，设ABx，ADy（1）求y与x的函数关系式；（2）若APD45，当y1时，求PBPC的值；+（3）若APD90，求y的最小值ABCDPABCD【思路分析】（1）如图1，过A作AE垂直于BC，在RtABE中，由B45，ABx，利用锐角三角函数定义表示出AE，PAD的面积以AD为底，AE为高，利用三角形面积公式表示出，根据已知的面积即可列出y与x的函数关系式；（2）由图知APCAPDCPD，再利用外角性质得到关系式，等量代换得到BAPCPD，再由四
21、边形ABCD为等腰梯形，得到一对底角相等及ABCD，可得出ABP与PDC相似，由相似得比例，将CD换为AB，由y的值求出x的值，即为AB的值，即可求出PBPC的值；（3）取AD的中点F，过P作PH垂直于AD，由直角三角形PF大于等于PH，当PFPH时，PF最小，此时F与H重合，由APD为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到PF等于AD的一半，表示出PF即为PH，三角形APD面积以AD为底，PH为高，利用三角形面积公式表示出三角形APD面积，由已知的面积求出y的值，即为最小值解：（1）如图1，过点A作AEBC于点E，在RtABE中，B45，ABxAEABsinBxSAPDADAE，yxy（2）APCAPDCPDBBAP，又APDB45BAPCPD四边形ABCD是等腰梯形，BC，ABDCABPPCDPBPCABDCPBPCAB2当y1时，x即ABPBPC()22（3）如图2，取AD的中点F，连接PF过点P作PHAD于点HPFPH当PFPH时，PF有最小值又APD90，PFADyPHySAPDADPH，yyy22y0，y即y的最小值为【方法指导】此题考查了相似形综合题，涉及的知识有：等腰梯形的性质，相似三角形的判