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1、计算流体力学基础讲义 -1-第五章 网格与相应变换 5.2 方程的一般变换 以二维非定常流动问题为例，我们将物理空间的自变量 x，y，t 转换到计算空间内的新自变量,，其中，和均是 x,y,t 的函数，是 t 的函数。这里方程 5.1a 至 c 即表示变换关系，且此处的变换仅为一般形式。对于一个特定的实际应用，它们必须为某种特定的解析关系或者数值关系。注意，变换中，只是时间 t 的函数，并且在大多数情况下有=t。这看上去多此一举，但是其必须正式参与变换，否则某些必需的项就不能形成。(,)(,)()x y tx y tt=(5.1a)(5.1b)(5.1c)流场控制方程中含有流动变量对 x,y,
2、t 的一阶或二阶偏导数，要将控制方程由(x,y,t)平面变换到(,)平面，需要对这些偏导数进行变换。我们先看看一阶导数的变换。由微分计算的链式法则，可以得到这样的一个表达式：,()()()()()()()y ty ty ty txxxx =+(A5.2.1)该表达式中的,对 x 的偏导数可以由前面方程(5.1a)至(5.1c)直接计算得到。表达式中的下标是用来强调在求偏导数的过程中被认为是不变的自变量。下面的表达式中将略去下标，但是记住它们的含义是很有益处的。因此，可以得到(5.2)式，即对 x 的偏导数等于对和的偏导数的组合：()()()()xxx=+(5.2)同理可以得到(5.3)式，对
3、y 的偏导数可以表示成对和的偏导数的组合：()()()()yyy=+(5.3)对于时间偏导数，根据链式法则，可以得到：,()()()()()()()x yx yx yx ytttt =+(5.4)略去下标后，便可以得到：()()()()()()dtttdt=+(5.5)因此，方程式(5.2)，(5.3)，(5.5)将物理空间因变量关于 x,y,t 的一阶偏导数转化成计算空间相应的对,的偏导数。例如，我们可以将第二章推导出来的 Navier-Stokes 方程组中计算流体力学基础讲义 -2-所有的对 x 的偏导数用(5.2)式来代替，将所有的对 y 的偏导数用式(5.3)来代替，将所有的对t 的
4、偏导数用式(5.5)来代替。式中对,的偏导数的系数叫做几何变换系数，例如/x,/y,/x,/y等偏导数均为几何变换系数，可以由原始转换关系式(5.1a)至(5.1c)计算得到。如果式(5.1a)至(5.1c)由解析表达式给出，则几何变换系数可以显式地表示出来。但是，通常情况下，式(5.1a)至(5.1c)给出的转换关系只是数值关系，那么这种情况下几何变换系数就要通过有限差分法来计算。下面我们看看二阶偏导数的变换。在黏性流动的控制方程中，黏性项涉及二阶偏导数，需要做相应的变换。首先推导关于 x 的二阶偏导数。由前面的式(5.2)，令 A 等于对 x 的一阶偏导数：()()()()Axxx=+(A
5、5.2.2)那么可以得到如式(5.6)的对 x 的二阶偏导数：推导中用到了对两项相乘求偏导数的法则。式中B和C表示的偏导数项为混合偏导数，涉及对(x,y,t)坐标系中的一个自变量和(,)坐标系中的另一个自变量的偏导数。这并不是我们想要的，我们只想用关于,的偏导数来表示对 x 的二阶偏导数。因此，我们需要将 B 和 C 表示的混合偏导数进一步推导。根据式(5.2)，令 B 表示的混合偏导数可以写成先对求一阶偏导：2()Bxx=(A5.2.3)再对 x 进行一阶偏导：()()()()xxx=+(5.2)对照式(5.2)给出的链式法则，B 可以写成：222()()()()Bxx=+(5.7)同理，C
6、 表示的混合偏导数可以写成：2222()()()()()Cxxxx=+(5.8)22222222()()()()()()()()()()()()AxxxxxxxxxxxB C=+=+(5.6)计算流体力学基础讲义 -3-将 B 和 C 表示的混合偏导数代入到式(5.6)，便可得到二阶偏导数的变换式：在该变换式中，对 x 的二阶偏导数被完全变换成了对和的一阶、二阶及混合偏导数乘以不同的几何变换系数。下面继续推导关于 y 的二阶偏导数。根据式(5.3)，令 D 等于对 y 的一阶偏导数，那么可以得到如式(5.10)的对 y 的二阶偏导数。式中 E 和 F 表示的偏导数项为混合偏导数，含有对x 和
7、y 的偏导数，需要进行进一步推导。根据式(5.3)，令：()()()()Dyyy=+(A5.2.4)则：22222222()()()()()()()()()()()()Dyyyyyyyyyyy EF=+=+(5.10)类似于前面的对 x 二阶偏导数的处理方法，根据式(5.3)，可以得到 E 和 F 混合偏导数的变换式：222()()()()()Eyyyy=+(5.11)222()()()()()Fyyy=+(5.12)将 E 和 F 的变换式代入式(5.10)，便得到二阶偏导数的变换式：2222222222222()()()()()()()()2()()()yyyyyyy=+(5.13)在该变
8、换式中，对 y 的二阶偏导数被完全变换成了对和的一阶、二阶及混合偏导数乘以不同的几何变换系数。最后，继续推导关于 x 和 y 的混合二阶偏导数。其可以看成对 D 所表示的式(5.3)式进行一次对 x 的一阶偏导，应用对两项相乘求偏导数的法则，可以得到第二行的复杂表达式：2222222222222()()()()()()()()2()()()xxxxxxx=+(5.9)计算流体力学基础讲义 -4-22222()()()()()()()()()()()()Dx yxxyyx yyxx yyx=+=+(5.14)观察可以发现，该式中含有 B 和 C 两个混合偏导数项。利用前面推导出来的 B 和 C
9、混合偏导数变换式代入，可以得到式(5.15)的变换式。对 x 和 y 的混合二阶偏导数被完全变换成了对和的一阶、二阶及混合偏导数乘以不同的几何变换系数。22222222()()()()()()()()()()()()()()()x yx yx yxyxyxyxy=+(5.15)下面我们看一道例题：例 5.1：将用(x,y)表示的 Laplace 方程 22220 xy+=(5.16)转化成由(,)表示的形式。解：我们将公式(5.9)和(5.13)导入 Laplace 方程，合并同类项后，整理得到如式(5.17)所示的方程。22222222222222222()()()()2()()()()0
10、xyxyxxyyxyxy+=(5.17)对比物理平面(x,y)内的 Laplace 方程和变换到计算平面(,)后的 Laplace 方程，可以明显看出，变换后的方程包含了更多的项。因此可以想象，第二章的连续方程、动量方程、能量方程在变换之后将会含有很多项，方程形式变得非常复杂。在以上的学习中，需要注意两点。一是，对于前面推导出的强守恒型控制方程(2.93)式，只需要一阶导数的变换；而如果采用(2.58a-c)的弱守恒形式则需要二阶导数变换。二是，(x,y,t)转换到(,)的变换关系与控制方程的变换关系决定了物理空间与计算空间的一一对应关系。变换的目的是将物理空间的非均匀网格变换为计算空间的均匀网格。