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1、2.2 重力作用下液体的平衡微分方程【讨论】平衡液体的等压面必为与质量力正交的面吗？等压面，即 dp=0，即 fxdx+fydy+fzdz=0，由于沿等压面移动的距离 ds 和质量力不为零，所以等压面和质量力正交，即成 90，数量积为零。静止流体中，对不可压缩液体，等压面也是质量力势的等势面。质量力始终指向质量力势减小，即压强增加的方向。【学习目标】掌握液体的平衡微分方程。2.2.1 液体平衡微分方程 为了研究静水压强的规律，首先研究一下液体在平衡状态下，质量力与体积力所满足的关系。在平衡液体中取边长分别为 dx、dy和 dz的微小六面体，各边分别与坐标轴平行，如图2-3 所示。微小六面体质量
2、为dxdydzdm，设单位质量上的质量力在 x、y、z 方向上的分量为 X、Y、Z，令作用在六面体左边铅垂面 AD 的压强为p，则压力为pdydz。由p坐标的连续函数，即zyxpp,，当坐标微小变化时，p也变化，可用泰勒级数展开，以 x 方向为例，在 AD由于 x 坐标改变 dx，所以它的压强为：dxxpp，压力为：ppdx dydzx。由 x 方向处于平衡状态，则有：pdydz0ppdx dydzXdxdydzx （2-9）图 2-3 平衡液体中的微小六面体 方程两边同除以 dxdydz，化简后可得 01xpX （2-10）同理可得 y、z 方向上的表达式，最终得到 p dxxpp 0101
3、01zpZypYxpX （2-11）式中，X、Y、Z 为单位质量力在 x、y、z 轴方向的分量，与之相等分别是单位质量水所受的表面力在 x、y、z 轴方向上的分量。公式（2-11）即为液体的平衡微分方程，它是欧拉于 1755 年首先提出，所以又叫欧拉液体的平衡微分方程。它反应了液体质量力与压强梯度力之间的关系。2.2.2 压强分布公式与等压面 为求得液体的压强分布，需要对公式（2-11）进行积分。首先将公式（2-11）中的每个方程分别乘以 dx、dy 和 dz，并将三个方程相加，则：()pppdxdydzXdxYdyZdzxyz （2-12）式中，左端为压强 p=p(x，y，z)的全微分 dp，所以公式（2-12）可变为 ()dpXdx YdyZdz （2-13）式（2-13）叫做液体平衡微分方程的综合式，当质量力已知时，可以得到液体压强 p 的表达式。同种连续静止液体中，静压强相等的点组成的面叫做等压面。在等压面上，压强 p 为一个常量，也就是其导数为 dp 为 0。()0dpXdx YdyZdz （2-14）式（2-14）可简化为 0Xdx YdyZdz （2-15）公式(2-15)表明，在等压面上，质量力做功为 0，且质量力与等压面正交。