《(5.9.2)--5.3.1留数在定积分计算中的应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(5.9.2)--5.3.1留数在定积分计算中的应用.pdf（3页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、教学目的：教学目的：学会利用留数计算三种特殊类型的实积分.知识梳理：知识梳理：一、利用留数计算实积分的基本思想：把实积分化为复变函数沿着某一简单闭曲线的积分，然后利用留数定理，把它归结为留数的计算问题二、利用留数计算实积分的条件：1.被积函数与某个解析函数有关；2.定积分可化为某个沿闭曲线的复积分三、三种特殊类型的积分：1.形如20d)sin,(cosR积分（其中)sin,(cosR是cos,sin的有理函数，且在2,0上连续）令iez，则deidiz，zzidd，zzi21)e(ei21sin2ii，)e(e21cosiizz212当从 0 变到2时，z沿单位圆周1z变化一周，因此所设积分化
2、为沿正向单位圆周的复积分：20d)sin,(cosRzzzzzzRzidi21,21122zzfzd)(1，其中)(zf为z的有理函数，且在1z上分母不为零，所以满足留数定理的条件由留数定理，得所求的积分值：20d)sin,(cosRzzfzd)(1nkkzzf1),(Resi2，其中),2,1(nkzk为包含在1z内的)(zf的极点2.形如xxRd)(的积分当被积函数)(xR是x的有理函数，而分母的次数至少比分子的次数高二次，并且)(zR在实轴上没有孤立奇点时，积分是存在的若设)(zR在上半平面0Imz内的极点为kzk(),2,1p，则pkkzzRxxR1),(Resi2d)(3.形如)0(
3、de)(iaxxRax的积分当)(xR是x的有理函数，而分母的次数至少比分子的次数高一次，并且)(zR在实轴上没有孤立奇点时，积分是存在的 若设)(zR在上半平面0Imz内的极点为),2,1(pkzk，则pkkazaxzzRxxR1ii,e)(Resi2de)(例题讲解：例题讲解：例例 1计算202)cos32(dI的值解解令iez，则coszz212，zzidd，积分 I 化为1122(z)d3i4)31()3(d3i4zzzfzzzzI由于被积函数)(zf在1z内只有二级极点31z，且在圆周1z上无奇点所以利用留数定理，得31),(Resi23i4zfI384)3(338)3(313312
4、zzzzzz例例 2计算积分xxxxxId)1()9(2222解解这里2,2,4nmnm，且)1()9(2)(222zzzzzR在实轴上无孤立奇点，因此积分是存在的)(zR在上半平面内只有两个一级极点iz，i3z，由于i),(ReszRi16i1)1()9(2i)(lim222izzzzzz，i3),(ReszRi48i37)1()9(2i)3(lim222i3zzzzzz故125i48i37i16i1i2I例例 3计算积分)0(d1cos02axxaxI解解这里2,0,2nmnm，且211)(zzR在实轴上无孤立奇点，因此所求的积分是存在的)(zR在上半平面内有唯一的一级极点iz，得azazazaxzzRxxe2ei2i,e)(iRes2de11iiii2因此022d1cos21d1cosxxaxxxaxaaxxxe21de11Re21i2重难点注记：重难点注记：重点：利用留数定理计算三种特殊类型的实积分；难点：找出合适的函数)(zF和找出适当的曲线来连接区间的两端，从而构成一条封闭的积分路径.