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1、1/5 例 1 设有随机信号()()cos 20X tt=+，其中在0,2内均匀分布，求()X t的均值()E X t、二阶矩()2E Xt、自相关函数()()E X tX t+。解：在0,2内均匀分布，其概率密度函数为()021=2p，对于任意给定的时刻 t，()X t是一个随机变量，它是随机变量的函数，故有 ()()()()()20EE cos 20cos 20d1cos 20d02X tttpt=+=+=+=(1)随机信号()X t的二阶矩就是每个时刻的随机变量()X t的二阶矩：()()()()2211EE cos20E+cos 40222111E cos 402222Xtttt=+=
2、+=+=(2)最后一步数学期望为零的原理同式(1)，注意当在0,2内均匀分布时，2也在0,2内均匀分布。随机信号()X t的自相关函数是时刻t+的随机变量()X t+与时刻 t 的随机变量()X t的乘积的数学期望：()()()()()()()()()EE cos 2020cos 2011Ecos 20cos 402022211=cos 20+E cos 40202221cos 202X tX ttttttt+=+=+=注意数学期望是对随机变量操作。对于给定的t、，()cos 20是确定量，()cos 40202tt+是随机量。例 2 设有随机信号()()cos 20X tt=+，其中在0,内
3、均匀分布，求()X t的均值、自相关函数。解：(1)在0,内均匀分布，其概率密度函数为()1,0=0,2p 2/5 对于任意给定的时刻 t，()()cos 20X tt=+作为随机变量的函数，自身也是一个随机变量，该随机变量的数学期望为()()()()()()()00EE cos 20cos 20d2sin 2011cos 20dsin 20X tttpttt=+=+=+=+=自相关函数()()()1212,=EXRt tX tX t是随机变量()1cos 20 t+与随机变量()2cos 20 t+乘积的数学期望：()()()1212,=E cos 20cos 20XRt ttt+代入三角公
4、式()()()()11coscoscoscos22=+得到()()()()()121212121211,=Ecos 2020cos 202022211=cos 2020+E cos 2020222XRt ttttttttt+数学期望对随机变量操作，任何确定量 a 的数学期望是其自身，E aa=。对于任意给定的时刻12,t t，上式中的()121cos 20202tt是确定值，不是随机变量。另外，由在0,内均匀分布可知2在0,2内均匀分布。由于相位的模2特性，对任意确定值b，2b+也在0,2内均匀分布。另一方面，当()cos的角度时在0,2内均匀分布，由 于 各 个 角 度 机 会 均 等，故(
5、)cos的 统 计 平 均 值 是 零，由 此 可 知()12E cos 20202=0tt+，因此()()()121211,=cos 2020=cos 2022XRt ttt 其中12tt=。例 3 设有随机过程()rectnntX tanT=，其中等概取值于1。求(1)的均值、方差；(2)()的均值、方差。解：(1)E=(+1)12+(1)12=0。均值为零时，方差等于二阶矩E2。由于取值于1，其平方2恒为 1，故的方差是 1。(2)()的均值是 3/5 ()EErectErectErect0nnnnnnttX tananTTtanT=(3)均值为零时，方差等于二阶矩E2()。()是幅度取
6、1的方波，其平方()恒为 1，故()的方差是 1。例 4 设有随机过程()sincnntX tanT=，其中等概取值于0,1。求(3)的均值与方差。解：()()333sincnnXTana=，注意()1,0sinc0,1,2,kkk=。随机变量3等概取值于0,1，其均值是12，二阶矩是0212+1212=12，方差是二阶矩减均值的平方，为 1/4。例 5 设有随机过程()()nnX tatnT=，其中序列的元素以独立等概方式取值于1。求()的自相关函数(1,2)=E(1)(2)。解：()()()()()()()()()()1212121212EEEEEnknknnkknnnnkkkkX tX
7、ttnTtkTtnTtkTtnTtkTaaa aataanTtkTa=(4)由于独立等概取值于1，所以的均值为零且1,E0,knknakna=，代入后，二重求和中所有 的项都是零，结果是 ()()()()1212EnX tX ttnTtnT=(5)进一步，令12tt=，则 ()()()()1222E+nX tX ttnTtnT=(6)4/5 代 入 狄 拉 克 冲 激 函 数 的 性 质()()()()xyxzzyxz=得 到()()()()()()2222+=+tnTtnTnTnTtnTtnT=，因此 ()()()()()()1222EnnX tX ttnTtnT=(7)注注：数学期望是对随
8、机变量操作的，求数学期望时，确定量的乘性系数可以提到外面来。例如，设,X Y是两个随机变量，则E 3232EYXYX=。若,是两个确定量，则EEYYXX=。进一步，若()(),tt是两个确定函数，则对于任何 t，()(),tt是确定量，故()()()()EEt YXt XttY=。本题式(4)中，数学期望()()12EkntnTTa atk中的,kna a是随机变量，()()12,tnTtkT是确定函数 例 6 设有随机过程()()nnX tatnT=，其中序列的元素以独立等概方式取值于1。将()通过一个冲激响应为()的滤波器，求输出()的均值E()。解：()通过滤波器的输出是()，()通过滤
9、波器的输出是()，()通过滤波器的输出是()，()()nnX tatnT=通过滤波器的输出是()()nnY ta g tnT=，其均值是()()()EEE0nnnnY ta g tnTag tnT=例 7 某随机过程()是从1()=2cos(200)和2()=2cos(200)中随机选一个。求()的自相关函数(1,2)=E(1)(2)。解一：()抽到1()时，()()()()1212122cos2002cos2004cos200cos200X tX ttttt=抽到2()时，()()()()1212122cos2002cos2004cos200cos200X tX ttttt=随机抽的两个结果
10、一样，所以统计平均是 ()()()121212,E4cos200cos200XRt tX tX ttt=(8)5/5 解二：可将()表示成()=2cos(200+)，其中是一个取值于0,的随机变量。()的自相关函数为()()()()()()()()()12121212121212,EE 2cos 2002cos 200E cos 200cos 20022cos 2002E cos 2002XRt tX tX ttttttttttt=+=+=+取 0 或者，2取 0 或2。对相位来说，0 和2是一样的，因此上式最后一项中的2可换成 0，这样 ()()()121212,2cos 2002cos 200XRt ttttt=+(9)根据三角公式可知，式(8)和式(9)右边是相等的。解三：可将()表示成()=cos(200)，其中是一个取值于2的随机变量。()的自相关函数为()()()()()()()()()()()12121222121212,EEcos 200cos 200Ecos 200cos 200Ecos 200cos 200cos 200cos 200XRt tZX tX tZttZttZtttt=