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1、4.3 差商与牛顿插值（Newtons Interpolatory Divided Difference Formula）利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构整齐紧凑，在理论分析中很方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克服这一缺点，我们可以利用差商表示，得到牛顿差商插值公式（Newtons Interpolatory Divided Difference Formula），首先给出差商的概念和性质.4.3.1 差商的概念和性质 【定义 1】已知数据),1,0)(,(nixfxii（其中),1,0(nixi是互
2、异的节点）.称iiiiiixxxfxfxxf111)()(,为函数)(xf关于节点1,iixx的一阶差商.一阶差商的差商iiiiiiiiixxxxfxxfxxxf212121,称为)(xf关于节点21,iiixxx的二阶差商.一般地，)(xf关于节点kiiixxx,1的 k 阶差商可通过在点kiiixxx,21和在点11,kiiixxx处的两个1k阶差商来计算，即 ikikiiikiiikiiixxxxxfxxxfxxxf,11211.差商有如下的基本性质.（1）)(xf在互异节点),1,0(kjxj上的k阶差商可由),1,0)(kjxfj的线性组合表示，即,10kxxxfkjkjjjjjjj
3、jxxxxxxxxxxxf01110)()()()(这个性质可用归纳法证明.这个性质也表明差商与节点的排列次序无关，称为差商的对称性.（2）差商的对称性：差商中任意对调节点次序，其值不变，即,1010kijkjixxxxxfxxxxxf（3）若)()1(xfn在,ba上存在，则)!1()(,)1(10nfxxxxfnn，其中位于包含xxxxn,10的最小闭区间的内部.例 4 己知)(xf的函数表，求四阶差商.解 根据定义 1 计算各阶差商，得差商表 5-3.表 5-3 差商表 ix)(ixf,1iixxf,21iiixxxf,3iixxf,4iixxf 0 6 1 10 4 3 46 18 1
4、4/3 4 82 36 6 1/3 6 212 65 29/3 11/15 1/15 4.3.2 牛顿插值公式 问题的引入：Lagrange 插值方法具有公式整齐、程序容易实现的优点，然而，这种构造插值多项式的方法，有时显得不够灵活，如节点的个数变化时，均需要重新构造多项式.设所求多项式为)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxN，根据1n个插值条件)(inxN=),1,0(niyi来确定系数naaa,10.令0 xx，就有00ya.再令1xx 时，11)(yxNn，有,1001011xxfxxyya.令2xx 时，22)(yxNn，有,2102xxxfa
5、.一般地,令kxx 时，kknyxN)(，有)()()()(10102010kkkkkkkkxxxxaxxxxaxxaay，可得，,10kkxxxfa.对k取n,1,0值，则得到)(xNn的各系数.插值多项式为)()()()()()()()(1101110102010nnnnnnxxxxxxaxNxxxxxxaxxxxaxxaaxN【注】在1n次插值多项式的基础上，增加一个节点nx,只需要再由)(1xNn加上一个n次项，便得到了)(xNn，而无须重新构造插值多项式.这种插值方法，称为 Newton 插值方法.利用差商定义 1 可得到计算ka的递推算法.表 5-4 递推计算差商表 ix)(ixf
6、 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 x 1x 2x 3x )(0 xf)(1xf ,10 xxf)(2xf ,21xxf ,210 xxxf)(3xf ,32xxf ,321xxxf ,3210 xxxxf 差商表 5-4 各列第一个数据作为系数ka，得到牛顿插值公式).()(,)(,)(,)()(110210102100100nnnxxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN （5.9）例 5 对于例 1，用牛顿插值公式重新计算245sin的近似值.解 1）首先构造差商表如下.表 5-5 差商表 ix)(ixf 一阶 二阶 6 4 3 21=0.5 22=0.707107 0.7
7、91090 23=0.866025 0.607024 -0.351539 由表可得牛顿插值公式中各系数依次为 5.0)(0 xf,0.791090,10 xxf,-0.351539,210 xxxf.2）用线性插值计算，求得的近似值为 603553.0)6245(791090.05.0)245(245sin1N.用抛物插值计算，求得的近似值为)245(245sin2N 609577.0)4245)(6245(351539.0)245(1N.所得结果与例 1 相同.比较例 1 与例 5 的计算过程可以看出，与 Lagrange 插值相比较，牛顿插值在计算上的优点是明显的.4.3.3 插值余项与误
8、差估计 需要指出，由插值多项式的存在唯一性定理知，满足同一组插值条件的 Lagrange 插值与牛顿插值实际上是同一个多项式，因此，余项公式（5.8）也适用于牛顿插值.)()!1()()()()()1(xwnfxLxfxRxnnn，)(,)()()(10 xwxxxxfxNxfxRnnn（因为)!1()(,)1(10nfxxxxfxnn）.在实际计算时，有时也用差商表示的余项公式来估计截断误差.这个公式对于)(xfy 为数表函数而无解析表达式时，估计误差很有用.在差商表示的余项公式中，因为式中的1n阶差商,10 xxxxfn与)(xf的值（它正是我们要计算的）有关，故不可能准确地计算出,10
9、xxxxfn的精确值，只能对它作出一种估计.例如，当四阶差商变化不大时，可用,43210 xxxxxf近似代替,3210 xxxxxf.牛顿插值的MATLAB程序：Newton_interp.m function yi,Y=Newton_interp(x,y,xi)%Newton插值多项式，其中，%x为向量，全部的插值节点；%y为向量，插值节点处的函数值;%xi为标量，被估计函数的自变量；%yi为xi处的函数估计值；%Y为差商表.n=length(x);m=length(y);%插值点与它的函数值应有相同个数.if n=m error(The lengths of X and Y must b
10、e equal!);return;end%计算差商表.Y=zeros(n);Y(:,1)=y;for k=1:n-1 for i=1:n-k%输入的插值节点必须互异.if abs(x(i+k)-x(i)eps error(the DATA is error!);return;end Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k)/(x(i+k)-x(i);end end%计算Newton插值公式N(xi).yi=0;for i=1:n z=1;for k=1:i-1 z=z*(xi-x(k);end yi=yi+Y(1,i)*z;end 例 6 已知当3,2,1,0 x时，16,1,6,5)(xf，求)(xf的 Newton 插值多项式，并求)5.1(f的近似值.调用插值函数 Newton_interp.m 求插值.x=0:3;y=-5-6-1 16;xi=1.5;yi,Y=Newton_interp(x,y,xi)程序计算得，)5.1(f的近似值为yi=-4.6250.输出差商表为：Y=-5 -1 3 1 -6 5 6 0 -1 17 0 0 16 0 0 0