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1、第12章 无穷级数 高等数学 12.3.1函数项级数的概念 一、函数项级数的定义:设 是定义在RI 上的函数,则称 为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.12(),),(,(nuxuxx u112()()()()nnnuxu xxuux=+=+021nnxxx=+=+例如级数例如级数 二、收敛点与收敛域:如果Ix 0,数项级数=10)(nnxu收敛,则称0 x为级数)(1xunn=的收敛点,否则称为发散点.所有发散点的全体称为发散域.函数项级数)(1xunn=的所有收敛点的全体称为收敛域,三、和函数:)()(limxsxsnn=余项余项 )()()(xsxsxrnn=(x在收敛域上在收敛域上)
2、0)(lim=xrnn 函数项级数在某一点函数项级数在某一点x的收敛问题，实质上是的收敛问题，实质上是常数项级数常数项级数的收敛问题的收敛问题.在在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.函数项级数的部分和函数项级数的部分和),(xsn12()()()nxs xu xuux+=+=证证 lim()nnsx因此对于因此对于 1,1 上的任何上的任何 ，均有均有 x例例1 设级数设级数 11,1nnnxxnn+=+=+11,x则级数在则级数在 上每一点均收敛上每一点均收敛.11x11()1kknnkxxsxkk+=+=+=+11nxxn+=+=+1lim1nnx
3、xxn+=+=+于是对任意给定的于是对任意给定的 0,只须取只须取 1,N1()()ns xsxn此时此时 ()()()nnrxs xsx=11nxn+=+=+111nn+时时，例例2 求级数的收敛域求级数的收敛域()()234111234nnnxxxxxn=+=+解解 由于由于()()11limlim1nnnnnnunxxunx+=+=+所以当所以当 时时，级数绝对收敛级数绝对收敛；1x 时，级数为时，级数为 1x=级数发散级数发散；即级数的收敛域为即级数的收敛域为(1,1 由莱布尼兹定理可知，级数条件收敛由莱布尼兹定理可知，级数条件收敛；()()11111111234nnn=+=+时，级数为时，级数为 1x=()()()()11111111234nnnn=谢谢，再见！