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1、第 7 章 常微分方程数值解法 7.1 引言 单摆运动:图 8-1 中一根长l的(无弹性)细线,一端固定,另一端悬挂一个质量为m的小球,在重力作用下小球处于竖直的平衡位置.若使小球偏离平衡位置一个小的角度,然后让它自由,它就会沿圆弧摆动.在不考虑空气阻力的情况下,小球将作周期一定的简谐运动.图 8-1 单摆运动 以0为平衡位置,以右边为正方向建立摆角的坐标系.在小球摆动过程中的任一位置,小球所受重力沿运动轨迹方向的分力为sinmg(负号表示力的方向与的正向相反),利用牛顿第二定律得到如下的微分方程 0)0(,)0(,sin0 mgml,(8.1)其中表示单摆在任意时刻t的位置(与铅垂方向的夹角
2、),l为单摆的长度,0为小球初始偏离角度,且小球无初速.对于较小的0值,可以使用近似sin将问题简化为线性常系数微分方程 0)0(,)0(,00 lg.(8.2)容易计算得到方程(8.2)的解析解为lgtt,cos)(0.显然,简谐运动的周期为glT2.对于较大的0值,若用近似sin误差太大,必须使用近似方法.而方程(8.1)没有解析解.因此,这类问题必须利用数值方法求解.常微分方程(Ordinary Differential Equations)是描述确定性现象的常用数学工具.然而,由科学技术和工程实际问题所提出的数学模型,因其问题的复杂性,只有很少的方程能解析求解.实际问题所提炼出的微分方
3、程,很多情况下,求出数值规律就能满足要求.因此,研究常微分方程定解问题的数值解法就显得十分必要了.本章首先考察一阶方程的初值问题(First-order Initial-value problem)000)(),(yxyxxyxfy.(8.3)lmg 假设定解问题是适定的,即方程(8.3)的解)(xyy 存在、唯一且足够光滑,而且)(xy连续地依赖于初始值及右端函数.事实上,只要函数),(yxf适当光滑例如满足对y的李普希茨条件(Lipschitz Condition).即存在常数0L(称为李氏常数(Lipschitz Constant),使得对一切,bax及Ryy21,,满足 2121),(
4、),(yyLyxfyxf.则对任意Rybax00,,初值问题(8.3)存在唯一的连续可微解)(xy.对于一个存在唯一解的初值问题,还要注意方程的条件.描述初值问题的条件,关键在于:如果在包含解曲线的区域中,yf(正的小量),那么初始条件的微小误差(摄动)对解的摄动随x的增加而消失或增长不大,这种问题称为好条件的(Well-posed Problem).若yf(正的小量),随x的增加,摄动后的解曲线)(xy离)(xy越来越远,这种问题是坏条件的.例如,对于初值问题,)0(,0yyyeyx易求得方程有唯一解xeyxxy)()(0.若初值有微小摄动0)0(yy,摄动后的解为xeyxxy)()(0,则
5、有 0,)()(xexyxyx.其中,1yf(正的小量),从而的系数是xe.这说明初始条件的微小摄动对解的影响随x的增加而减小,所以这个问题是好条件的.又如,对于初值问题,)0(,1000100yyeyyx易求得方程有唯一解xxeeyxy1000101100)101100()(.若初值有微小摄动0)0(yy,摄动后的解为xxeeyxy1000101100)101100()(,则有 0,)()(xexyxyx.其中,1yf(正的小量),从而的系数是xe,解对初值非常灵敏.初始条件的微小摄动对解的影响随x的增加不是消失,而是迅速增加,所以这个问题是坏条件的.所谓数值解法,就是用计算机求解微分方程近
6、似解的方法,即寻求定解问题在一系列离散点bxxxxan210上的近似值nyyy,10的方法.为求)(xy在离散点上的近似值,将区间,baxn等分,即令 1,1,0,1ninabxxhihaxiii,称h为步长,ix为节点.初值问题(8.3)的数值解法一般都采取“步进式”,即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进.描述这类算法,只要给出用已知信息,1kkyy计算1ky的递推公式.单步法是常用的“步进式”方法,它是指利用节点1,kkxx及)(kxy的近似值ky,直接计算)(1kxy的近似值1ky的各种算法.另一类方法称为l步法(l-step Multistep Methods),是指计算1ky时用到前面l点的值11,lkkkyyy.本章研究常微分方程初值问题、边值问题的数值方法及方法的可靠性理论.基本问题为 (1)如何将定解问题数值离散化?(2)数值方法的局部截断误差和方法的阶.(3)数值解的误差估计、收敛性及算法的数值稳定性问题.