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1、第4章 随机变量的数字特征 Fourth Chapter 数学期望的性质 1 E(c)=c,其中c是常数;数学期望有如下几条重要性质 1 数学期望的性质 定理4.2 设随机变量 X,Y 的数学期望 E(X),E(Y)存在 2 E(cX)=cE(X);3 E(X+Y)=E(X)+E(Y);4 若 X,Y 相互独立,则有 E(XY)=E(X)E(Y).证 这里仅就连续型的情况证明性质3和性质4,如下()()(,)d dE XYxy f x yx y(,)d d(,)d dxf x yx yyf x yx y ()d()dXYxfxxyfyy()()E XE Y3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度
2、为 f(x,y),其边缘概率密度 为 ,则(),()XYfxfy数学期望的性质(,)()()XYf x yfx fy4 若 X 和 Y 相互独立,此时 故()(,)d d()()d dXYE XYxyf x yx yxyfx fyx y ()d()dXYxfxxyfyy()()E X E Y注:性质3可推广到任意有限个随机变量之和的情形;性质4可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情形.数学期望的性质 例4.4 假设 n 个信封分别装有发给 n 个人的通知,但信封上每个收信人的地址是随机填写的.以 X 表示收到自己通知的人数,求 X 的数学期望.2 例题 数学期望的性质 解 引进事件Ak=第 k 封信的内容与地址一致,在 n 个装有通知的信封中随意选一个写上第 k 个人的地址,则恰好选中装有第 k 个人通知的概率为 ,故 ,引进随机变量 1n1()(1,2,)kP Aknn知 121()()()()1nE XE UE UE Unn则 ,从而由 12nXUUU1,0,kkkAUA若若 出出现现若若不不出出现现(1,2,),kn数学期望的性质 1()(1)()kkkE UP UP An本节小结 掌握数学期望的性质并能熟练运用.敲黑板 划重点 数学期望的性质有哪些？谢谢,再见!