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1、第一章 数与运算的演变1 1.2 2印印度度-阿阿拉拉伯伯计计数数法法的的演演变变印度的数字符号系统建立在四条严格的原则基础上：（1）位置记数制，从右到左.由个位、十位、百位.逐位上升。（2）十进制，逢十进一。（3）加法制，实际数值为各位置数值相加的和。（4）只用0至9的十个基本符号。一、位值制真正明确提出十进位值制记数法的人是阿耶波多.其在阿耶波多历算书中写道：一、十、百、千，然后是万和十万，继续是百万、千万、亿和十亿。每一位置(sthna)须是它之前一位的10倍。对此，婆什迦罗一世(Bhskara I.7世纪初)解释道：“向前排列数位是为了简单起见，因为若不这样，数学运算将会变得困难，这是
2、由于没有给数字指定位置，为什么？当摆弄大量的单位(可理解为百、千、万这样的数量)时，许多单位都需要被确定位置。另一方面，事实上，当位置固定后，那些必须使用大量单位才能完成的运算，可以只用单独一个单位来完成”，并且，他还特别用了10个圆圈()来表示这10个数位。一、位值制与数位关系密切的自然是数字(数码)了，印度数字最早的实物证据出现在公元前3世纪左右的阿育王石碑中。此后的一些硬币或碑刻上也不断发现了数字的使用，那些数字基本来说采用了十进制。但没有使用位值制，如图所示，从1到3是线条的累积，4到9，以及10和100的整数倍(如20或200)均有专门的符号来表示。在表示任意数时则是用取和或取积的形
3、式。图图 印印度度公公元元前前3世世纪纪到到公公元元5世世纪纪所所使使用用的的数数字字二、印度数字已知最早的十进位值制数字出现在一块发掘于印度桑克达(Sankheda)地区的铜板铭文中，铭文最后用了三个数字表示了该文的写作日期印度切蒂历(Chedi Era)346年(相当于公元595年到596年)。从阿耶波多历算书或是阿毗达磨俱舍论的记述来看，我们完全有理由断定早在公元5世纪十进位值制数字就已被发明出来。从另一方面来讲，记数法往往和计算工具相联系正如十进位值制记数的产生在中国是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开，印度数字的产生可能和算板的使用关系紧密，算板是印度数学家进行数学运算时的主要工具，
4、其历史可以追溯到公元前，其形状为长条形，外面包裹皮革.用类似粉笔的棒在上面书写，字迹可以擦去并反复使用。二、印度数字事实上，婆什迦罗一世在注释阿耶波多历算书时总会有一个叫作“记下”的步骤，用来将术文或例题中提到的数量用数字抄录于算板上，之后再进行演算。上面婆什迦罗一世画了10个圆圈来表示阿耶波多的10个数位，而真正计算时在各数位上填入的就应该是数字了。十进位值制数字对数学的进步意义重大，一方面用它可以方便地表示任何数量，另一方面则是它非常利于笔算阿耶波多的开平方或开立方算法就和十进位值制记数法关系密切。二、印度数字公元762年，巴格达已成为阿拉伯帝国的首都。从公元九世纪到文艺复兴以前，它一直是
5、世界学术的中心。在8世纪，印度记数法通过印度的外交使节介绍到巴格达的宫廷。9世纪的花拉子米在印度数字计算法一书中也对其做了详细的记载，阿拉伯人将它们稍加改动，加以推广使用。三、阿拉伯计数符号到十世纪，这套记数法传到了西班牙，从此被称为“阿拉伯数字”。下表记录了阿拉伯记数符号形态演变表。阿拉伯数字在世界范围的流传又经过了几百年时间，公元十二世纪以后，西欧商人开始接受阿拉伯数字及其记数法。三、阿拉伯计数符号斐波那契(Leonado Fibonacci)是印度记数法在欧洲得到普及的最大功臣。他在计算之书(LiberAbaci.约13世纪初)中介绍道：“印度数字有9个，分别是9、8、7、6、5、4、3
6、、2、1。加上在阿拉伯语中被唤作希夫尔(sifr)的0，就能够随心所欲地记下任何数。”印度的数字符号系统，引起了计算技术的革命。之后产生了“九九”乘法表、开方法则以及三角函数表。这套符号系统，也为科技符号语言的产生和发展打开了一个良好的开端。四、印度计数法的传播印度的计数文字符号是如今流通全球常用的文字计数符号，并且异常的简洁、有序，尤其是印度阿拉伯数字。古印度数的符号表示大致分为以下两个阶段：古印度铭文记数法：古印度在公元前2500年左右出现一种称为哈拉巴数码的铭文记数法，如图，古印度铭文记数法当中数的符号表示更加明了化，简单易懂。（1）印度-阿拉伯数字符号计数例如：数字17的符号表示分别是
7、由对应数目的“”累积而成。而数字8是由两个类似于椭圆的图案交叉而成。若是竖过来看，则像现在的阿拉伯数字“8”，其它的数目也都有其一一对应的特定的符号表示。到了公元前后通行起两种数码：卡罗什奇数码和婆罗门数码。如图，公元5世纪后印度数码中零的符号日益明确，使记数逐渐发展成十进位值制。（1）印度-阿拉伯数字符号计数古印度阿拉伯记数法：其实阿拉伯数字是不是阿拉伯人发明的，它由古代印度人所创造，正是因为有了阿拉伯人的广泛传播，该种数字才被误称为“阿拉伯数字”。阿拉伯数字是由“0.1.2.3.4.5.6.7.8.9”共10个计数符号组成，采取位值法，高位在左，低位在右，从左往右书写。为了表示极大或极小的
8、数字，人们在阿拉伯数字的基础上创造了科学的记数法。因其符号简单化，只需要09这10个数字符号即可；书写便捷化，只需要按高低位从左至右书写即可；排列趣味化。（1）印度-阿拉伯数字符号计数按照十进制法则由个位进十位、由十进百以此类推即可，由古印度人发明的“阿拉伯数字”已成为人们学习、生活和交往中最常用的数字了。公元前200年至1200年，古印度人就已经开始使用数字符号和0符号，“零”在当时是一个数字，可以确定的是在公元六百五十年左右印度的数学家使用零当做一个数字，印度人也使用位值系统而将零当做空白位置的表示符号。今日所使用的高度发展的数系就是从印度的数字及数字系统逐步演进而来的。（1）印度-阿拉伯数字符号计数