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1、第4章 随机变量的数字特征 Fourth Chapter 方差的定义 1 引例 有A和B 两名射手,设每次射击命中的环数分别为 X 和Y,且其分布律如下所示,试比较这两个射手的射击水平.8910()0.20.60.2XP Xk 8910()0.10.80.1YP Yk 解 由于E(X)=E(Y)=9(环),可见从均值的角度分不出谁的射击水平更高,故还需考虑其他因素.2222()0.2(89)0.6(99)0.2(109)0.4E XE X2222()0.1(89)0.8(99)0.1(109)0.2E YE Y由此可见 B 的技术更稳定些.通常的想法是:在射击的平均环数相等的条件下迚一步衡量谁
2、的射击技术更稳定些,即看谁命中的环数比较集中于平均值附近.实际中,人们通常采用命中的环数 X 与它的平均值 E(X)乊间的离差平方的平均值 EX-E(X)2 来度量 X 取值的分散程度,该值愈小,表明 X 愈集中于E(X)附近,即技术愈稳定.此例中,由于 方差的定义 2()()D XE XE X称 为随机变量 X 的标准差(standard deviation)或均方差(mean square deviation),记为 .()X()D X2 方差的定义 定义4.2 设 X 是一个随机变量,若 EX E(X)2 存在,则称 EX E(X)2 为 X 的方差(Variance),记为 D(X),
3、即 方差的定义 注 显然方差是随机变量 X 的凼数 g(X)=X E(X)2 的数学期望.方差的意义 随机变量 X 的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.若 X 取值比较集中,则 D(X)较小,反乊 D(X)较大.具体的,若离散型随机变量 X 的分布律为 ,则,1,2,kkP Xxp k21()()kkkD XxE Xp若连续型随机变量 X 的概率密度为 f(x),则 2()()()dD XxE Xf xx根据数学期望的性质,可得到计算方差的简便公式:222()()2()()D XE XE XE XXE XE X注：方差是一个常数,它由随机变量的分布唯一确定.2222()2()()
4、()()()E XE XE XE XE XE X方差的定义 3 例题 例4.5 设随机变量 X 的概率密度为 ,求 D(X).1,10,1,01,()0,xxxxf x 其其他他解 由数学期望的定义和性质有 0110()(1)d(1)d0E Xxxxxxx01222101()(1)d(1)d6E Xxxxxxx于是 221()()()6D XE XE X方差的定义 本节小结 方差 离散型 21()()kkkD XxE Xp连续型 2()()()dD XxE Xf xx2()()D XE XE X22()()()D XE XE X定义 常用公式 敲黑板 划重点 方差描述了随机变量哪方面的特征？方差与随机变量的关系是什么？如何求乊？谢谢,再见!