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1、29抛物面29.1.椭圆抛物椭圆抛物面面29.2.双曲抛物面双曲抛物面zqypx 2222（与与同号）同号）pq(1)(1)范围范围:若若 p 0 且且 q 0,则则图形在图形在 xOy 平面上方，否则在平面上方，否则在 xO y 平面下方平面下方.(2)(2)对称性对称性:图形关于图形关于z 轴、轴、yOz 平面、平面、xOz 平面对称平面对称.29.1 29.1 椭圆椭圆抛物抛物面面(3)(3)截截 痕痕qypxz2222 用坐标面用坐标面 xOy(z=0)与曲面相截与曲面相截截得一点，即坐标原点截得一点，即坐标原点)0,0,0(O设设0,0 qp坐标原点也叫椭圆抛物面的坐标原点也叫椭圆抛
2、物面的顶点顶点.xyzo不相交不相交.用平面用平面1zz )0(1 z去截去截qypxz2222 设设0,0 qp用平面用平面去截去截1zz 11212122zzqzypzx)0(1 zxyzo交线为椭圆交线为椭圆.用坐标面用坐标面与曲面相截与曲面相截)0(yxoz 022ypzx截得抛物线截得抛物线qypxz2222 设设0,0 qp用平面用平面去截去截1yy 121222yyqyzpxxyzo交线为交线为抛物线抛物线用坐标面用坐标面与曲面相截与曲面相截)(0 xyOz1xx 均可得抛物线均可得抛物线.同理同理:当当时时可类似讨论可类似讨论.0,0 qpqypxz2222 设设0,0 qpx
3、yzozxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下椭圆抛物面的图形如下：0,0 qp0,0 qp特殊地：特殊地：当当时，方程变为时，方程变为qp zpypx 2222旋转抛物面旋转抛物面)0(p（由（由面上的抛物线面上的抛物线绕绕 z 轴旋转而成）轴旋转而成）xozpzx22(1)(1)范围范围:x,y,z R,曲面可向各方向无限延伸曲面可向各方向无限延伸.(2)(2)对称性对称性:图形关于图形关于z 轴、轴、yOz 平面、平面、xOz 平面对称平面对称.,2222qypxz（与与同号）同号）pq29.2 29.2 双曲抛物双曲抛物面（面（马鞍马鞍面）面）(3)(3)截截 痕痕用平面用平面 z=z0(
4、z0 0)截曲面所得截痕为截曲面所得截痕为双曲线双曲线00202122zzqzypzx,2222qypxz（与与同号）同号）pqxyzo截截 痕痕用平面用平面 x=x0 与与 y=y0截曲面所得截痕为截曲面所得截痕为抛物线抛物线 022022xxqypxz 020222yyqypxz,2222qypxz（与与同号）同号）pq平行截割法平行截割法马鞍面马鞍面2222xyzpq（与与都取正）都取正）pq用用z=a截曲面截曲面用用y=0截曲面截曲面用用x=b截曲面截曲面xzy0解解 两曲面的交线为两曲面的交线为例例 求球面求球面与旋转抛物面与旋转抛物面的的交线交线.8222 zyxzyx222 zyxzyx28222220822 zz2(4 zz或或舍去）舍去）28222zzyx 2422zyx小结小结抛物面的标准方程zqypx 2222（与与同号）同号）pq椭圆抛物面：双曲抛物面：2222xyzpq（与与同号）同号）pq