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1、7 7向量内积的坐标表示向量内积的坐标表示7.1.向量内积的坐标表示向量内积的坐标表示7.2.向量向量内积在直角坐标系下的等价定义内积在直角坐标系下的等价定义7.1.向量内积的坐标表示向量内积的坐标表示（直角坐标系）设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则=a1 b1+a2 b2+a3b3a b=(a1 i+a2 j+a3 k)(b1 i+b2 j+b3 k)=a1 i (b1 i+b2 j+b3 k)+a2 j (b1 i+b2 j+b3 k)+a3 k (b1 i+b2 j+b3 k)=a1 b1 i i+a1 b2 i j +a1b3 i k+a2 b1 j i+a2b
2、2 j j+a2b3 j k+a3 b1 k i+a3b2 k j+a3b3 k k 设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为空间两点为空间两点 空间空间两点间的距离公式两点间的距离公式（直角坐标系直角坐标系）),(1212121221zzyyxxOMOMMM特别，若两点分别为特别，若两点分别为,),(zyxM)0,0,0(Od.222zyx 例例 正四面体正四面体 ABCD 的边长为的边长为 a，E,F 分别是棱分别是棱 AB，CD 的中点的中点.求求 E,F 的距离的距离.ABCDEFe1e2e3证证,作仿射坐标系A;,取不共面的三向量取不共面的三向量e3ADe2ACe1AB=
3、e1e2e3E,F 的坐标分别是(0.5,0,0),(0,0.5,0.5)EF=AF-AE=-0.5 +0.5 +0.5 e1e2e3|EF|2=EF2=(-0.5 +0.5 +0.5 )2e1e2e3例例 正四面体正四面体 ABCD 的边长为的边长为 a，E，F 分别是棱分别是棱 AB，CD 的中点的中点.求求 E，F 的距离的距离.ABCDEFe1e2e3证证|EF|2=EF2=(-0.5 +0.5 +0.5 )2e1e2e3又2=a2ei=a2/2eiej|EF|2=a2/2 注注：在一般仿射坐标系中，：在一般仿射坐标系中，度量参数的计算比在直角度量参数的计算比在直角坐标系下要复杂得多坐
4、标系下要复杂得多.由余弦定理可知由余弦定理可知 cos|2|222bababa 222|cos|2bababa .cos|baba abba 7.2.向量向量内积在内积在直角坐标系下直角坐标系下的等价定义的等价定义=(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)ab ab=a1b1+a2b2+a3b3 证证222|cos|2bababa )(2)()()(332211233222211232221232221bababababababbbaaa 证.cos|baba =(a1,a2,a3),=(b1,b2,b3)ab ab=a1b1+a2b2+a3b3 ;,1 ,2 ,kkk .00,.0,3
5、注：内积运算：内积运算(*,*)满足以下运算规律满足以下运算规律对称性对称性线性性线性性非负性非负性),)(,(),(2 Cauchy-Schwarz(柯西柯西施瓦兹施瓦兹)不等式不等式 ),(.线性相关时等号成立线性相关时等号成立与与当且仅当当且仅当 证证线性相关，线性相关，与与如果如果 ，或者或者那么那么 k ,02),(则则2),(k 22),(k),)(,(kk),)(,(.等 号 成 立等 号 成 立),)(,(),(2 线性无关，线性无关，与与如果如果 ，来说来说那么对于任意实数那么对于任意实数0,tt，则则0),(tt，即即0),(),(2),(2 tt0),)(,(4),(42 ),)(,(),(2 222111().nnniiiiiiiabab 练习练习：证明证明小结小结向量内积向量内积的的坐标坐标表示（表示（直角坐标系、仿射坐标系直角坐标系、仿射坐标系）向量内积在高维空间的推广向量内积在高维空间的推广