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1、第第9章章 信道编码理论信道编码理论线性分组码线性分组码通信原理通信原理线性分组码线性分组码线性线性分组码的基本概念分组码的基本概念生成矩阵生成矩阵和监督矩阵和监督矩阵线性线性分组码的译码分组码的译码汉明码汉明码一、线性分组码的基本概念一、线性分组码的基本概念线线 性性 分分 组组 码码信息码元与监督码元信息码元与监督码元之间的之间的关系可以用关系可以用一组线性方程一组线性方程来来表示，即每一个表示，即每一个监督码元都是码组中监督码元都是码组中某些某些信息码元信息码元按模按模2和而得到和而得到的。的。监督码元仅与本监督码元仅与本组的组的信息码元信息码元有关。有关。注意：对于注意：对于分组码，如
2、果希望用分组码，如果希望用个监督位构造出个监督位构造出个个监督关系监督关系式式来指示一位错码的来指示一位错码的种可能位置，则要求种可能位置，则要求。），（nkrrn nr21一、线性分组码的基本概念一、线性分组码的基本概念序序号号码码 字字序序号号码码 字字信信 息息码码 元元监监 督督码码 元元信信 息息码码 元元监监 督督码码 元元00 0 0 00 0 081 0 0 01 1 110 0 0 10 1 191 0 0 11 0 020 0 1 01 0 1101 0 1 00 1 030 0 1 1 1 1 0111 0 1 10 0 140 1 0 01 1 0121 1 0 00
3、0 150 1 0 11 0 1131 1 0 10 1 060 1 1 00 1 1141 1 1 01 0 070 1 1 10 0 0151 1 1 11 1 1表表1 （7，4）码的）码的16种许用码字种许用码字以（以（7，4）分组码为例来）分组码为例来说说明明线性分组码的特线性分组码的特点。点。Aa a a a a a a6543210信息码元信息码元监督码元监督码元aaaaaaaaaaaa064353126654（1）二、二、生成矩阵和监督矩阵生成矩阵和监督矩阵1.监督监督矩阵矩阵H将（将（7，4）码的）码的3个监督关系式改写为个监督关系式改写为aaaaaaaaaaaaaaaaaa
4、aaa654321065432106543210111010001101010010110010 （2）这组线性方程可用矩阵形式表示为这组线性方程可用矩阵形式表示为 a a a a a a a1011001011010100111010006543210T并简记为并简记为HAAH或00TTT（3）监督监督矩阵矩阵二、二、生成矩阵和监督矩阵生成矩阵和监督矩阵H001101111011110010100一旦一旦给定，信息位和监督给定，信息位和监督位之间的关系也就确定了。位之间的关系也就确定了。线性线性分组码分组码的监督的监督矩阵矩阵是是阶矩阵，每行之间是彼此线性无关的阶矩阵，每行之间是彼此线性无关
5、的。HHrn），（nk（4）PIr典型监督矩阵典型监督矩阵监督矩阵是产生监督码元的依据，也是检错和纠错的依据监督矩阵是产生监督码元的依据，也是检错和纠错的依据。监督。监督矩阵与矩阵与许许用用码字的转置乘积必码字的转置乘积必为零为零，所以在接收端可以用监督矩阵来校验接收的，所以在接收端可以用监督矩阵来校验接收的码码字字是否是否是许是许用码。设接收到的码字为用码。设接收到的码字为，若若，则说明，则说明为许为许用码用码；若若，则说明则说明不是不是许用码，即可以许用码，即可以判断判断为误码。为误码。BBBBH0TBH0T二、二、生成矩阵和监督矩阵生成矩阵和监督矩阵2.生成矩阵生成矩阵G生成矩阵是在已知
6、信息码元时生成矩阵是在已知信息码元时确定确定相应相应的许用码字的矩阵。的许用码字的矩阵。aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa66554433265416530643（5）aaaaaaaaaaa100001000010000111101101101165432106543（6）AGaaaa34TT56AGa a a a6543简记简记为或或二、二、生成矩阵和监督矩阵生成矩阵和监督矩阵G0111011101110001001001001000I Qk（7）典型生成矩阵典型生成矩阵由由和和信息码元就可以产生全部码字信息码元就可以产生全部码字。线性线性分组码的分组码的生成矩阵生成矩阵为为阶阶矩阵，
7、各行也是矩阵，各行也是线性无关的。由线性无关的。由典型生成矩阵典型生成矩阵得出得出的码字的码字中，中，信息位不变信息位不变，监督位附加于其后，是一种系统码。非典型形式的，监督位附加于其后，是一种系统码。非典型形式的生成矩阵生成矩阵也也可以经过运算化为典型形式。可以经过运算化为典型形式。GGknGA），（nk二、二、生成矩阵和监督矩阵生成矩阵和监督矩阵3.监督监督矩阵和生成矩阵之间的关系矩阵和生成矩阵之间的关系如果线性分组码的监督矩阵和生成矩阵都是典型形式，那么如果线性分组码的监督矩阵和生成矩阵都是典型形式，那么它们之间的它们之间的关系关系如下如下：讨论编码讨论编码问题时，通常采用生成矩阵问题时
8、，通常采用生成矩阵；讨论；讨论译码问题时，往往译码问题时，往往采用监督采用监督矩阵。矩阵。HPIQ I rrTGI QI P kkTH001101111011110010100G0111011101110001001001001000（8）三、线性分组码的译码三、线性分组码的译码A=aaa ann,1210B=bbb bnn,1210AH0T发送发送码字：码字：接收码字：接收码字：收发码字之收发码字之差：差：EBA（9）式中式中，称为称为错误图样错误图样，或，或误差矢量误差矢量，且，且E=eee enn,121001ebabaiiiii矩阵矩阵中哪位出现中哪位出现1，就表示接收码字，就表示接收
9、码字中相应的码元错了。中相应的码元错了。EB三、线性分组码的译码三、线性分组码的译码表表1 （7，4）码伴随式与错误图样的对应关系）码伴随式与错误图样的对应关系=EE =A=AES=T()TTTT（10）伴随式（校正子）：伴随式（校正子）：H101100111010101110100译码的基本译码的基本步骤步骤：(1)计算接收码组计算接收码组的伴随式的伴随式；BS(2)根据伴随式根据伴随式找出找出错误图样错误图样，判，判定定误码位置；误码位置；SE(3)根据错误图样根据错误图样纠正纠正错误，错误，得到正得到正确确的的码字码字。EAEB四、汉明码四、汉明码汉明码是一种可以纠正单个错误的线性分组码
10、，是一种完备汉明码是一种可以纠正单个错误的线性分组码，是一种完备码。码。特点如下：特点如下：(1)监督监督码元个数为码元个数为，码长码长满足满足，则信息则信息码元数码元数，且为正整数且为正整数。给定。给定后，就可确定后，就可确定和和。rnr21knrr 2rnk(2)无论码长为多少，汉明码的最小码距为无论码长为多少，汉明码的最小码距为3，因此它只能纠，因此它只能纠1位错位错码。汉码。汉明明码码可用于可用于FEC系统，一般不用于系统，一般不用于ARQ、HEC系统。系统。(3)编码效率编码效率。可以看出，随着。可以看出，随着码长的码长的增加，增加，编编码码效率也随之效率也随之增加。增加。nnRkr
11、rrr21121小结小结线性分组码线性分组码 线性分组码是指信息线性分组码是指信息码元与监督码元之间的关系可以用一码元与监督码元之间的关系可以用一组线性方程来组线性方程来表示的分组码。表示的分组码。讨论编码问题时，通常采用生成矩阵。由生成矩阵和讨论编码问题时，通常采用生成矩阵。由生成矩阵和信息码元信息码元就就可以可以产生全部码字。产生全部码字。讨论讨论译码问题时，往往采用监督译码问题时，往往采用监督矩阵。监督矩阵。监督矩阵是产生矩阵是产生监督码元监督码元的的依依据，是检错和纠错的依据。据，是检错和纠错的依据。典型的监督典型的监督矩阵矩阵和典型的生成矩阵有一定的关系。和典型的生成矩阵有一定的关系。汉明码是所汉明码是所用的监督码元个数用的监督码元个数最少的线性分组码。最少的线性分组码。致谢致谢通信原理通信原理本课程所引用的素材为主讲教师长期教本课程所引用的素材为主讲教师长期教学积累，部分来源于各媒体及专家同行的交学积累，部分来源于各媒体及专家同行的交流，难以一一注明出处，在此一并表示感谢！流，难以一一注明出处，在此一并表示感谢！