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1、矩阵的秩矩阵的秩Rank of Matrix例例 考虑阶梯形矩阵考虑阶梯形矩阵0 ,0000000000022112222111211=rrrnrrnrnraaaaaaaaaaaaA定义定义矩阵矩阵A的行的行(列列)向量组的秩称为向量组的秩称为A的的 行行(列列)秩秩。其行向量组为其行向量组为=+mrrnrrrnnaaaaaaa12222112111),0 ,0(),0(),(因为因为是行向量组的极大无关组，故得是行向量组的极大无关组，故得r,21的行秩的行秩的非零行行数的非零行行数JJ=r又又的列向量组为的列向量组为J 1121,112121121,1000,0000000000rrnr r
2、rrrrnrnaaaaaaaaa+=同样可以验证同样可以验证是列向量组的一是列向量组的一个极大无关组，故个极大无关组，故12,r 的列秩的列秩的非零列列数的非零列列数JJ=r于是我们有结论：于是我们有结论：阶梯形矩阵的行秩与列秩相等，都等于其阶梯形矩阵的行秩与列秩相等，都等于其非零行的数目。非零行的数目。=321A对对 A作一次初等行变换得到矩阵作一次初等行变换得到矩阵A=+=+32131213312AARR设设A是是矩阵。对矩阵。对A按行分块，按行分块，43 例=+=+32131213312AARR=321A因为因为可由可由线性表出，故线性表出，故321,321,321321,秩秩秩秩即即的
3、行向量组的秩的行向量组的秩的行向量组的秩的行向量组的秩A A 又又AARR=+3121)3(312=321故故的行向量组的秩的行向量组的秩的行向量组的秩的行向量组的秩AA =+=+32131213312AARR=321AAARR=+3121)3(312=321即即的行向量组的秩的行向量组的秩的行向量组的秩的行向量组的秩A A 结论结论 矩阵的初等行变换不改变行向量组的行秩。矩阵的初等行变换不改变行向量组的行秩。定理定理 矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩。矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩。证明证明只须说明：初等行变换不改变列向量只须说明：初等行变换不改变列向量的线性相关性。的线性相关性。设矩
4、阵设矩阵A经过一系列初等行变换（记为经过一系列初等行变换（记为）化为矩阵化为矩阵B，任取，任取A的的r列列，设设B中对应的列为中对应的列为，即，即R 12,rjjj12,rjjj1212|rrRjjjjjjAB 1212,rrjjjjjjAB=RAB 12,rjjj12,rjjj线性相关线性相关线性相关。线性相关。下面要证：下面要证：构造矩阵构造矩阵定理定理 矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩。矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩。由由Gauss-Jordan消元法知，分别以消元法知，分别以为系数矩为系数矩阵的阵的r元齐次线性方程组元齐次线性方程组,A B与与同解。同解。1212rjjjrxxx
5、+=+=1212rjjjrxxx+=+=12,rjjj线性相关线性相关于是于是定理定理 矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩。矩阵的初等行变换也不改变矩阵的列秩。与与同解。同解。1212rjjjrxxx+=+=1212rjjjrxxx+=+=1212有非零解。rjjjrxxx+=+=1212有非零解。rjjjrxxx+=+=12,rjjj线性相关线性相关设矩阵设矩阵A被初等行变换化为阶梯形矩阵被初等行变换化为阶梯形矩阵J，则，则A的行的行(列列)秩等于秩等于J的行的行(列列)秩。秩。定义定义 矩阵矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的的秩秩，一般记作，一般记作规定：规定：零矩阵的秩为零。零矩阵的秩为零。()rank AAAA的行秩的行秩=J的行秩的行秩=J的列秩的列秩=A的列秩的列秩定理定理矩阵的行秩等于其列秩。矩阵的行秩等于其列秩。