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1、第三章 z变换与反变换0.引言目录3.1 z3.1 z变换变换3.2 z3.2 z反变换反变换3.3 z3.3 z变换与拉氏变换变换与拉氏变换和傅里叶变换的关系和傅里叶变换的关系信号与系统信号与系统的分析方法的分析方法时域分析法时域分析法频域分析法频域分析法拉普拉斯变换拉普拉斯变换傅里叶变换傅里叶变换Z变换变换DFT变换变换复频域连续离散引言x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。信号与系统的分析方法有两种：信号与系统的分析方法有两种：时域分析法频域分析法信号与系统的时域分析信号与系统的时域分析以时间作为参照来观察动态世界的方法称为时域分析
2、法。例如环境温度的变化，物体的轨迹，股票的走势等。在模拟系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数来表示，系统则用微分方程描述。离散时间系统中，信号是用序列来描述的，系统则用差分方程描述。引言x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。信号与系统的频域分析信号与系统的频域分析频域分析使我们可以从另一个角度来观察和分析信号。在自然界，频率是有明确的物理意义的。比如声音信号，男生的声音中低频分量比较多，而女生的声音中高频分量比较多。在连续时间系统中，傅里叶变换将时间域函数转换到频率域，拉普拉斯变换作为傅里叶变换的推广，对信号进行复频域的分析。在离散时
3、间系统中，频域分析是用z变换和离散时间傅里叶变换（DTFT）实现的。引言x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。Z变换变换(Z-transform)在离散时间信号处理中的地位，如同拉普在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。Z变换可将离散时间信号变换为在变换可将离散时间信号变换为在复频域复频域的表达式。将离散系的表达式。将离散系统的时域数学模型统的时域数学模型差分方程转化为较简单的频域数学模差分方程转化为较简单的频域数学模型型代数方程，使求解过程变得更加简单。代数方程，使求
4、解过程变得更加简单。离散时间信号的离散时间信号的Z变换是变换是分析线性时不变离散时间系统分析线性时不变离散时间系统问题的问题的重要工具，在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛重要工具，在数字信号处理、计算机控制系统等领域有着广泛的应用。的应用。3.1 z变换x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。z变换的定义变换的定义X zx n znn()()0=+双边：单边：Z是个复数变量，它具有实部和虚部，也可以用极坐标形式表示是个复数变量，它具有实部和虚部，也可以用极坐标形式表示X zx n znn()()0=+()()X zx n znn=
5、3.1 z变换x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。z z变换的收敛域（变换的收敛域（Region of convergence，ROC）任意序列任意序列x(n)，使其，使其z变换收敛的变换收敛的z平面上所有平面上所有z值的集合称为值的集合称为z变换的收敛域。变换的收敛域。收敛域一般用环状域来表示，其中收敛域一般用环状域来表示，其中Rx-取值可为零，取值可为零，Rx+取值可为无穷大，如取值可为无穷大，如图所示。图所示。o序列序列x(n)的的z变换绝对收敛变换绝对收敛的条件是绝对可和，即的条件是绝对可和，即=x n znn()Z变换的收敛域
6、xRxR+Re zjIm zxR换变其求：例=x nu n()(),ZX zu n zznnnn()()0=存在的充分必要条件是即nnX zzz=01(),1此时X zzz=1()11,1Z变换的收敛域x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。他其，=x nx nnnn0()()120n2n1n(n).x=X zx n zn nnn()()12其其z z变换为变换为若x(n)是有界序列，由于是有限项求和，除0和处是否收敛与n1、n2取值有关外，整个z平面都收敛。1.1.有限长序列有限长序列几类序列Z变换的收敛域x(n)代表第代表第n个序列值，
7、在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。=nnnnnnnnn12121212(1)0,0,收敛域，(2)0,0,收敛域，(3)0,0,收敛域，(4)0,0,特殊收敛域，)(0z 0z 0z 0z 00,zzzzz=结论：有限序列的收敛域是不包含和的“有限 平面”。处是否收敛则看具体情形。保证保证|z-n|下面分四种情况来考虑其收敛域。下面分四种情况来考虑其收敛域。几类序列Z变换的收敛域x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。2.2.右边序列右边序列=+=X zx n zx n zx n zn nn nnnnn()()(
8、)()0111x(n)n0n1.1.当当n10此时的右边序列就是因果序列，其收敛域此时的右边序列就是因果序列，其收敛域 RzX z0只有两项都收敛时，该只有两项都收敛时，该z变换才收敛。右边序列的收敛域为：变换才收敛。右边序列的收敛域为：RzX RzXRX0几类序列Z变换的收敛域3.3.左边序列左边序列=+=X zx n zx n zx n znnnnnnnn()()()()1022只有两项都收敛时，该只有两项都收敛时，该z z变换才收敛。左边序列的收敛域为变换才收敛。左边序列的收敛域为:+zRX0+zRX0,即以。当x(n)0nn2 z0+zRX0当时当时n20，其收敛域为，其收敛域为:几类
9、序列Z变换的收敛域x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。4.双边序列双边序列=+=X zx n zx n zx n znnnnnn()()()()01只有当只有当时，双边序列时，双边序列z z变换才存在，其收敛域为变换才存在，其收敛域为，即，即为一环状域。若为一环状域。若，则无公共收敛域，则无公共收敛域，不存在。不存在。+RRXX+RzRXX+RRXXX z()+zRX0 RzX0nx几类序列Z变换的收敛域x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。总结：总结：有限长序列收敛域是全z面，零和无穷要察看；右边序列收敛域在圆外，因果敛至无穷远；左边序列收敛域在圆内，逆向因果含零点；双边序列收敛域是圆环，边界考虑零极点。由于X(z)在收敛域内一致收敛，收敛域内不能包含极点。对于有理的X(z)，至少有一个极点在收敛域的边界上。收敛域是一个连续的区域，收敛域不能由间断的几个区域组成。总结x(n)代表第代表第n个序列值，在个序列值，在数值上等于信号的采样值。数值上等于信号的采样值。3.1 z变换3.1 z变换谢 谢Thanks