《(3.9.2)--9.7.2梯度的定义及其与方向导数的关系.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(3.9.2)--9.7.2梯度的定义及其与方向导数的关系.pdf（11页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第9章多元函数微分法及其应用高等数学梯度的定义及其与方向导数的关系问题函数 =(,)在点(,)沿哪个方向增加的速度最快？分析=(,)cos+(,)cos=,cos,cos梯度(,)如何取方向，使得(,)最大？表示函数(,)在点 沿方向 的变化率梯度的定义设函数 =(,)在平面区域内有连续偏导数，则对于每一点(,)，可定义出一个向量(,)+(,)此向量称为函数 =(,)在点(,)的梯度grad(,)或(,)记作问题函数 =(,)在点(,)沿哪个方向增加的速度最快？分析=(,)cos+(,)cos如果函数 =(,)在点(,)可微分，=,cos,cos梯度=(,)=,=,(,)如何取方向，使得(,)
2、最大？表示函数(,)在点 沿方向 的变化率(,)=,=,当=即=时，(,)最大当=即=时，(,)最小(,)=当=即时时，=最大值为 ,最小值为 ,与(,)方向相同与(,)方向相反与(,)方向垂直当方向与梯度(,)的方向相同时，函数(,)增加最快。函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值为 ,.当方向与梯度(,)的方向相反时，函数(,)减少最快。函数在这个方向的方向导数达到最小值，这个最小值为 ,.“变化最快”的方向当方向与梯度(,)的方向垂直时，函数(,)的变化率为零。问题函数 =(,)在点(,)沿哪个方向增加的速度最快？统称为结论推广定义：设三元函数 =(,)在空间区域内有连续偏导数，则对于每一点(,)，称向量(,)+(,)+(,)为函数 =(,)在点(,)的梯度，记作grad(,)或(,)结论：函数 =(,)在点(,)处沿梯度(,)的方向增加最快，即函数在梯度方向的方向导数达到最大值，这个最大值为梯度的模。例 求+解 记,=+因为,=+,=+所以+=+,+例设,解因为=,=,所以,=,=+,求=从而,=,=,=,小结梯度定义、记号与方向导数之间的关系三元函数谢谢，再见！