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1、第8章空间解析几何与向量代数高等数学数量积 向量积 混合积一、两向量的数量积向量a与b的数量积记作ba cos|baba=.(其中 为a与b的夹角)1.数量积数量积ab cos|baba=,Prcos|ajab=.Pr|bjaa=ajbbabPr|=,Prcos|bjba=.|)1(2aaa=)(,0=ba,0|a,0|b,0cos=.ba=,2)(,ba ,0cos=.0cos|=baba,2=.0=baba)2(,0=cos|aa=aa.|2a=2.数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：1;abba=2;)(cbcacba+=+3),()()(bababa=.,kajaiaazy
2、x+=kbjbibbzyx+=,0=ikkjji,kji .1=kkjjii,|k|j|i|1=3.数量积的坐标表示：数量积的坐标表示：)(kajaiazyx+)(kbjbibzyx+=bazzba+=bayyba+xxba222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa+=4.两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式：5.由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为0=+zzyyxxbababa0=baba cos|baba=,|cosbaba=例 1已知)4,1,1(=a，)2,2,1(=b，求：(1)ba；(2)a与b的夹角；(3)a在b上的
3、投影.ba)1(2)4()2(111 +=.9=cos)2(,21=ajbbabPr|)3(=.3|Pr=bbaajb=.43 zzyyxxbababa+=222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa+=二、两向量的向量积1.向量积向量积向量a与b的向量积为bac=sin|bac=c的方向既垂直于a，又垂直于b，指向符合(其中 为a与b的夹角).abbac=.0)1(=aa)0sin0(=)0sin,0,0(=baba)2(/.0=ba2.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：abba =12.)(cbcacba+=+3 =()()().ab aba b=abbac=
4、,kajaiaazyx+=kbjbibbzyx+=3.向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式kkjjii=,0=kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()(+=ba)(kajaiazyx+)(kbjbibzyx+=bajikO,jik=,ikj=ji,k=.jki=,ijk=ij,k zyxzyxbbbaaakjiba=)(xyyxzxxzyzzybabababababa =，4.|ba 表示以a和b为邻边的平行四边形的面积.abbac=例 2求与kjia423+=，kjib2+=都垂直的单位向量.bac=211423 =kji,510kj+=zyxzyxbbbaaakji
5、=|c,5551022=+=0c.5152 +=kj|cc 例 3已知三角形 ABC 的顶点分别为)2,1,1(A、)2,6,5(B和)1,3,1(C，求三角形 ABC 的面积.ABC|21ABACS=22216121521+=.225=AC=AB)3,4,0()0,5,4(=ABACkji161215 三、向量的混合积,kajaiaazyx+=,kbjbibbzyx+=,kcjcicczyx+=cbacba =)(zyxzyxzyxcccbbbaaa=设已知三个向量a、b、c，数量cba )(称为这三个向量的混合积，记为cba.向量的混合积cbacba =)(是这样的一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积.关于混合积的说明：关于混合积的说明：1cba）（2cba =)(acb =)(.)(bac =.0=cba（3）三向量a、b、c共面acbba c谢谢，再见！