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1、第9章多元函数微分法及其应用高等数学条件极值和拉格朗日乘数法回顾对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其它条件。例 求函数(,)=+的极值无条件极值在实际问题中，有时会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题。定义：对自变量有附加条件的极值称为条件极值。例 在平面+=上求一点，使它与坐标原点的距离最短。(,)=+=条件极值的定义条件极值 对于在条件,=下的函数=,的极值的求法方法一：化为无条件极值如果由,=能解出=()，那么将它代入=,，便将条件极值化为函数 =,()的无条件极值条件极值的求法方法二：拉格朗日乘数法,、,有连续的一阶偏导数，且、不同时为零。假定 ,=确定隐函数=(
2、)化为求=(,()的无条件极值=+=极值点 驻点假定极值点满足(,)+(,)=(,)+(,)=,=代代入入此方程组的解此方程组的解可能是极值点可能是极值点,=(,)+(,),=,=拉格朗日函数(,)+(,)=(,)+(,)=,=,=(,)+拉格朗日乘子(,)构造拉格朗日函数：求,的偏导数,使之为零,并与约束条件联立,解此方程组，得,及 在实际问题中可根据问题本身的性质判别；用判别无条件极值的充分条件去判别。判别点(,)是否为极值点，此方程组的解可能是极值点方法二：拉格朗日乘数法,=,=例如，求函数下的极值。=,在条件 对于在条件,=下的函数=,的极值的求法条件极值的求法 推广：多元函数、多个约
3、束条件方法一：化为无条件极值 约束条件目标函数代入=,=,能解出代 入化为二元函数=,(,),(,)的无条件极值 对于在条件,=下的函数=,的极值的求法条件极值的求法 推广：多元函数、多个约束条件方法二：拉格朗日乘数法约束条件个数拉格朗日乘子个数,=,+,+,=,=例如，求函数下的极值。=,在条件构造拉格朗日函数如下在平面+=上求一点，使它与坐标原点的距离最短。解例设(,)为平面+=上任一点则(,)到原点的距离为=+由于与同时取得最小值，故只需求=+在条件+=下的最小值问题转化为：求=+在条件+=下的最小值求=+在条件+=下的最小值方法一：化为无条件极值由条件+=中解出=+代入=+得二元函数：=+(+)分别对、求偏导数，使之为零，+=+=解方程组，可得=，=代入,.即得唯一驻点根据题意可知,原点到平面距离的最小值一定存在；而函数只有一个驻点，因此该点为最小值点，所以平面上与原点距离最短的点为,.方法二：拉格朗日乘数法构造拉格朗日函数,=+(+)求,的偏导数,使之为零,并与约束条件联立,=+=+=+=解方程组，=,=,=,=,=代入可得求=+在条件+=下的最小值根据题意可知,原点到平面距离的最小值一定存在；而函数只有一个驻点，因此该点为最小值点，所以平面上与原点距离最短的点为,.小结条件极值定义求法化为无条件极值拉格朗日乘数法谢谢，再见！