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1、复频域篇一 小结与习题讲解一 Signals and Systems 第9章 复习考研篇 视频105 信号与系统分析方法 频域篇一_小结与习题讲解 连续时间连续时间信号与信号与LTI系统的复系统的复频域分析频域分析 信号的复频域分析信号的复频域分析 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 LTI系统的复频域分析系统的复频域分析 连续时间连续时间LTI系统的系统函数系统的系统函数 用拉普拉斯变换分析连续时间用拉普拉斯变换分析连续时间LTI系统系统 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示 单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换
2、单边拉普拉斯变换及其性质单边拉普拉斯变换及其性质 利用单边拉普拉斯变换解微分方程利用单边拉普拉斯变换解微分方程 1【解解】【习题习题8.1】对对下列每个积分，给出保证积分收敛的实参数下列每个积分，给出保证积分收敛的实参数 的的范围。范围。(1)(2)(3)(4)ttteed5(j)0 频域篇一_小结与习题讲解 tttttt5jeedede005(j)(5j)(5j)0ttteed05(j)ttteed55(j)5ttteed5(j)(1)e0(5j)保证积分收敛则须保证积分收敛则须 Re5j 0 5tttttt5jeedede05(j)(5j)00(5j)(2)e0(5j)保证积分收敛则须保证
3、积分收敛则须 Re5j 0 5 1【解解】【习题习题8.1】对对下列每个积分，给出保证积分收敛的实参数下列每个积分，给出保证积分收敛的实参数 的的范围。范围。(1)(2)(3)(4)ttteed5(j)0 频域篇一_小结与习题讲解 tttttt5jeedede5555(j)(5j)55(5j)5ttteed05(j)ttteed55(j)5ttteed5(j)(3)无论如何取值无论如何取值，积分总是收敛积分总是收敛 tttttt5jeedede5(j)(5j)(5j)(4)ee0(5j)(5j)保证积分收敛则须保证积分收敛则须 为任意实数为任意实数 无法满足无法满足 不存在不存在满足条件的实参
4、数满足条件的实参数 2【解解】【习题习题8.2】利用拉普拉斯变换公式，求信号利用拉普拉斯变换公式，求信号 的的拉普拉斯变换拉普拉斯变换，并确定其收敛域并确定其收敛域。频域篇一_小结与习题讲解 ssX sx ttu tttsttstststs55()()ede(1)ededee15(5)(5)(5)1x tu tt()e(1)5se0(5)保证积分收敛则须保证积分收敛则须 Res50Re s 5 3【解解】【习题习题8.3】信号信号 的的拉普拉斯变换记拉普拉斯变换记为为 ，若，若 的的收敛域收敛域为为 ，考虑考虑 的的实部与虚部有何限制。实部与虚部有何限制。频域篇一_小结与习题讲解 ssssX
5、ss5(5)()()1125x tu tu ttt()e()e()5收敛域包括收敛域包括 与与 的交集的交集 Re s 3Re 3X s()X s()Re s()3Re s 5ReRes 收敛域为收敛域为 的实部为的实部为 ，虚部无限制虚部无限制 3 4【解解】【习题习题8.4】求求 的的拉普拉斯变换拉普拉斯变换，并确定其，并确定其极点与极点与收敛域。收敛域。频域篇一_小结与习题讲解 sssX s(1)422j1j22j1j2()11112x tt utt()e sin(2)()ROC：Re s 1 s1j21,2两个两个极点为极点为 x tutututttttt2j2j2j2j()eee()
6、e()e()1111j2j2(1 j2)(1 j2)ReReL sautsaate(),1j 1j2 1j2 5【解解】【习题习题8.5】已知一个绝对可积的信号已知一个绝对可积的信号 的有理拉普拉斯变换的有理拉普拉斯变换 在在 有有 一个极点一个极点，判断，判断：(1)是是有限持续期的吗有限持续期的吗？(2)是是左边信号吗？左边信号吗？(3)是是右边信号吗？右边信号吗？(4)是是双边信号吗？双边信号吗？频域篇一_小结与习题讲解 x t()X s()s2x t()x t()x t()x t()X s()(1)不是不是有限持续期有限持续期的的，否则否则 的收敛域为整个的收敛域为整个s平面平面，不可
7、能不可能 在在 有有一个极点一个极点 x t()s2(2)可以是左边信号可以是左边信号，收敛域在收敛域在 左边的左半平面左边的左半平面 x t()Res 2(3)不是右边信号不是右边信号，否则收敛域在否则收敛域在 右边的右半平面右边的右半平面，会不会不 包括包括 轴轴，与绝对可积的条件矛盾与绝对可积的条件矛盾 jRes 2x t()(4)可以是双边信号可以是双边信号，收敛域可以在收敛域可以在 左边左边的带状区域的带状区域，且且 包括包括 轴轴 jRes 2x t()6【解解】【习题习题8.6】一个一个拉普拉斯变换形式为拉普拉斯变换形式为 根据根据收敛域的种类确定其可能对应多少个拉普拉斯反收敛域
8、的种类确定其可能对应多少个拉普拉斯反变换变换 。频域篇一_小结与习题讲解 ssssX ss(2)(3)(1)()12ssssssssX sss2222(2)(3)jj1313(2)(3)(1)()112四个极点分别为四个极点分别为 sss222,3,j13123,4可能有四种收敛域可能有四种收敛域，分别为分别为 ReReReRe ssss22 3,3 2,2,11可能可能对应四个拉普拉斯反变换对应四个拉普拉斯反变换 x t()x t()2322j1322j13j 7【解解】【习题习题8.7】的有理的有理拉普拉斯变换拉普拉斯变换 只有只有两个两个极点极点 与与 。若。若 的傅里叶变换的傅里叶变换
9、 收敛收敛，判断，判断 是是左边信号，右边信号，还是双边信号？左边信号，右边信号，还是双边信号？频域篇一_小结与习题讲解 X s()G sX s()(2)只有两个极点只有两个极点 ss1,312 收敛收敛 Re s1 1x t()11j s11 s32g tx tt()e()2x t()G s()g tx tt()e()2X sG s()(2)X s()只有两个极点只有两个极点 ss1,112G s()G s()的收敛域包括的收敛域包括 轴轴，为为 G s()j 为双边信号为双边信号 x t()Re s3 1 的收敛域为的收敛域为 X s()11j 8【解解】【习题习题8.8】已知已知 的拉普
10、拉斯变换的拉普拉斯变换 ，求，求 ，的反的反变换。变换。频域篇一_小结与习题讲解 ReResaX s,sa()1x tu tat()e()ssX ss712()2(2)2Re，ssssX sss71234()32(2)242 x tu tu ttt()2e()4e()3434jRes 3 9【解解】【习题习题8.9】假定假定 ，其中其中 ，的的拉普拉斯变换为拉普拉斯变换为 ，确定确定 与与 值。值。频域篇一_小结与习题讲解 x tu tt()e()g tx txt()()()ResG s,ss1()1 12Re sssG sX sXs,ss111()()()1 1(1)110 211 10【解
11、解】【习题习题8.10】有两个右边有两个右边信号信号 与与 ，满足满足微分方程微分方程 与与 ，确定，确定 、及其及其收敛域。收敛域。频域篇一_小结与习题讲解 ty ttx td2()()d()x t()tx ty td2()d()sY sX ssX sY s()2()()2()1y t()X s()Y s()方程两边做拉普拉斯变换方程两边做拉普拉斯变换 sY ssX ss4()24()22X s()极点为极点为 ，且且 为右边信号为右边信号，则则 收敛域为收敛域为 s,2j1 2Res 0 x t()X s()Y s()极点为极点为 ，且且 为右边信号为右边信号，则则 收敛域为收敛域为 s,
12、2j1 2Res 0y t()Y s()11【解解】【习题习题8.11】一一个单位冲激响应为个单位冲激响应为 的的因果因果LTI系统系统，其，其输入输入 与输出与输出 满满 足足微分方程微分方程 (1)若若 ，有有多少个极点？多少个极点？(2)为保证系统为保证系统 稳定，对实参数稳定，对实参数 有有何限制？何限制？频域篇一_小结与习题讲解 x t()tttaa aa y tx ty ty ty tddd(1)(1)()()d()d()d()32232s Y sa s Y sa asY sa Y sX s()(1)()(1)()()()322y t()tg th th td()()d()G s(
13、)方程两边做拉普拉斯变换方程两边做拉普拉斯变换 h t()aX ssa sa asassasaH sY s()(1)(1)(1)()()()1132222saasaasasaG ssH sH ssH s2222jj1313()()()(1)()1122 11【解解】【习题习题8.11】一一个单位冲激响应为个单位冲激响应为 的的因果因果LTI系统系统，其，其输入输入 与输出与输出 满满 足足微分方程微分方程 (1)若若 ，有有多少个极点？多少个极点？(2)为保证为保证系统稳定系统稳定，对实参数，对实参数 有有何限制？何限制？频域篇一_小结与习题讲解 x t()tttaa aa y tx ty t
14、y ty tddd(1)(1)()()d()d()d()32232y t()tg th th td()()d()G s()h t()asaasaaG s2222jj1313()1(1)有有两个极点分别为两个极点分别为 G s()saa,22j131 2(2)为保证系统为保证系统稳定稳定，极点应该均在左半平面极点应该均在左半平面，实部为实部为负负，即即 a0 12【解解】【习题习题8.12】一个因果一个因果LTI系统系统，其方框图如，其方框图如图所图所示。示。(1)计算该系统的系统计算该系统的系统函数函数 及其及其收敛域。收敛域。(2)确定描述该系统确定描述该系统输入输入 与输出与输出 的微分方程。的微分方程。(3)判断系统的稳定性。判断系统的稳定性。频域篇一_小结与习题讲解 x t()H s()y t()(1)系统函数系统函数 ssssssH ssss14 212821016()221312112111-s1-s2)t(y+2-)t(x+4-极点为极点为 ，收敛域为收敛域为，ss8212Re s 2(2)微分方程为微分方程为 ttty tx ty ty tx tddd1016()312()d()d()d()2(3)由于收敛域包括由于收敛域包括 轴轴，因此系统稳定因此系统稳定。j