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1、现代控制理论Modern Control Theory第6章：最优控制第6章：最优控制问：前面讨论的对象是终端时间固定，即时间无变分。若终端时间变动，如何处理？6.2 泛函及其极值变分法三、极值条件-横截条件3）始端时间和状态固定，终端时间变动的无约束条件变分问题始端状态和终端状态x t()0 x tf()固定 或 自由始端时刻和终端时刻t0tf固定始端时刻和始端状态固定。t0 x t()0终端时刻沿着给定靶线变动：tfC t()边值 或 横截终端时刻变动，不为零。tftf终端状态满足：=x tC tff()()0tf*目标：1）确定最优轨线；2）确定最优终端时刻。x t()*已学t()x t
2、0t*ft0 x*()x t()C t6.2 泛函及其极值变分法三、极值条件-横截条件取极值的必要条件：轨线满足设轨线从固定始端到达给定终端曲线上，使性能泛函：x t()x t()0=x tC tff()()*=JL x x ttttf,d0)(x t()=xdtxLdL0+=xLC tx tLt tf()()0*欧拉方程终端横截条件应有连续的二阶导数，L至少应两次连续可微，应具有连续的一阶导数。x t()C t()证明定理：6.2 泛函及其极值变分法三、极值条件-横截条件在端点固定情况下，由端点条件确定积分常数。在端点可变情况下，积分常数如何确定？如果函数能使泛函在端点可变的情况下达到极值，
3、一定能使泛函在端点固定为和情况下达到极值。x t x(,)00 x txff(,)函数应当满足固定端点时的必要条件，即函数应当是欧拉方程的解。x t()*x t()*=xdtxLdL0为简化问题，假定始端固定，终端可变。问题：确定x t()*x t()*的邻域曲线可表示为：=+x tx tx t()()()*=+x tx tx t()()()*不同的邻域曲线，不同的终端时刻。=+ttdtfff*计算性能指标tx0t*ft0 x*()x t()x t()fC t00(,)A tx*(,)ffB tx6.2 泛函及其极值变分法三、极值条件-横截条件=JL x x ttttf,d0)(=+L x t
4、x t x tx t ttttdtff()(),()(),d*0*=+L x tx t x tx t ttttf()(),()(),d*0*+L x tx t x tx t ttttdtfff()(),()(),d*根据极值的必要条件：=JJ00=+=JL x tx t x tx t ttttf()(),()(),d0*0*+=+L x tx t x tx t ttttdtfff()(),()(),d00*6.2 泛函及其极值变分法三、极值条件-横截条件第一项相当于端点时间固定时的泛函的变分，直接得到结果：+=+=dtL x tx t x tx t ttLLx ttLxdtttxxxtttff
5、f()(),()(),d()()d0*000*第二项利用中值定理，再求导，得：+=+L x tx t x tx t ttL x t x t tttt tftdtffff()(),()(),d(),(),d00*=L x t x t ttt tff(),(),d*=+=JLx tL x t x t ttt tt txfff()(),(),d*考虑欧拉方程成立，始端固定条件，则：=x t()00若两者互不相关，则：=Lt txf0*=L x t x t tt tf(),(),0*6.2 泛函及其极值变分法三、极值条件-横截条件+=x tdtx tC tdtfffff()()()*状态向量变分x(t
6、)在时刻的值tf*终端状态向量的变分x(tf)ECBDFCtx0t*ft0 x*fffttdt=+*()x t*()()()x tx tx t=+()()ffx tC t=BDFEC*()fx t6.2 泛函及其极值变分法三、极值条件-横截条件因为相关，根据终端约束条件，求出两者关系：将上式对取偏导数，并令=0，则：=x tC tff()()=+x tx tx t()()()*=+ttdtfff*=+x tx tx tfff()()()*+=+x tdtx tdtx tdtffffff()()()*=+C tdtff()*+=+x tdtdtx tdtx tdtdtC tdtdtfffffff
7、ffff()()()()*+=x tdtx tC tdtfffff()()()*进一步：=x tC tx tdtffff()()()*6.2 泛函及其极值变分法三、极值条件-横截条件=x tC tx tdtffff()()()*=+=JLx tL x t x t ttt tt txfff()(),(),d*=+=JLC tx tdtL x t x t ttt tt txffffff()()(),(),d*=+=L C tx tL x t x t ttt txff()()(),(),d*由于是任意的，所以：tfd+=L C tx tL x t x t tt txf()()(),(),0*+=xL
8、C tx tLt tf()()0*或：=xdtxLdL0欧拉方程：终端处和之间的关系C t()x t()6.2 泛函及其极值变分法三、极值条件-横截条件横截条件或边界条件时间tf固定状态x(tf)固定x(t0)=x0，x(tf)=xf状态x(tf)自由时间tf自由状态x(tf)约束状态x(tf)自由=J xL x x t dtttf(),0=xdtxLdL0对比：对比：=xx txLtf(),000=xxx txLxLLtt tff(),0,000*=+=xx tx x tc tLcxLt tfff(),()(),000*)(欧拉方程相同欧拉方程相同x(t0)固定6.2 泛函及其极值变分法四、
9、多元泛函极值条件设x为n维变量，xx=t()00 xx=tff()性能泛函：=J x xxL x xx x xx tttnnntf(,),;,;d1212120 xL是x及其一阶导数的数量函数=xdt xinLdLii0(1,2,)欧拉方程：n个方程组成的方程组=x txx txiniiifif(),(),(1,2,)00边界条件：欧拉方程矢量形式：x=x xxnT(,)12xx=dtLdL0 xx=t()00 xx=tff()x具有连续二阶导数，L两次连续可微。x=Lt00 x=Ltf0边值条件：横截条件：6.2 泛函及其极值变分法五、综合性性能泛函极值性能泛函：xx xx=+tJLttfttfd(,)(),0)(始端时刻和始端状态固定。t0 xx=t()00终端时刻固定，终端状态自由。tfx tf()xxx=+=JJ()()0 xxxxxxxx=+=dttttLdLLtttttfffTtTTtff()d()0()()()00 xxxxxxxx=+=dtttttLdLLttffttfftTTTff()d()0()()()0 x=t()00 xx=t()00 xxxxx=dtLdLtLtftfTf()0()任意xxttf(),()对终端的要求