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1、运运 筹筹 学学 第八章第八章 修正概率方法修正概率方法 贝叶斯决策 1 主主 要要 内内 容容 2 效用理论 一、贝叶斯决策 贝叶斯决策：贝叶斯决策：开始人们对原来的状态参数提出某一概率分布。后来通过调查又获得许多信息，只要原来信息不是错误的，则应该用后来的补充信息修正原来的认识。用补充的情报改进原来的概率分布。主观概率：主观概率：将依据过去的信息或经验由决策者估计的概率称之为主观概率；先验概率：先验概率：未收到新信息时根据已有信息和经验，估计出的概率分布称为先验概率；客观概率：客观概率：用随机试验确定出的概率称为客观概率；后验概率：后验概率：收到新信息,修正后的概率分布称为后验概率。一、贝
2、叶斯决策 BayesBayes法就是一种后验概率方法法就是一种后验概率方法。一、贝叶斯决策 ()()(|),(|)()()P ABP ABP B AP A BP AP B条件概率条件概率：事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率。一、贝叶斯决策 贝叶斯公式贝叶斯公式：若A1、A2、An构成一个完备事件，P（Am)0,则对任何概率不为零的事件B，有,2,1)|()()|()()|(mABPAPABPAPBAPiiimmm一、贝叶斯决策 例例1 某钻井大队在某地进行石油勘探，主观估计该地区为有油某钻井大队在某地进行石油勘探，主观估计该地区为有油(1 1)地区的概率为
3、地区的概率为 P(P(1 1)0.5,0.5,没油没油(2 2)的概率为的概率为 P(P(2 2)0.50.5，为提高勘探效果，先做地震试验，根据积累资料得知为提高勘探效果，先做地震试验，根据积累资料得知：一、贝叶斯决策 有油地区，做试验结果好(F)的概率P(F1)0.9 有油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U1)0.1 无油地区，做试验结果好(F)的概率P(F2)0.2 无油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U2)0.8 求：在该地区做试验后，有油和无油的概率各为多少？一、贝叶斯决策 解解:做地震试验结果好的概率 P(F)P(1)P(F1)P(2)P(F2)0.50.9+0.50.2=
4、0.55 做地震试验结果不好的概率 P(U)P(1)P(U1)P(2)P(U2)0.50.1+0.50.8=0.45 一、贝叶斯决策 用Bayes公式求解各事件的后验概率：做地震试验结果好的条件下有油的概率 做地震试验结果好的条件下无油的概率 11955.045.0)()/()()|(111FPFPPFP11255.010.0)()/()()|(222FPFPPFP一、贝叶斯决策 用Bayes公式求解各事件的后验概率：做地震试验结果不好的条件下有油的概率 做地震试验结果不好的条件下无油的概率 9145.005.0)()/()()|(111UPUPPUP9845.040.0)()/()()|(2
5、22UPUPPUP二、贝叶斯决策应用 1.效用效用 贝努利(D.Berneulli)首次提出效用概念，他用图1表示出人们对钱财的真实价值的考虑与其钱财拥有量之间有对数关系，这就是贝努利货币效用函数。效用效用U 货币货币M 图图1 贝努利效用曲线贝努利效用曲线 二、效用理论 1.效用效用 效用是一种相对的指标值，它的大小表示决策者对于风险的态度，对某事物的倾向、偏差等主观因素的强弱程度用于量度决策者对于风险的态度。如果每个方案的期望值相等，即用最大期望值决策不合适，可以用最大效用值期望准则。二、效用理论 2.效用曲线效用曲线 确定效用曲线的基本方法有两种：第一种：直接提问法，需要决策者回答提问，
6、主观衡量应用较少；第二种：对比提问法，此法使用较多。二、效用理论 2.效用曲线效用曲线 对比提问法：设现有A0，A1两种方案供选A0表示决策者不需要花费任何风险可获益x0；而A1有两种自然状态，可以概率P获得收益x1，以概率（1P）获得收益x2；且x1x0 x2；令yi表示效益xi的效用值则x0，x1，x2的效用值分别表示为y0，y1，y2 若在某条件下，决策者认为A0,A1两方案等价，则有：二、效用理论 4个数个数p，x0，x1，x2中给定中给定3个，提问第个，提问第4个变量由决策者确定，求出效用个变量由决策者确定，求出效用值。值。一般采用改进一般采用改进VM(Von NeumannMorg
7、enstern)方法，方法，固定固定P0.5，x1，x2改变改变x0三次，得出相应的三次，得出相应的y的值，确定三点，作出效用的值，确定三点，作出效用曲线。曲线。)()(5.0)(5.0021xyxyxy二、效用理论 021)1(yyPPy 不同决策者对待风险态度不同决策者对待风险态度不同，因而会得到不同形状的不同，因而会得到不同形状的效用曲线一般可分为保守型效用曲线一般可分为保守型、中间型、中间型、风险型、风险型，如，如图。图。y 1 I II x(Xmax,1)(Xmin,0)Xmax Xmin 0 3.效用曲线类型效用曲线类型 III 二、效用理论 y 1 I II x(Xmax,1)(
8、Xmin,0)Xmax Xmin 0 3.效用曲线类型效用曲线类型 图中图中I为保守型，其特为保守型，其特点为：当收益值较小时，效点为：当收益值较小时，效用值增加较快；随收益值增用值增加较快；随收益值增大时，效用值增加速度变慢，大时，效用值增加速度变慢，表明决策者不求大利，谨慎表明决策者不求大利，谨慎小心，保守小心，保守 III 二、效用理论 y 1 I II x(Xmax,1)(Xmin,0)Xmax Xmin 0 3.效用曲线类型效用曲线类型 图中图中IIII为中间型，为中间型，其特点为：收益值和其特点为：收益值和效用值成正比，表明效用值成正比，表明决策者完全按机遇办决策者完全按机遇办事，
9、心平气和事，心平气和 III 二、效用理论 y 1 I II x(Xmax,1)(Xmin,0)Xmax Xmin 0 3.效用曲线类型效用曲线类型 图中图中III为风险型，其特点为风险型，其特点为与为与I保守型恰好相反，当收益保守型恰好相反，当收益值较小时，效用值增加较慢；值较小时，效用值增加较慢；随收益值增大时，效用值增加随收益值增大时，效用值增加速度变快，表明决策者对增加速度变快，表明决策者对增加收益反应敏感，愿冒较大风险，收益反应敏感，愿冒较大风险，谋求大利，不怕冒险谋求大利，不怕冒险 III 三、效用理论 常用的效用函数：常用的效用函数：三、效用理论 4.效用值的应用效用值的应用【例
10、例2】若某决策问题的决策树如下图所示，其决策者的效若某决策问题的决策树如下图所示，其决策者的效用期望值同时附在效益期望值后，请做出决策用期望值同时附在效益期望值后，请做出决策 三、效用理论 解：计算效益期望值分别为解：计算效益期望值分别为 E(2)=0.53000.5(200)=50 E(3)0.52000.5(100)=50 根据最大效益期望值准则，无法判断优劣。根据最大效益期望值准则，无法判断优劣。三、效用理论 两个方案的期望值相等，用最大期望值决策不合适，可以用最大效用值期望准则，求2个方案的效用值。y1=0.510.500.5，y2=0.50.9+0.50.3=0.6 三、效用理论 A A2 2方案效用值方案效用值A A1 1方案效用值，因此取方案效用值，因此取A A2 2方案为决策方案。方案为决策方案。绘制效用曲线图见下图，可知，该决策者偏向于保守型，不求大利，谨慎小心。绘制效用曲线图见下图，可知，该决策者偏向于保守型，不求大利，谨慎小心。-200 300 1 0 100 200-100 y x 三、效用理论 贝叶斯决策 1 小小 结结 2 效用理论