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1、9.2 一元恒定气体流动方程 9.2.1 连续性方程 9.2.2 动量方程 9.2.3 能量方程 9.2.4 状态方程 9.2.5 马赫数方程 9.2.6 补充方程 对于恒定可压缩的气体管流,当管道轴线的曲率变化很小，横截面的形状和面积沿流动方向无剧烈变化时，可假定流动参数在截面上均匀分布，按为一元流动来处理。一元恒定气体流动方程 连续性方程 动量方程 能量方程 状态方程 马赫数方程 补充方程一元恒定气体流动方程9.2.1 连续性方程连续方程积分形式：vAC=2vs方向截面1截面21v11A，11A，流进气体的质量=流出气体的质量1 11222v Av A=对上述方程进行微分：ddd0vAvA
2、+=对微元控制体，根据质量守恒原理连续性方程气体密度小，忽略质量力。此时，作用在控制体上的力：9.2.2 动量方程 对微元控制体进行受力分析s方向截面1截面2pA()()ddppAA+1.作用于截面1上沿管道轴线方向的压力 pA2.作用于截面2上沿管道轴线反方向的压力-(p+dp)(A+dA)动量方程sP=3.侧壁的压力在管道轴线方向的分量 Ps：d2pp+s方向截面1截面2d2pp+（）dA侧面的平均压强dA侧面的平均压强 p+dp/2与侧壁面在 s 方向的投影的乘积9.2.2 动量方程动量方程pA()()ddppAA+侧壁面在 s 方向的投影s方向截面1截面2d2pp+（）dApA()()
3、ddppAA+sT=4.侧壁黏性摩擦力Tw在s方向的分量 TssT4deAsd微元控制体侧壁面积侧壁面切应力在s方向的分量-s与微元控制体侧壁面积cds=4A/deds的乘积s9.2.2 动量方程动量方程侧壁面切应力在s方向的分量sF=s方向的受力等于控制体单位时间内动量变化量，()()()()ddddsFvvAAvvvApv=+合力公式：sF截面1压力pA截面2压力侧壁压力在s方向的分量侧壁黏性摩擦力在s方向的分量d2ppdA+9.2.2 动量方程动量方程s方向截面1截面2d2pp+（）dApA()()ddppAA+sT()(dd)pp AA+-4dseAsd-将动量方程展开得()()d4d
4、dddd dd2=ddddd d dd dd dd dd dd d dd dd dd d dd d dd d d dsepApAp ApAp AA pAp AsdvAvvA vvA vvv AvA vvAvv v Av v AA v vv A vvAvvv Avv AvAvAv vvv Av v A+忽略高阶项减去相同项()4dddddd=0seAvA vvv AvA vvAvA psd+s方向方向截面1截面2pA()()ddppAA+d2pp+（）dAsT9.2.2 动量方程动量方程由于dddddd0Avvv AvA vvAvvA vAv+=+=整理得4ddd=0seAv A vA psd+
5、左右两边同时除以A,最终得动量方程微分表达式：4ddd=0sev vpsd+9.2.2 动量方程动量方程s方向方向截面1截面2pA()()ddppAA+d2pp+（）dAsT对可压缩流动，由于亚声速流和超声速流中气体流动特性差异很大，因此分析气体流动特性时常引入马赫数Ma4ddd=0sevvpsd+24ddd0sevkpMapsvd+=2222=kRTkpMava MaMavvv=动量方程22ddd02evpkMaskMavpd+=对于等截面管道流动，2d4dd0sevkpMapsvd+=218swv=对于无摩擦的流动，s4=d=0sseTsd2dd0vpkMavp+=2d4dd0sevkpM
6、apsvd+=9.2.2 动量方程动量方程22ddd02evpkMaskMavpd+=等截面管道流动：无摩擦管道流动：2dd0vpkMavp+=一元气体恒定气体流动：4ddd=0sev vpsd+24ddd0sevkpMapsvd+=方程中各参数之间相互影响，如速度和Ma之间，很难直接推导出积分式。需在一定的假设条件下才能进一步推导积分表达式9.2.2 动量方程动量方程加入到微元系统的热量dq 一部分用于增加系统的内能和动能 一部分用于气体膨胀做功()2d2ev+()d p2ddd2pvqe=+焓ddhv v=+由于气体的重力小，忽略位置势能热力学第一定律：能量守恒9.2.3 能量方程能量方程
7、dddpqcTv v=+对完全气体，ddphcT=定压比热容()2dddd1pqqTvkMac ThTv=+phc T=1kRTk=21ak=()221vkMa=dddqhv v=+完全气体能量方程9.2.3 能量方程能量方程当流动过程为绝热时，q=0代入完全气体能量方程dddpqcTv v=+气体绝热流动时，能量方程微分表达式为：dddd0pcTv vhv v+=+=d0q=此时：()2dd10TvkMaTv+=()2dddd1pqqTvkMac ThTv=+气体绝热流动能量方程9.2.3 能量方程能量方程对气体绝热流动时的能量方程微分式进行积分，得能量方程的积分式代入完全气体的焓方程222
8、12pvkvQc TRTk=+=+1pkhc TRTk=dddqhv v=+22vQh=+22vQh=+9.2.3 能量方程能量方程 气体绝热流动能量方程代入声速公式将能量方程积分形式整理可得：akRT=2212avQk=+22222222121212pvvkvkpvavhc TRTQkkk+=+=+=+=+=代入完全气体状态方程pRT=212kvQRTk=+212kpvQk=+212kvQRTk=+气体绝热流动能量方程9.2.3 能量方程能量方程对完全气体，其状态方程积分形式为：pRT=对完全气体，其状态方程微分形式为：dddpTpT=+9.2.4 状态方程状态方程马赫数积分方程为：22vM
9、akRT=马赫数微分方程为：ddd2MavTMavT=9.2.5 马赫数方程马赫数方程六个未知数：、p、T、Ma、q，为使方程组封闭必须补充一个方程五个基本方程24ddd0sevkpMapsvd+=动量方程连续性方程ddd0vAvA+=vAC=()2dddd1pqqTvkMac ThTv=+能量方程2212avQk+=dddpTpT=+马赫数方程pRT=ddd2MavTMavT=状态方程22vMakRT=9.2.6 补充方程补充方程推导 等温过程 绝热过程 等熵过程补充方程：TC=d0T=补充方程：0q=补充方程：0ddkqppCkp=或将上式中的一个作为补充方程，即可求解气体在相应的热力学变
10、化过程的气体流动的参数9.2.6 补充方程补充方程或无摩擦流动动量方程，2dd0vkpMapv+=2dd0vpkMavp+=等式两端同除压力p 等熵状态条件下的动量方程代入等熵过程补充方程和状态方程2dd(1)0TvkMaTv+=dddpTpT=+ddpkp=绝热流动能量方程，等熵状态条件下的能量方程2dd(1)0TvkMaTv+=等熵流动时，气体的动量方程与能量方程等价9.2.6 补充方程等熵时动量方程与能量方程等价如图所示，绝热指数k=1.4的可压缩气体在涡轮机中做绝热运动，已知图中两断面上的面积比A1/A2=1/2，密度比1/2=4，声速比a1/a2=2，试求1-1，2-2断面上的马赫数
11、。例题分析 通过一元气体连续方程可求出两截面气体流速比，进而求出声速比 由温度与速度之间关系的能量方程便可求出两截面马赫数 由气体的声速公式，求出两截面的温度比。本题考察绝热状态下流动参数间的关系例 题例9.2.1解：一元气体管流的连续性方程为：1 11222v Av A=将，代入上式并整理得：1212AA=124=2111221422vAvA=根据声速公式，声速比为：akRT=1112222kRTaTaTkRT=则2114TT=例 题例9.2.1 计算步骤2212121212vvkRkRTTkk+=+将，代入上式并整理得：212vv=2114TT=()11111.11821vMakkRT=因：2222111112/4/MavavaMavava=则：2144.472MaMa=解：根据一元恒定绝热流动的能量方程，有：例 题例9.2.1 计算步骤微分形式积分形式ddd0vAvA+=vAC=连续方程24ddd0sevkpMapsvd+=无 动量方程 能量方程()2dddd1pqqTvkMac ThTv=+2212avQk+=状态方程dddpTpT=+pRT=马赫数方程ddd2MavTMavT=22vMakRT=（绝热流动）本节小结重要公式等温过程TC=d0T=补充方程0q=d0q=绝热过程0kqpC=d0ddqpkp=等熵过程微分形式积分形式本节小结重要公式