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1、3.7 带通型的平稳过程带通型的平稳过程通信原理通信原理第第3章章带通随机过程()的每个样本都是带通信号。一切带通信号都可以用复信号来示，因此带通随机信号()相应存在随机的解析信号()、随机的复包络L()，其关系为：带通型的随机过程带通型的随机过程()()()()cLj2ejf tX tZ tX tXt=+=其中解析信号()只有正频率部分，没有负频率。复包络L()是基带信号。手机发出或收到的信号、干扰、噪声都是带通型的随机信号。()()()cLj2ReReef tX tZ tXt=若 是平稳带通随机过程，则其均值为零，自相关函数只与时间差有关：3平稳带通过程平稳带通过程()()()EXX tX
2、 tR+=()E0X t=均值为零是因为：平稳过程的均值是直流，直流的频率是=0，带通信号依定义必定不包含直流。零均值实或复平稳过程通过滤波器后，零均值、平稳这两个特性继续保持，因此()是零均值复平稳过程。解析信号()是带通信号()通过滤波器1+sgn()后的输出，解析信号只有正频率部分4解析信号的功率谱密度、自相关函数解析信号的功率谱密度、自相关函数()()()()24,01sgn0,0XZXPffPffPff=+=00,0得到L=4+c,cf|f|OfcfcL复包络的功率谱密度是带通信号功率谱密度的正频率部分向下搬移后乘以4同相分量及正交分量同相分量及正交分量同相分量是复包络的实部，正交分
3、量是复包络的虚部：由复包络是零均值复平稳过程可知 c 与 均值为零、联合平稳。以下推导同相分量、正交分量的自相关函数、互相关函数。c=Re L=12L+L s=Im L=12jL L 自相关函数自相关函数c=E c+c=E12L+L+12L+L=14E L+L+L+L+L+L+L+Lc=14L+14L=12Re L复包络共轭不相关，即E L+L=E L+L=0。故同相分量c 的自相关函数为s=E s+s=E12jL+L+12jL L=14E L+L L+L L+L+L+L=14L+14L=12Re L正交分量的自相关函数：同相分量与正交分量的互相关函数是12L()的虚部cs=E c+s=E12
4、L+L+12jL L=14jE L+L L+L+L+L L+L=14jL+14jL=12Im L互相关函数互相关函数正交分量与同相分量的互相关函数sc=E c s+=E12L+L12jL+L+=14jE L+L+L+L L+L L+L=14jL 14jL=+12Im L同相分量、正交分量的自相关函数是复包络自相关函数的实部同相分量、正交分量的互相关函数是复包络自相关函数的虚部()()()()()()()()*LLcsL*LLscL1Im24j1Im24jRRRRRRRR=+=()()()()()*LLcsL1Re24jRRRRR+=同相分量、正交分量在同一时刻不相关：()()()()cscss
5、c000E Xt XtRR=c=s=+c+c,c对上一页的自相关函数做傅氏变换。L的傅氏变换是复包络的功率谱密度L。L的傅氏变换是L=L。于是同相、正交分量的功率谱密度是再代入复包络功率谱密度与带通信号功率谱密度的关系：同相、正交分量的功率谱密度是带通功率谱密度正频率部分左移、同相、正交分量的功率谱密度是带通功率谱密度正频率部分左移、负频率部分右移后的叠加负频率部分右移后的叠加同相分量及同相分量及正交分量的功率谱密度正交分量的功率谱密度c=s=14L+14L注意()的正频率部分左移是+c=14L，负频率部分右移是 c=14L。c=14L+14L=+c+c,cf|fcfcf|f|O功率谱密度关系
6、示意图正频率部分左移，负频率部分右移，然后叠加，结果就是同相分量和正交分量的功率谱密度带带通随机信号平稳的条件通随机信号平稳的条件若带通随机过程()的复包络L 是零均值复平稳过程，且L 与其共轭L 不相关，则()平稳。()()()()ccc*LLLj2j2j2eeR2eef tf tf tXtXtX tXt+=()()()cc*LLj2j2EEE=02eef tf tXtXtX t+=()()(),=E+XRttX tX t+证明证明：()可以表示为()的均值为()的自相关函数为()()()()cccj2j2j2*LLL1,=Ree4e42XfffRRRttR+=+()()()()()()()
7、()()()()()()()()()()()cccccccc*LL*LL*LLLL*LLj2j2j2j2j2j2j22j22LLee+22444eeeeee4ftftf tf tffftftXtXtX tX tXtXtXtXtXtXtXtXtXtXt+=+=+其中两边求数学期望，注意EL+L()是L 的自相关函数L()，E L+=0，故与无关，故 是平稳过程.例例：设有 =()cos 2c，c充分大。若()是基带型的零均值平稳随机过程，判断 是否平稳。解解：的复包络是L=()。根据题中条件，复包络是平稳过程。但L=()与其共轭L=()显然不是不相关的关系，即EL()+L=0。因此根据上一页的结
8、论，不是平稳过程。例例：设有 =cos 2c ()sin 2c，其中()是零均值基带型平稳过程，()是 的希尔伯特变换，c充分大。判断()是否平稳。解解：的复包络是L=+j ()，其均值是零。由于 ()与 联合平稳，故L 是零均值复平稳过程。需要进一步考察L 是否与其共轭不相关。()()()()()()()()()()()()()()()()()()*LLE=EjjEjj=jjmmmmmmXtXtm tm tm tm tm tm tm tm tm tm tm tm tRRRR+=+根据零均值平稳过程通过希尔伯特变换器后的性质可知L 与其共轭不相关，因此本例中()的是平稳过程。()()()()(
9、)()()mmmmmmmmmmRRRRRRR=因此()()*LLE=0XtXt+例例：设()是带宽为的零均值基带型平稳过程，()是 的希尔伯特变换，c充分大。令解解：根据前题，是平稳过程，类似也可知()也是平稳过程。但它们的和 +=2 cos(2)不是平稳过程，说明 ,不是联合平稳。()()()()()()()()()()cccccos 2sin 2cos 2sin 2X tm tf tm tf tY tm tf tm tf t=+判断 、()的平稳性。小结小结平稳带通过程的均值为零，其解析信号、复包络、同相分量、正交分量的均值都是零。平稳带通过程的解析信号、复包络是复平稳过程，其同相分量、正交分量联合平稳。平稳带通过程()的解析信号 与其共轭 不相关，复包络L 与其共轭L 不相关。如果带通信号的复包络是零均值复平稳过程，且与其共轭不相关，则该带通信号是平稳过程。小结小结解析信号()的功率谱密度是 正频率部分的4倍。复包络L 的功率谱密度是 正频率部分的4倍向下搬移平稳带通信号()的同相分量c 和正交分量s 有相同的功率谱密度及自相关函数。平稳带通信号的同相分量或正交分量的功率谱密度是带通信号的功率谱密度 的正频率部分左移，负频率部分右移后叠加。平稳带通信号()的同相分量c 和正交分量s 在相同时刻不相关。