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1、第1讲 雷诺输运方程（中）第4章 流体运动基本方程目录4.1.1 系统和控制体4.1.2 雷诺输运方程的推导4.1.3 雷诺输运方程的应用4.1.2 雷诺输运方程的推导 经典力学中的守恒原理和牛顿运动定律等的研究对象为系统，对应的分析方法为拉格朗日方法，以经典的牛顿第二定律为例：针对系统成立syssyssysm=Fa针对控制体不成立cvcvcvm=Fa但在流体力学中，常采用欧拉方法来研究流体的宏观运动。背景 能否通过建立控制体和系统的物理量之间的关系，将应用于系统的守恒原理和运动定律应用到控制体上，从而能采用控制体、控制面和欧拉方法描述流体的宏观运动？桥梁？4.1.2 雷诺输运方程的推导基于系
2、统的拉格朗日方法基于控制体的欧拉方法描述流体宏观运动的方法背景 在流场中取一个控制体，4.1.2 雷诺输运方程的推导控制体控制体Oyzxu假设t时刻控制体内的流体为所研究的系统。（系统）（系统）由此可知在t时刻，系统和控制体是重合的，系统和控制体的体积相等，SV=CV。t时刻系统和控制体重合1.t时刻系统和控制体的状态4.1.2 雷诺输运方程的推导=dSVSVV=dCVCVV表示积分体积内物理量的总量,是时间和所取积分体积的函数dV 设为系统所具有的某物理量(例如质量、动量、能量等)的总量，为单位体积的该物理量。假设系统的体积为SV,则系统内该物理量的总量为：假设控制体的体积为CV,则控制体内
3、该物理量的总量为：1.t时刻系统和控制体的状态 在t时刻，由于系统和控制体重合，两者体积相等，则系统和控制体内该物理量的总量相等。4.1.2 雷诺输运方程的推导()=()SVCVttt时刻系统所具有的某物理量的总量等于控制体所具有的该物理量的总量t时刻系统和控制体重合控制体（系统）控制体（系统）Oyzxu1.t时刻系统和控制体的状态4.1.2 雷诺输运方程的推导时间内系统运动到了新位置 经过一小段时间后，控制体内的流体跑出去一部分，系统和控制体不再重合；t2.时段内流体的运动4.1.2 雷诺输运方程的推导流出控制体的物理量Oyzx系统系统控制体控制体out()CV时间内系统运动到了新位置 跑出
4、去这部分流体所携带的记为(蓝色区域所含)；out()CV2.时段内流体的运动4.1.2 雷诺输运方程的推导流出控制体的物理量Oyzx系统系统控制体控制体out()CV控制体控制体Oyzx系统系统in()CV流入控制体的物理量时间内系统运动到了新位置 同时有新的流体进入了控制体，携带的 记为(绿色区域所含)。in()CV2.时段内流体的运动4.1.2 雷诺输运方程的推导控制体控制体Oyzx系统系统控制体控制体Oyzx系统系统控制体控制体Oyzx=+因此时刻控制体内物理量的总量包括系统运动携带出一部分流体物理量后还剩余的物理量(黄色区域)和从外界新流入控制体的流体物理量(绿色区域)。tt+3.t+
5、时刻系统和控制体的状态4.1.2 雷诺输运方程的推导 因此时刻控制体内物理量的总量为，tt+3.t+时刻系统和控制体的状态控制体控制体Oyzx系统系统()()()()ioutnSVCVVCVCtttt+=+4.1.2 雷诺输运方程的推导控制体控制体Oyzx系统系统控制体控制体Oyzx=()()()()ioutnSVCVVCVCtttt+=+3.t+时刻系统和控制体的状态 因此时刻控制体内物理量的总量为，tt+4.1.2 雷诺输运方程的推导控制体控制体Oyzx系统系统控制体控制体Oyzx系统系统控制体控制体Oyzx=+()()()()ioutnSVCVVCVCtttt+=+3.t+时刻系统和控制
6、体的状态 因此时刻控制体内物理量的总量为，tt+4.1.2 雷诺输运方程的推导()()()()()()()()()()()()()()outinoutinoutinCVCVCVSVCVCVCVSVCVCVSVSVSVCVCVtttttttttttt=+=+=+=+时间内控制体内物理量的变化为：t4.系统和控制体物理量变化率的关系()()()()()()()()()()outinoutinoutin+=SVSVCVCVCVCVCVSVSVCVCVSVtttttttttttttt+=+=单位时间控制体内该物理量的变化率为：4.系统和控制体物理量变化率的关系4.1.2 雷诺输运方程的推导4.1.2
7、雷诺输运方程的推导单位时间控制体内物理量的变化()()outin=CVCVSVCVtttt+单位时间从控制面上流出流体所携带的物理量流出控制体的物理量Oyzx系统系统控制体控制体out()CV单位时间从控制面上流入流体所携带的物理量控制体控制体Oyzx系统系统in()CV流入控制体的物理量 移项整理，单位时间系统内该物理量的变化率为：4.系统和控制体物理量变化率的关系0dlimdSVSVttt=4.1.2 雷诺输运方程的推导ddddddddSVSVSVVVttt=上式可进一步变形为：(1)等号左边项表示单位时间系统内物理量 的变化率，当趋于0时，根据微分的定义可得：t4.系统和控制体物理量变化
8、率的关系0dlimdCVCVttt=4.1.2 雷诺输运方程的推导ddddddCVCVCVVVttt=上式可进一步变形为：dV由于控制体所占体积未变,只是针对时间的变化率,故上式取偏导(2)等号右边第一项表示单位时间控制体内物理量 的变化率，当趋于0时，根据微分的定义可得：t4.系统和控制体物理量变化率的关系4.1.2 雷诺输运方程的推导()()outout0dlimdCVCVttt=下面计算的表达式。()outddCVt(3)等号右边第二项表示单位时间从控制面上流出控制体的物理量，当趋于0时，根据微分的定义可得：tt4.系统和控制体物理量变化率的关系4.1.2 雷诺输运方程的推导()()1o
9、utdddCVAAt=u nnudAA1为有物理量流出控制面的面积A1控制体控制体yzx系统系统Ou该微元面积上的流速为u，则单位时间内流出的流体体积为undA,单位时间内从微元面积ndA上流出的物理量为undA。因此，单位时间内从控制体全部流出面积A1上流出的物理量为：4.系统和控制体物理量变化率的关系假设控制面流出部分的微元面积为dA，外法线方向为n，4.1.2 雷诺输运方程的推导()()inin0dlimdCVCVttt=下面计算的表达式。()inddCVt(4)等号右边第三项表示单位时间从控制面上流入控制体的物理量，当趋于0时，根据微分的定义可得：t4.系统和控制体物理量变化率的关系4
10、.1.2 雷诺输运方程的推导()()2indddCVAAt=u n负号表示流体流入控制体，流动方向与流入面积外法线方向相反。nudA控制体控制体Oyzx系统系统uA2为有物理量流入控制面的面积A2该微元面积上的流速为u，则单位时间内流入的流体体积为undA,单位时间内从微元面积ndA上流入的物理量为undA。因此，单位时间内从控制体全部流入面积A2上流入的物理量为：4.系统和控制体物理量变化率的关系假设控制面流入部分的微元面积为dA，外法线方向为n，方程右边第二项和第三项合并表示单位时间从控制面上净流出控制体的物理量：4.1.2 雷诺输运方程的推导()()()()()()()12outin0o
11、utinlimdddddddCVCVtCVCVAACSttttAAA=+=u nu nu nA1控制体控制体Oyzx系统系统uA2A1+A2=整个控制面4.系统和控制体物理量变化率的关系()()outinddddddddCVCVSVCVtttt=+4.1.2 雷诺输运方程的推导()()o t0in00u=limlimlimCVCVSVCVtttttt +()dddddSVCVCSVVAtt=+u n4.系统和控制体物理量变化率的关系4.1.2 雷诺输运方程的推导()dddddSVCVCSVVAtt=+u n上式即为雷诺输运方程，表示流体系统和控制体物理量之间的关系，与第3章流体质点和空间点运动
12、要素之间的关系非常类似。()ddutt=+4.系统和控制体物理量变化率的关系()dddddSVCVCSVVtt=+u nA奥斯鲍恩 雷诺（Osborne Reynolds，1842年8月23日1912年2月21日），英国物理学家、力学家、工程师4.1.2 雷诺输运方程的推导 雷诺输运定理：单位时间系统内某物理量的变化，等于该时刻与系统重合的控制体中物理量的时间变化率与单位时间通过控制体表面净流出控制体的物理量之和。系统的全导数(随体导数或物质导数)：表示系统内物理量随时间的变化。()dddddSVCVCSVVtt=+u nA4.1.2 雷诺输运方程的推导 雷诺输运定理：单位时间系统内某物理量的
13、变化，等于该时刻与系统重合的控制体中物理量的时间变化率与单位时间通过控制体表面净流出控制体的物理量之和。系统的当地导数：可用控制体内物理量随时间的变化表示，由流场的非定常性导致。()dddddSVCVCSVVtt=+u nA4.1.2 雷诺输运方程的推导 雷诺输运定理：单位时间系统内某物理量的变化，等于该时刻与系统重合的控制体中物理量的时间变化率与单位时间通过控制体表面净流出控制体的物理量之和。系统的迁移导数：可用单位时间内通过控制面从控制体内净流出的物理量来表示，由流场的非均匀性导致。()dddddSVCVCSVVtt=+u nA 雷诺输运定理：单位时间系统内某物理量的变化，等于该时刻与系统重合的控制体中物理量的时间变化率与单位时间通过控制体表面净流出控制体的物理量之和。4.1.2 雷诺输运方程的推导描述流体宏观运动的方法基于系统的拉格朗日法基于控制体的欧拉法4.1.2 雷诺输运方程的推导()dddddSVCVCSVVtt=+u nA可采用基于控制体和控制面的欧拉法表示系统的全导数，建立系统物理量和控制体物理量之间的关系，后续主要采用欧拉法分析流体的宏观运动。雷诺输运方程桥梁本讲小结