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1、广义逆矩阵广义逆矩阵广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切联系。给定一个线性方程组解有密切联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩当矩阵阵A可逆时，线性方程组的解可表示为可逆时，线性方程组的解可表示为x=A-1b当矩阵当矩阵A是不可逆矩阵或不是方阵时，线性方程组的是不可逆矩阵或不是方阵时，线性方程组的解应如何表示呢？当线性方程组是矛盾方程，或者说解应如何表示呢？当线性方程组是矛盾方程，或者说是不相容方程时，线性方程组能否有其它意义下的解，是不相容方程时，线性方程组能否有其它意义下的解，这种解又应当如何表示呢？这种解又应当如何表示呢？广义逆矩
2、阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆方阵可逆时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆矩阵可以给出线性方程组（包括相容的和矛盾方程矩阵可以给出线性方程组（包括相容的和矛盾方程组）各种解的统一形式。组）各种解的统一形式。把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就是所谓的广义逆矩阵。是所谓的广义逆矩阵。定理定理：设设是数域是数域上一个上一个矩阵，则矩阵方程矩阵，则矩阵方程总是有解。如果总是有解。如果，并且，并且其中其中与与分别是分别是阶、阶、阶可逆矩阵，则矩阵方程阶可逆矩阵，则矩
3、阵方程(1)(1)的一般解的一般解(通解通解)为为AKsnAXAA=()rank Ar=000rIAPQ=PQsn(1)(1)11rIBXQPCD=其中其中分别是任意矩阵。分别是任意矩阵。(2)(2),B C D证明：证明：把形如把形如(2)(2)的矩阵代入矩阵方程的矩阵代入矩阵方程(1)(1)，得到：，得到：11000000rrrIIBIPQQP PQCD=左边000000rrrIIBIPQCD=00000000rrrIBIIPQPQ=A=右边所以形如所以形如(2)(2)的每一个矩阵都是矩阵方程的每一个矩阵都是矩阵方程(1)(1)的解。的解。AXAA=(1)(1)11rIBXQPCD=(2)
4、(2)为了说明为了说明(2)(2)是矩阵方程是矩阵方程(1)(1)的通解，现在任取的通解，现在任取一个解一个解，则由，则由(1)(1)可得可得XG=000000000rrrIIIPQGPQPQ=因为因为可逆，所以从上式得可逆，所以从上式得,P Q000000000rrrIIIQGP=(3)(3)000000000rrrIIIPQGPQPQ=把矩阵把矩阵分块，设分块，设代入代入(3)(3)式得式得HBQGPCD=(4)(4)QGP000000000rrrIHBIICD=000000rHI=即，rHI=由此得出，由此得出，代入，代入(4)(4)式便得出式便得出这证明了矩阵方程这证明了矩阵方程(1)
5、(1)得任意一个解都能表示得任意一个解都能表示成成(2)(2)的形式，所以公式的形式，所以公式(2)(2)是矩阵方程的通解。是矩阵方程的通解。11rIBGQPCD=定义：定义：设设是一个是一个矩阵，矩阵方程矩阵，矩阵方程的每一个解均称为的每一个解均称为的一个的一个广广义逆矩阵义逆矩阵，简称为，简称为的的广义逆广义逆。记作。记作。AsnAXAA=AAA结论：结论：（1 1）每个矩阵都有广义逆矩阵；）每个矩阵都有广义逆矩阵；（2 2）不可逆矩阵的广义逆矩阵不唯一；）不可逆矩阵的广义逆矩阵不唯一；（3 3）可逆矩阵的广义逆矩阵就是逆矩阵。）可逆矩阵的广义逆矩阵就是逆矩阵。例例：设设,010101=A
6、容易验证容易验证=100001,010001CB均满足均满足,AACAAABA=故故B B，C C都是都是A A的广义逆的广义逆.矩阵矩阵A A有唯一的有唯一的A A-充分必要条件是充分必要条件是A A为非奇异矩阵，为非奇异矩阵，此时此时A A-=A A-1 1例例求下列矩阵的广义逆矩阵求下列矩阵的广义逆矩阵11211212401203141626A=450ABII=解解构造分块矩阵构造分块矩阵对对 B 的前的前4行作初等行变换、前行作初等行变换、前5列作初等列变列作初等列变换，直到换，直到 A 被化为相抵标准形，则被化为相抵标准形，则B被化为被化为3000PBOQI对对 B 的前的前4行作初
7、等行变换、前行作初等行变换、前5列作初等列变列作初等列变换，直到换，直到 A 被化为相抵标准形，则被化为相抵标准形，则B被化为被化为其中其中17145099914112099921103331110444P=410023201003000100010100001Q=则则A的广义逆矩阵为的广义逆矩阵为其中其中为任意常数。为任意常数。-112131111121311212222131100010001bbbcccdcQccdP11,kkjidcb问题：问题：考虑这一计算原理是什么？考虑这一计算原理是什么？545454,0rrIPPIAABOOAOOOOQIQIIQPIII=定理定理(非齐次线性方程
8、组的相容性定理非齐次线性方程组的相容性定理)：非齐非齐次线性方程组次线性方程组有解的充分必要条件是有解的充分必要条件是AX=AA=证明：证明：必要性必要性设设有解有解，则，则。因为。因为，所以，所以AX=X=A=AAA A=AAA AAA=充分性充分性设设，则取，则取得得所以所以是是的解。的解。AA=A=()AA A=A=AX=定理定理(非齐次线性方程组解的结构定理非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐次设非齐次线性方程组线性方程组有解，则它的一般解有解，则它的一般解(通解）为通解）为其中其中是是的任意一个广义逆。的任意一个广义逆。AX=XA=AA证明：证明：任取任取的一个广义逆的一个广义逆，
9、我们来证，我们来证是方程组是方程组的解：的解：AAAX=XA=已知已知有解，根据前一个定理得：有解，根据前一个定理得：这表明这表明是是的一个解。的一个解。AX=()AAA A=AX=A反之，对于反之，对于的任意一个解的任意一个解，我们要，我们要证存在证存在的一个广义逆的一个广义逆，使得，使得。设设是是矩阵，它的秩为矩阵，它的秩为，且，且AX=AAA=Asnr定理定理(非齐次线性方程组解的结构定理非齐次线性方程组解的结构定理)：设非齐次设非齐次线性方程组线性方程组有解，则它的一般解有解，则它的一般解(通解）为通解）为其中其中是是的任意一个广义逆。的任意一个广义逆。AX=XA=AA其中其中与与分别
10、是分别是阶、阶、阶可逆矩阵。阶可逆矩阵。PQsn11rIBQPCD=由于由于的广义逆具有形式的广义逆具有形式(2)(2)，因此只要找到矩，因此只要找到矩阵阵使得下式成立即可。使得下式成立即可。A,B C D1rICQPBD=即，(5)(5)先分析先分析与与之间的关系。由已知之间的关系。由已知因此我们有因此我们有1000rIQP=A=Q 1P 11000=，rrIIBAPQAQPCD先求出Q12YQrYnr=行行分别把分别把，分块，设分块，设Q 1P 121ZrZsPr=行行则则(5)(5)式成为式成为1122000rYZIYZ=12写出，即求出YYQ1212,，Z均为列向量YY Z12，为已知
11、向量ZZ所以所以，因为，因为，所以，所以从而从而。设。设，且设，且设。112,0YZ Z=10P010Z 11,TrZkk=0ik 120,0,0,0,0,0iBDCk Y=则则(5)(5)式成为式成为1122000rYZIYZ=12求出，还需写出YY1111122,=行行，行行rYZIBrrQPAQPYZCDnrsr1,=我在中的们找rIBQPB C DCD11111200000=rrZYIIZPQCZYCC1100rIQPC=于是，120,0,0,0,0,0iBDCk Y=则则12=。CZY从而只要取从而只要取1100rIAQPC=A=则，11111200000=rrZYIIZPQCZYC
12、C1100rIQPC=于是，定理定理(齐次线性方程组解的结构定理齐次线性方程组解的结构定理)：数域数域上上元齐次线性方程组元齐次线性方程组的通解为的通解为其中其中是是的任意给定的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆，取遍取遍中任意列向量。中任意列向量。Kn0AX=()n nXIA A Z=AAZnKnZK()()00n nA IA A ZAAA A ZZ=()n nXIA A Z=0AX=证明：任取证明：任取，我们有，我们有所以所以是方程组是方程组的解的解定理定理(齐次线性方程组解的结构定理齐次线性方程组解的结构定理)：数域数域上上元齐次线性方程组元齐次线性方程组的通解为的通解为其中其中是是的任
13、意给定的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆，取遍取遍中任意列向量。中任意列向量。Kn0AX=()n nXIA A Z=1AAZnK反之，设反之，设是方程组是方程组的解，要证存在的解，要证存在，使得，使得。取。取我们有我们有0AX=nZK()n nIA A Z=Z=()()0n nIA AA AAA=定理定理(齐次线性方程组解的结构定理齐次线性方程组解的结构定理)：数域数域上上元齐次线性方程组元齐次线性方程组的通解为的通解为其中其中是是的任意给定的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆，取遍取遍中任意列向量。中任意列向量。Kn0AX=()n nXIA A Z=1AAZnK所以所以是方程组是方程组的通
14、解。的通解。()n nXIA A Z=0AX=利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的利用上述定理，可以得到非齐次线性方程组的另一种形式的通解。另一种形式的通解。推论推论：设数域：设数域是是元非齐次线性方程组元非齐次线性方程组有解，则它的通解为有解，则它的通解为其中其中是是的任意给定的一个广义逆，的任意给定的一个广义逆，取取遍遍中任意列向量。中任意列向量。KnAX=()n nXAIA A Z=+AAZnK证明：我们已经知道证明：我们已经知道是非齐次线性方程是非齐次线性方程组组的一个解，又知道的一个解，又知道是导出组是导出组的通解，所以的通解，所以是是的通的通解。解。AAX=()n nIA A
15、Z0AX=()n nXAIA A Z=+AX=例、求解例、求解=+=+221232321xxxxx将方程组改写为矩阵形式将方程组改写为矩阵形式,bAx=其中其中=210121A=21b由于由于(),2=bArankrankA所以该方程组是相容的。所以该方程组是相容的。首先求得首先求得A A的一个广义的一个广义逆。求得一个广义逆为求得一个广义逆为()1541621438HHAAAA=从而从而原方程组的通解为原方程组的通解为()12312312313963110642141932yyyXA bIA A Yyyyyyy+=+=+其中其中为任意向量。为任意向量。()Tyyyy321,=例、求解例、求解
16、=+=+221232321xxxxxMoore-Penrose 广义逆广义逆（伪逆矩阵伪逆矩阵）定义：定义：设设，若，若，且同时有，且同时有则称则称是是的的Moore-Penrose 广义逆广义逆，也称，也称是矩阵是矩阵的的伪逆矩阵伪逆矩阵。m nAn mA+,(),()HHAA AAA AAAAAAAA AA A+=A+AAA+例例：容易由定义直接验算：容易由定义直接验算：若若,0011=A则则=+021021A设设，那么，那么设设，其中，其中是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则如果如果是一个可逆矩阵，那么是一个可逆矩阵，那么11A=1212A+=BOAOO=B1BOAOO+=A1AA+=,(),(
17、)+=HHAA AAA AAAAAAAA AA A伪逆矩阵的一种求法伪逆矩阵的一种求法事实事实：设：设是是的一的一个满秩分解，则个满秩分解，则是是的伪逆矩阵。的伪逆矩阵。,m nm rr nAABC=11()()HHHHXCCCB BB=AA例例：设：设求求。101202A=A+11012ABC=从而从而的伪逆矩阵是的伪逆矩阵是A解解：利用满秩分解公式可得：利用满秩分解公式可得11()()+=HHHHACCCB BB111110(1010)(12)12211=11()()HHHHXCCCB BB=1111()()1110(1010)(12)1221111211012001010112+=HHH
18、HACCCB BB例例：设：设求求。101202A=A+11,()()=，m nHHHHm rr nAABCXCCCB BB例：例：设设求求。解解：由满秩分解公式可得：由满秩分解公式可得于是其伪逆矩阵为于是其伪逆矩阵为1122A=A+11 12ABC=1111()()111(1 1)(12)12112111111110512122111010105+=HHHHACCCB BB11 12ABC=11,()()=，m nHHHHm rr nAABCXCCCB BB推论推论：若：若A为列满秩，则为列满秩，则若若A为行满秩，则为行满秩，则1()HHAA AA+=1()HHAAAA+=11,()()=，
19、m nHHHHm rr nAABCXCCCB BB定理定理：伪逆矩阵：伪逆矩阵唯一。唯一。A+根据此定理知，若根据此定理知，若，则，则。n nnAC1AA+=例：例：求广义逆求广义逆=011001A1)(+=HHAAAAA是行满秩的，故由于解1101011011001001011=00110121110010111例：设例：设求求,321=A+A由由A为列向量，即为列满秩，则为列向量，即为列满秩，则HHAAAA1)(+=从而从而()321141=+A若若A既不是行满秩也不是列满秩，则需首先既不是行满秩也不是列满秩，则需首先对对A进行满秩分解，再求进行满秩分解，再求+A例：已知例：已知,1221
20、21211142=A求求+A矩阵矩阵A中分别有两行、两列对应成比例，因此中分别有两行、两列对应成比例，因此A既不是行满秩也不是列满秩既不是行满秩也不是列满秩设设A的满秩分解为的满秩分解为，则，则BCA=,211112=B=11001021C于是于是HHHHBBBCCCA11)()(+=111112633621161110020111=561651224112331举例说明广义逆不具有通常意义下逆矩阵的下列性质举例说明广义逆不具有通常意义下逆矩阵的下列性质（4 4）A A与与A A+的非零特征值并不互为倒数的非零特征值并不互为倒数。()+ABAB（1 1）()()kkAA+（2 2）AAAA+（
21、3 3）例例=0001A=1011BAA=+=+10111BB=+0001AB()=+0101210011AB()+ABAB由由()0101=A可得可得又又B B为满秩矩阵，为满秩矩阵，则则例例=0101A=+001121A()()kkAA+AAAA+可验证可验证由由()0111=A可得可得不相容线性方程组不相容线性方程组的解的解定义定义：设：设，如果，如果维向量维向量对于任何一个对于任何一个维向量维向量，都有，都有AXb=m nACmbCnnx220AxbAxb则称则称是方程组是方程组的一个的一个最小二乘解最小二乘解。若若是最小二乘解，如果对于任一个最小二乘是最小二乘解，如果对于任一个最小二
22、乘解解都有不等式都有不等式则称则称是是最佳最小二乘解最佳最小二乘解。0 x0 xAxb=u0uxu定理定理：设：设，则，则是方程组是方程组的最佳最小二乘解。的最佳最小二乘解。,m nmACbCxA b+=Axb=例、求例、求的最佳逼近解。的最佳逼近解。=202101A=01bbAx=解解:首先求首先求A的广义逆，对的广义逆，对A进行满秩分解进行满秩分解,BCA=其中其中()101,21=CB则由则由()=HHBBBB1()2151例、求例、求的最佳逼近解。的最佳逼近解。=202101A=01bbAx=其中其中()101,21=CB则由则由()=HHBBBB1()2151()=+1HHCCCC10121=+210021101BCA则则A的伪逆为：的伪逆为：()TbAx1,0,1101=+则最佳逼近解为则最佳逼近解为