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1、第3章几何元素间的相对位置3.1 平行问题3.2 相交问题3.3 垂直问题3.4 综合问题解题方法本章内容本章内容知识点3.1 平行问题知识点3.1 平行问题3.1.1 直线与平面平行几何学原理：若平面外的直线平行于平面上的任一直线，则该直线与该平面平行。推论：若直线的投影与投影面垂直面具有积聚性的投影相互平行，则该直线与该平面平行。知识点3.1 平行问题3.1.1 直线与平面平行 例题分析例例1 1：过点过点K K作一直线平行于平面（作一直线平行于平面（AB AB CD)CD)。过点过点K K作一水平线平行作一水平线平行于平面于平面（AB CD)AB CD)。e ee e 解题步骤：解题步骤
2、：作 KEAB,则KE(AB CD)。i i i iX X O O a ab bc cd dk kk ka ab bc cd df ff f 解题步骤：解题步骤：先作面上任一水平线 IB再作 KFIB,则水平线 KF(AB CD)。知识点3.1 平行问题3.1.1 直线与平面平行 例题分析例例2 2：判断判断图中的直线是否与平面平行。图中的直线是否与平面平行。(a)(b)(c)(d)(a)(b)(c)(d)知识点3.1 平行问题3.1.2 平面与平面平行几何学原理：若两个平面上的两条相交直线相互平行，则这两个平面互相平行。推论：若两投影面垂直面具有积聚性的投影相互平行，则这两个平面互相平行。知
3、识点3.1 平行问题3.1.2 平面与平面平行 例题分析例例3 3：过过M M点作点作平面平行平面平行于于ABCABCa ab bc ca ac cb bm mn nf fm mf fn n知识点3.1 平行问题 直线与直线平行：同名投影相互平行 直线与平面平行：直线与平面上任一直线平行 平面与平面平行：两平面上的两相交直线对应平行知识点3.2 相交问题知识点3.2 相交问题3.2.1 平面与平面相交平面交线求解的两种方法：1.利用积聚性（至少有一个平面为特殊位置时）2.利用辅助平面法（两个平面都是一般位置平面）问题分析：两个平面的交线是两平面的公有线，只要设法求出两平面的两个公有点或一个公有
4、点和交线的方向，就可以确定出交线（即相交核心问题是求公有点）。知识点3.2 相交问题3.2.1 平面与平面相交1利用积聚性：至少有一个平面为特殊位置时X X O O k k l lk kl la ab bc ca ab bc c X XO Oa ac cb ba ac cb b 例例4 4:例例5:5:知识点3.2 相交问题3.2.1 平面与平面相交2利用辅助平面法：两个平面都是一般位置平面辅助平面法的原理注意：应选择投影面平行面或垂直面作为辅助面,以便利用积聚性求解交线。R RS SK KL LB BA AD DC CQ QP P知识点3.2 相交问题3.2.1 平面与平面相交 例题分析X
5、X O O P PV V1 1 2 21 12 2k kk k3 34 43 34 4l ll l5 57 76 6Q QV Vd de ef fd de ef fg gg g7 7a ac cb ba ac cb b例例6 6：应用辅助平面法求两平面的交线应用辅助平面法求两平面的交线知识点3.2 相交问题3.2.2 直线与平面相交直线与平面相交求解的两种情况：1.利用积聚性（直线或平面处在特殊位置）2.利用辅助平面法（直线和平面都处于一般位置）问题分析：直线与平面不平行时，必然相交于一点，该交点是直线与平面的公有点。知识点3.2 相交问题3.2.2 直线与平面相交1利用积聚性：直线或平面处在
6、特殊位置例题分析例例7 7:a ac cb ba ab b c c X X O O DEV:DEV:dedek k 判断判断可见性可见性(利用重影点利用重影点)d d e ed d e ek k k k 1 12 21 12 32 3 3 3()()面上找点面上找点知识点3.2 相交问题3.2.2 直线与平面相交1利用积聚性：直线或平面处在特殊位置例题分析例例8:8:X X O O d de ed de ea ac cb ba ab bc ck k k k1 21 21 12 2()()H:H:ac和de的交点k即为所求交点的水平投影 线上找点 判断可见性知识点3.2 相交问题3.2.2 直线
7、与平面相交2利用辅助平面法：直线和平面都处在一般位置P PE EF FM MN NK KA AB BC C原理分析原理分析：交点K为ABC与直线EF的公有点 包含EF作辅助平面PH ABC与平面P相交于直线 MN MN与EF共面于P,交于K K既在EF上，又在ABC上，交点K即为ABC与直线EF的交点。K K作图步骤作图步骤：包含已知直线作辅助平面（特殊位置平面）求辅助平面与已知平面的交线 求出此交线与已知直线的交点知识点3.2 相交问题3.2.2 直线与平面相交2利用辅助平面法：直线和平面都处在一般位置例题分析a ac cb ba ab b c c X X O O e ef ff fe eP
8、 PH Hm mn nm mn nk kk k1 11 12 23 33 32 2()()例例9 9:含已知线EF作辅助面P（垂直面）求P与已知面的交线MN求MN与EF的交点K利用重影点判断可见性知识点3.2 相交问题3.2.2 直线与平面相交2利用辅助平面法：直线和平面都处在一般位置例题分析例例1010：求：求ABCABC与与DEFDEF的交线。的交线。基本基本思想思想：线面求线面求交（找公共点）。交（找公共点）。X XO Oa ac cb ba ac cb bd de ef fd d e e f f P PV V1 1 2 2 1 12 2k kk k Q QH H3 34 43 3 4
9、4 l l l l5 5 5 5()()6 66 6()()步骤：步骤：利用辅助面法求利用辅助面法求ABAB与与DEFDEF的交点的交点K K利用辅助面法求利用辅助面法求EFEF与与ABCABC的交点的交点L L连接连接KLKL，即，即ABCABC与与DEFDEF的交线的交线利用重影点判断可见性利用重影点判断可见性知识点3.2 相交问题 相交问题的核心：求公有点 基本方法：辅助平面法（一般辅助平面为特殊位置平面）交线：在两平面的共有区域内 掌握利用重影点判断可见性的方法知识点3.3 垂直问题知识点3.3 垂直问题3.3.1 任意角的投影一般情况下：角的投影角的实际大小。角的两边均平行于投影面：
10、角的投影角的实际大小。1 1A AC CB Ba ac c b b 2 2 2 2A AC CB Ba ac cb b 1 1 C Cc c知识点3.3 垂直问题3.3.2直角的投影特性 若直角中有一条边平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。若直角的投影仍是直角，则被投影的角至少有一边平行于投影面。HA AC Ca a已知 ABBC，BCH，AB 倾斜于 H c c BCAB,BCH BCBbBCQ(AB Bb)Q.又 bcBC bcQ bcabb b B B证明证明:知识点3.3 垂直问题3.3.2直角的投影特性例题分析例例1111：判断两直线是否垂直：判断两直线是否垂直。.()
11、()().知识点3.3 垂直问题3.3.2直角的投影特性例题分析c cd dc c d d b b.b b a aa a思路分析思路分析：CDV：ab与cd垂直相交。作图作图步骤步骤：过a 做abcd，交cd 于b 求点B的水平投影b 连ab，则AB为所求例例1212：已知直线已知直线CDCD及点及点A A，求作直线求作直线ABAB与与CDCD垂直相交垂直相交。知识点3.3 垂直问题3.3.3典型的垂直问题1.直线与平面垂直几何学原理：如果直线垂直于平面上两条相交直线，则该直线与该平面垂直。推论：若直线垂直于平面，则：（1）该直线的水平投影与该平面上水平线的水平投影垂直（2）该直线的正面投影与
12、该平面上正平线的正面投影垂直（3）该直线的侧面投影与该平面上侧平线的侧面投影垂直知识点3.3 垂直问题3.3.3典型的垂直问题直线与平面垂直 例题分析例例1313：已知已知ABCABC确定的平面及确定的平面及平面外点平面外点K K，求，求点到平面的点到平面的距离距离。a ac cb ba ab bc ck k.d dk k.d dP PV Vl ll lL L 做KDABC 求KD与ABC的交点L 求KL实长 判断可见性kl klZ ZKLKL1 11 12 22 23 33 34 44 4.作图作图步骤步骤：知识点3.3 垂直问题3.3.3典型的垂直问题2.直线与直线垂直例例1414：已知直
13、线，过线上：已知直线，过线上点做点做直线直线直线直线。.例题分析知识点3.3 垂直问题3.3.3典型的垂直问题2.直线与直线垂直 例题分析例例1515：已知直线，过线：已知直线，过线外点外点A A作直线作直线ABAB与与已知直线垂直相交。已知直线垂直相交。a a a aP PV Vb bb b 1 1 1 12 22 2 3 3 4 4 3 34 4过A点作平面垂直于已知直线求已知直线与平面的交点AB即为所求作图作图步骤步骤：知识点3.3 垂直问题3.3.3典型的垂直问题3.平面与平面垂直几何学原理几何学原理：若一个平面通过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直。作与已知平面P垂直的平面Q的两
14、种方法：1.使平面Q经过垂直于平面P的直线；2.使平面Q垂直于平面P上的直线；知识点3.3 垂直问题3.3.3典型的垂直问题平面与平面垂直aa 能作几个？如何作？例例1616：已知：已知ABCABC，过顶点，过顶点A A作平面垂直于作平面垂直于ABCABC确定的平面。确定的平面。例题分析思考：思考：bccb 垂直问题的基础：直角的投影特性 3类典型垂直问题的几何学原理 3类典型垂直问题的作图方法知识点3.3 垂直问题知识点3.4 相对位置综合问题知识点3.4 相对位置综合问题工程应用点、线、面投影的基本知识及几何元素间的平行、相交和垂直关系具有很强的工程应用背景，可以用来解决工程实际中所遇到的
15、距离、角度、实形、轨迹等综合性问题。（1）空间分析：把复杂问题抽取成几何表达，通过分析其投影特性寻求解决方案；（2）轨迹法：把复杂的问题分解为若干个简单问题，逐个求解得到每一个简单问题解答的集合（轨迹），最后综合求交集得出结果。解题思路知识点3.4 相对位置综合问题例题分析例例1717：求两：求两平行线平行线ABAB和和CDCD间间的距离的距离。a a b b c cd da ab b c c d d 1 1 2 2P PV V3 34 4 3 34 4e ee eZ Z c c2 21 1L L步骤：步骤：过C作平面C CD 求AB与平面C的交点E则CE为距离的投影 求CE的实长.e e知识
16、点3.4 相对位置综合问题例题分析例例1818：作直线作直线 KLKLABCABC，并与，并与直线直线EFEF相交。相交。f fk kk ka ab bc ca ab bc ce ef fe eS SH Hl ll lm mm mn nn n知识点3.4 相对位置综合问题例题分析例例1919：作与平面作与平面ABCABC距离为距离为 L L 的的点的轨迹。点的轨迹。a abc ca ab bc c.LKB KB a a1 1 1 11 12 22 2kka1 1L Lb1 1c c1 1b1 1c1 1此题此题2 2解解作图思路：作图思路：作平面垂线作平面垂线求垂线实求垂线实长长取距离为取距离为L L点点作点平行作点平行面面kb知识点3.4 平面上的最大斜度线几何定义：平面上的最大斜度线是平面上与投影面夹角最大的直线。HABKklLP 1ab特点：最大斜度线与该面上的投影面平行线垂直；最大斜度线与其投影的夹角即该面与该投影面的夹角。知识点3.4 相对位置综合问题 点、线、面投影的基本知识及相互关系，是解决复杂的问题的基础 坚持从空间分析入手，把复杂的问题分解为若干个简单问题，最后加以综合谢谢大家！