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1、第2章 投影基础 2.1 点的投影 2.2 直线的投影 2.3 平面的投影 本章内容本章内容 知识点2.1 点的投影 知识点2.1 点的投影 b b 点在一个投影面上的投影 A A a a S S 点的投影 位置唯一确定 点的空间位置不能唯一确定 S S B B1 1 b b1 1,b b2 2,b b3 3 B B2 2 B B3 3 如何根据点的投影确定点的空间位置？知识点2.1 点的投影 引入两投影面体系 VH 将空间分为四个分角 O O X X 第二分角 第三分角 第四分角 第一分角 按照国家标准的规定，机械制图按正投影绘制，采用第一分角画法。知识点2.1 点的投影 2.1.1 点在两
2、投影面体系中的投影 V V O O A A a a a a a ax x H H V V O O X X a a a a a ax x O O X X a a a a a ax x X X 111 根据点的两个投影，可以确定其空间位置。知识点2.1 点的投影 V V X X Z Z Y Y O O A A a a”a a a a a ax x a aY Y a az z 正面 侧面 水平面 投影面 正面投影面，简称正面或V面。水平投影面，简称水平面或H面。侧面投影面，简称侧面或W面。投影轴 OX轴V面与H面的交线 OY轴H面与W面的交线 OZ轴V面与W面的交线 点在三投影面上的投影 A 空间点
3、，A（x,y,z）a 点A的正面投影 a 点A的水平投影 a”点A的侧面投影 2.1.2 三投影面体系 知识点2.1 点的投影 V面不动 H面绕OX轴向下转90度 V,H,W 共面 W面绕OZ轴向外转90度 2.1.3 三投影面的展开 ax ay az ay YW X Z YH aaaO ax ay az ay YW X Z YH aaaO V W H 知识点2.1 点的投影 A A（x,yx,y,z z）2.1.4 点的投影规律 y z x ax ay az ay y YW X Z YH aaaO aax=a”az=y A到V面的距离 aax=a”ay=z A到H面的距离 aay=aaz=x
4、 A到W面的距离 aa OX轴 aa”OZ轴 知识点2.1 点的投影 2.1.5 典型问题 根据点的两个投影求第三投影【例例1 1】已知点A的两投影 a、a，求作 a。O O X X Y YH H Y YW W Z Z a a a a 45 a a 擦去多余部分（1 1）a aa a OZOZ 分析：分析：（2 2）a aa az z =aaaax x 根据点的投影规律根据点的投影规律 作图：作图：（1 1）过）过a a作直线作直线 OZOZ （2 2）取取a aa az z =aaaax x 讨论：讨论：为保证为保证 a aa az z =aaaax x，可采用以下作图方法：，可采用以下作图
5、方法：（1 1）直接量取）直接量取 a aa az z =aaaax x （2 2）借助于）借助于 Y YH HOYOYW W 的角平分线的角平分线 az ax 知识点2.1 点的投影 2.1.5 典型问题 判断两点的相对位置【例例2 2】已知两点的投影，判断它们在空间的相对位置关系 O O X X Y YH H Y YW W Z Z a a a a b b b b a a b b 由由V V面投影判断点的上下、左右关系面投影判断点的上下、左右关系 由由H H面投影判断点的前后、左右关系面投影判断点的前后、左右关系 由由W W面投影判断点的前后、上下关系面投影判断点的前后、上下关系 a a在在
6、 b b左方、上方左方、上方 点点A A在点在点B B的左方、上方的左方、上方 a a 在在 b b左方、前方左方、前方 点点A A在点在点B B的左方、前方的左方、前方 a a在在 b b前方、上方前方、上方 点点A A在点在点B B的前方、上方的前方、上方 知识点2.1 点的投影 2.1.5 典型问题 分析重影点及其投影的可见性 空间两点处于对某投影面的同一条投射线上时，它们在该投影面内的投影重合；这两点称为对该投影面的重影点。Y Y V V X X Z Z O O C C D D c c d d c(d)c(d)点点A A、B B是对是对V V面的重影点面的重影点 点点C C、D D是对
7、是对H H面的重影点面的重影点 点点E E、F F是对是对W W面的重影点面的重影点 A A B B a a b b a a b b ()E E F F e e f f e e f f ()()Y YW W O O X X Y YH H Z Z a a a a b b b b a a b b ()Y YW W O O X X Y YH H Z Z c c c c (d d )d d d d c c Y YW W O O X X Y YH H Z Z e e f f e e f f e e f f ()知识点2.1 点的投影 点的三面投影及投影规律 根据点的两个投影求第三投影 根据点投影判断两点
8、间的相对位置 重影点及其投影的可见性 知识点2.2 直线的投影 知识点2.2 直线的投影 2.2.1.直线的投影特性 直线对一个投影面的投影特性 实形性 类似性 积聚性 直线垂直于投影面-投影积聚成一点 直线平行于投影面-投影反映实长 直线倾斜于投影面-投影仍为直线，但小于实长。A A B B a a b b A A B B A A B B a a b b a a b b 垂直垂直 平行平行 倾斜倾斜 知识点2.2 直线的投影 直线在三投影体系中的投影特性 投影面平行线 投影面倾斜线 一般位置直线，与三个投影面都倾斜（1）直线的种类 正平线：平行 V 面 水平线：平行 H 面 侧平线：平行 W
9、 面 正垂线：垂直 V 面 铅垂线：垂直 H 面 侧垂线：垂直 W 面 投影面垂直线 知识点2.2 直线的投影 直线在三投影体系中的投影特性（2）投影面平行线 思考：已知AB为水平线,求AB的投影。a a b X Yw YH Z 直线在三投影体系中的投影特性 投影特性投影特性：一个投影反映实长及与投影面的夹角 另两个投影平行于投影轴 X Z YH Yw a b a b a”b”与与V V面夹角面夹角 与与W W面夹角面夹角 水平线的投影 知识点2.2 直线的投影 知识点2.2 直线的投影 直线在三投影体系中的投影特性（3）投影面垂直线 投影特性投影特性：一个投影有积聚性 另两个投影反映实长并垂
10、直投影轴 ab a b a”b”X Z YH Yw 直线在三投影体系中的投影特性（4）一般位置直线 投影特性投影特性：三个投影对投影轴既不平行也不垂直 三个投影都不反映实长及与投影面的夹角 X X Y Yw w Z Z Y YH H a a a a b b b b a a”b b”知识点2.2 直线的投影 典型典型问题：问题：求直线的实长及其对投影面的夹角（自学P8990）X X Y Yw w Z Z Y YH H a a a a b b b b a a”b b”知识点2.2 直线的投影 知识点2.2 直线的投影 2.2.2 直线与点的相对位置 相对位置的两种情况 点在直线上 点在直线外 判别
11、方法之一 若点在直线上，则点的投影必在直线的同名投影上，否则点在直线外。V V X X O O C C D D B B A A a a b b a a c c d d b b c c d d c c d d X X O O b b a a a a b b c c d d 点C在直线AB上 点D不在直线AB上 知识点2.2 直线的投影 判别方法之二 若点在直线上，则点的投影将直线的同名投影分割成与空间相同的比例。ACAC acac a ac c CB CB cbcb c cb b=定比定理 a a b b a a b b k k 【例例1 1】已知已知 K K 在直线在直线 AB AB 上，求上
12、，求 K K 点的水点的水平投影平投影 k k。a a b b a a b b k k k k 知识点2.2 直线的投影【例例2 2】已知直线已知直线ABAB和点和点K K的投影，判断点的投影，判断点K K是否在直线是否在直线ABAB上。上。b b a a a a b b k k k k Y YH H Z Z Y YW W X X O O a a b b b b a a a a b b k k k k k k b b a a a a b b k k k k n n m m n n m m k k1 1 方法一：方法一：求侧面投影求侧面投影k k，由，由k k是否在是否在a ab b上进行判断。
13、上进行判断。k k1 1与与k k不重合，则不重合，则K K不是不是ABAB上的点。上的点。方法二：方法二：由定比定理判断。由定比定理判断。k k不在不在a ab b上，则上，则K K不是不是ABAB上的点。上的点。知识点2.2 直线的投影 2.2.3 两直线的相对位置 两直线平行 A A B B C C D D a a b b c c d d d d c c a a b b 投影特性 若两直线平行，则其同名 投影必平行，反之亦然。知识点2.2 直线的投影 两直线相交 两直线相交的投影规律：同名投影必相交 交点符合点的投影规律 a b c d a b c d k k B C K a b k c
14、 d a b c d k D A 两直线交叉 投影特征：同名投影可能相交，但“交点”不符合点的投影规律。“交点”代表两直线上的一对重影点。利用重影点可以帮助想象两直线在空间的相对位置。1 2 1(2)4 3 4(3)a b c d a b c d 知识点2.2 直线的投影 知识点2.2 直线的投影 直线的投影特性，两种特殊位置直线和一般位置直线，实长问题。直线上的点（判断点是否在直线上）。两直线平行、相交、交叉。知识点2.3 平面的投影 2.3.1 平面的表示方法 用几何元素表示 三点三点 直线和点直线和点 两平行线两平行线 两相交线两相交线 平面图形平面图形 a a a a b b c c
15、b b c c a a c c a a b b b b c c a a b b b b c c c c d d d d a a a a a a b b b b c c c c a a b b b b c c c c a a 知识点2.3 平面的投影 知识点2.3 平面的投影 2.3.2 平面的投影特性 平面对一个投影面的投影特性 平行平行 垂直垂直 倾斜倾斜 投影特性 平面平行投影面投影反映实形，实形性 平面垂直投影面投影积聚成直线，积聚性 平面倾斜投影面投影有类似性 A A B B C C a a b b c c A A B B C C a a b b c c A A B B C C a a
16、 c c b b 知识点2.3 平面的投影 平面在三投影面体系中的投影 平面的分类：平面的分类：投影面平行面 投影面垂直面 投影面倾斜面 一般位置平面 正平面 水平面 侧平面 特殊位置平面 正垂面 铅垂面 侧垂面(1)投影面平行面 空间分析 平行一个投影面，与另外两个投影面垂直。投影反映实形 投影有积聚性 投影特征：在所平行的投影面上的投影反映实形，另外两个投影积聚成直线，且与相应的投影轴平行。知识点2.3 平面的投影 a a b b c c b b a a”b b”c c”(2）投影面垂直面 空间分析 只垂直一个投影面，对另外两个投影面倾斜。投影有积聚性 投影有类似性 投影特征：在所垂直的投
17、影面上的投影具有积聚性，另外两个投影具有类似性。a a b b c c a a c c b b a a”b b”c c”知识点2.3 平面的投影 知识点2.3 平面的投影（3）一般位置平面 空间分析 对三个投影面都倾斜，三个投影都不反映实形，也没有积聚性。投影特性：三个投影有类似性 a a b b c c a a b b c c b b”c c”a a”a a b b c c a a b b c c 2.3.3 平面上的直线和点 在平面上取直线 定定 理理 1 1 若一直线过平面上的两 点，则直线在平面内。定 理 2 若一直线过平面上的一点 且平行于平面内的一条直 线，则该直线在平面内。已知平
18、面的投影，如何确定平面上某条直线的投影？例：已知平面由例：已知平面由AB,CDAB,CD所所确定，试确定，试在平面上任作一直线。在平面上任作一直线。a a b b c c a a b b c c d d d d 知识点2.3 平面的投影 知识点2.3 平面的投影 平面上取点 面上取点的方法面上取点的方法 先在平面内作一直线，然后在此直线上取点。即面上取点先取线，线上再确定点。例：已知例：已知K K点在平面点在平面ABCABC上，求上，求K K点的水平投影。点的水平投影。a a b b c c k k a a b b c c k k a a b b c c k k a a b b c c k k
19、 X X Z Z Y YH H Y YW W O O P PV V P PZ Z P PX X P PH H P PY YH H P PYWYW P PW W P PV V与与P PH H交交OXOX轴于点轴于点P PX X(P(P、H H、V V三面共三面共点）点）W W V V H H P P P PV V P PH H P PW W P PX X P PY Y P PZ Z X X Z Z Y YH H Y YW W O O 知识点2.3 平面的投影 用迹线表示平面(自学)迹线：平面与投影面的交线。规定：正面、水平、侧面迹线分别用P PV V、P PH H、P PW W表示。一般位置平面
20、的迹线表示 X X Z Z Y YH H Y YW W O O P PV V P PZ Z P PX X P PH H P PY YH H P PYWYW P PW W P PV V与与P PH H交交OXOX轴于点轴于点P PX X(P(P、H H、V V三面共三面共点）点）W W V V H H P P P PV V P PH H P PW W P PX X P PY Y P PZ Z W W V V H H Q QV V Q QH H Q QW W Q Q Q QX X Q QY Y Q QV V Q QY YH H Q QYWYW X X Z Z Y YH H Y YW W O O Q
21、 QX X Q QH H Q QW W 知识点2.3 平面的投影 用迹线表示平面(自学)迹线：平面与投影面的交线。规定：正面、水平、侧面迹线分别用P PV V、P PH H、P PW W表示。铅垂面的迹线表示 X X Z Z Y YH H Y YW W O O P PV V P PZ Z P PX X P PH H P PY YH H P PYWYW P PW W P PV V与与P PH H交交OXOX轴于点轴于点P PX X(P(P、H H、V V三面共三面共点）点）W W V V H H P P P PV V P PH H P PW W P PX X P PY Y P PZ Z W W
22、V V H H Q QV V Q QH H Q QW W Q Q Q QX X Q QY Y Q QV V Q QY YH H Q QYWYW X X Z Z Y YH H Y YW W O O Q QX X Q QH H Q QW W X X Z Z Y YH H Y YW W O O V V P P P PH H P PW W P PY Y P PH H P PY YH H P PY YW W P PW W 知识点2.3 平面的投影 用迹线表示平面(自学)迹线：平面与投影面的交线。规定：正面、水平、侧面迹线分别用P PV V、P PH H、P PW W表示。正平面的迹线表示 知识点2.3 平面的投影 投影面平行面、垂直面和一般位置平面的投影特性 在平面上作一条直线的方法 在平面上作一个点的方法 谢谢大家！