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1、数字信号处理 参考书籍 高新波,阔永红,田春娜.数字信号处理.高等教育出版社,2014 史林,赵树杰.数字信号处理.科学出版社.2007 Alan V.Oppenheim,Ronald W.Schafer.Discrete-Time Signal Processing.电子工业出版社,2011 高西全,丁玉美.数字信号处理及其习题解答.西电出版社,2008 Vinay K.Ingle,John G.Proakis.Digital Signal Processing Using MATLAB.Northeastern University,1996 第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 离散
2、时间信号的序列描述 常见的离散时间序列及其描述 序列的基本运算 离散时间系统的时域分析 离散时间系统 线性系统 线性时不变系统 线性卷积 离散时间系统的差分方程描述及求解 引 言 三种主要的信号 模拟信号（analog signal）离散时间（discrete time,DT）信号 数字信号（digital signal）根据输入输出是哪种信号系统可分为 模拟系统 离散时间系统 数字系统 2.1 离散时间信号的序列描述 离散时间信号可视为连续时间信号的采样 若模拟信号为 ，对它进行以周期为 的等间隔采样，则得到的离散时间信号为 其中 称为离散时间信号(数值序列)，取整数 需要强调的是：只能取整
3、数值 axtT|,atnTaxtxnTx nn x nnn2.1 离散时间信号的序列描述 2.1 离散时间信号的序列描述 离散时间信号 有三种表示方法：用集合符合表示 用公式表示 用图形表示 下面是一个用集合符合表示离散时间信号的例子 下划线表示零时刻的采样值 x n 7,1,2,0,3,2,5x n 2.1.1 常用的典型序列 单位采样序列 单位采样序列又称为单位脉冲序列，其特点是在 时取值 为1，其它 时刻取值均为零 1000nnn nn1-1-21200n n2.1.1 常用的典型序列 它类似于模拟信号和系统中的单位冲激函数(t)不同之处：(t)在t=0时，取值无穷大，t0时取值为零，对
4、时间t的积分为1 (n)在n=0时，取值为1，n0时的其他离散采样点上值为零 单位采样序列(a)和单位冲激信号(b)图示 -101231n(n)(t)t0(a)(b)2.1.1 常用的典型序列 任意序列的表示 对于任意序列 ，都可用单位脉冲序列(n)的移位 加权和表示如下 这在离散时间信号和系统的分析中很有用 x n()()()kx nx knk2.1.1 常用的典型序列 任意序列的表示 例：设序列 x(n)=2,3,-2,1,0,0,-3的波形如图所示，可用如下序列来表示 ()()()kx nx knk()2(0)3(1)2(2)(3)3(6)x nnnnn0123456-3-2-10123
5、nx(n)MATLAB 表示 Function x,n=impseq(n0,n1,n2)A:n=n1:n2;x=zeros(1,n2-n1+1);x(n0-n1+1)=1;B:n=n1:n2;x=(n-n0)=0;stem(n,x,ro);0001,()0,nnnnnn12102,nnn nnn2.1.1 常用的典型序列 2.1.1 常用的典型序列 单位阶跃序列单位阶跃序列 nun112010()00nu nn单位阶跃序列 与单位采样序列 的关系如下 ()u n()n()()(1)nu nu n0()()()(1)(2)mu nnmnnnu(n)01231n2.1.1 常用的典型序列 矩形序列
6、 当 N=4 时，长度为 N 的矩形序列可以用单位阶跃序列表示为 R4(n)01231n1,010,nnNRelse2.1.1 常用的典型序列 1221()(),nRu nNu nNNNN 实指数序列 双边实指数序列()01a01a01a01a01a2.1.1 常用的典型序列|(),nx nan aR 单边实指数序列 单边实指数序列()单边实指数序列()()(),;nx na u nn aR01a01a1a 2.1.1 常用的典型序列 如果|a|1，则称为发散序列 正弦序列 式中 称为正弦序列的数字域频率（简称数字频率），单位是弧度（rad），它表示正弦序列的变化速率，或者说表示相邻两个序列值
7、之间的相位变化 2.1.1 常用的典型序列()sin()x nn给定模拟正弦信号 ,对其进行采样可得 由上式可得数字频率 与模拟角频率 之间的关系为：上式表明凡是由模拟信号采样得到的序列，模拟角频率与序列的数字域频率成线性关系。由于采样频率 f 和采样周期T 互为倒数，可进一步推出数字频率 和模拟角频率 的关系为：2.1.1 常用的典型序列 sin()|sin()sin()()t nTtnTnx nT=fsin()t复指数序列复指数序列 为数字频率。为衰减因子 当 时有 其实部和虚部分别是余弦序列和正弦序，由于n取整数值下面式子成立 复指数序列 是一个周期函数并以 为周期。复指数序列 与连续时
8、间信号中的复指数信号 一样在信号分析中扮演着一个重要角色 2.1.1 常用的典型序列 00()()jnx ne0000()ecos()sin()jnx nnjn200(2)jM njnee0jne0jne0jte复指数序列的图示复指数序列的图示 -10-8-6-4-20246810-3-2.5-2-1.5-1-0.500.511.5real partn-10-8-6-4-20246810-2-1.5-1-0.500.51imaginary partn-10-8-6-4-2024681000.511.522.53magnitude partn-10-8-6-4-20246810-200-150-
9、100-50050100150200pahse partnFor Example:n=-10:10;x=exp(-0.1+0.3j)*n);2.1.1 常用的典型序列 周期序列 设序列为 ,如果对所有n 存在一个最小正整数N，使下面等式成立：则称序列 为周期序列，周期为N N=6 051015202501234562.1.1 常用的典型序列()()x nx nN()x n()x n 例例：序列 可以写成如下形式 这表明序列 是周期为8的周期序列 2.1.1 常用的典型序列 cos()4x nn cos()cos(8)44x nnn cos()4x nn下面讨论一般正弦序列的周期性 设 x(n)
10、=Asin(0 n+)那么 x(n+N)=Asin(0(n+N)+)=Asin(0 n+0 N+)如果 x(n+N)=)=x(n)，Asin(0 n+)=Asin(0 n+0 N+)则要求0 N=2k，即 N=(2/0)k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数 满足上述条件，正弦序列才是以N 为周期的周期序列 2.1.1 常用的典型序列 具体正弦序列有以下三种情况：具体正弦序列有以下三种情况：(1)2/0为整数：为整数：k=1，正弦序列是以正弦序列是以2/0为周期的为周期的周期序列周期序列 例:sin(/8*n)，0=/8，2/0=16,该正弦序列周期为16 (2)2/0是有理
11、数：设是有理数：设2/0=P/Q，式中式中P、Q是互为是互为素数的整数素数的整数，取取k=Q,那么那么N=P，则正弦序列是以则正弦序列是以P为周期的周期序列为周期的周期序列 例:sin(4/5)n，0=(4/5)，2/0=5/2，k=2，该正弦序列是以5为周期的周期序列 满足周期序列即是0 N=2k N=(2/0)k 2.1.1 常用的典型序列(3)2/0是无理数：任何整数是无理数：任何整数k都不能使都不能使N为正整数为正整数，因此因此，此时的正弦序列不是周期序列此时的正弦序列不是周期序列 例:sin(1/4*n)，0=1/4，满足0 N=2k，即1/4 N=2k 的正整数N不存在，所以sin
12、(0 n)不是周期序列。对于复指数序列ej0 n的周期性也有同样的分析结果 满足周期序列即是0 N=2k N=(2/0)k 2.1.1 常用的典型序列 第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 离散时间信号的序列描述 常见的离散时间序列及其描述 序列的基本运算 离散时间系统的时域分析 离散时间系统 线性系统 线性时不变系统 线性卷积 离散时间系统的差分方程描述及求解 2.1.2 序列的基本运算 序列加法 序列加法是指把两个序列 、中同序号的序列值逐项对应相加，形成新的序列 序列乘法 序列乘法是指把两个序列 、中同序号的序列值逐项对应相乘，形成新的序列 序列的乘法是一种非线性运算，它用于信号的调
13、制 12x nxnxn 1xn 2xn 12x nxn xn 1xn 2xn2.1.2 序列的基本运算 0123456-1-0.500.511.52nx2(n)0123456-1-0.500.511.5nx1(n)0123456-2-1.5-1-0.500.511.52nx1(n)*x2(n)0123456-1-0.500.511.522.53nx1(n)+x2(n)2.1.2 序列的基本运算 序列的倍乘 序列倍乘是指把序列x(n)中所有序号下的序列值同乘一个常数 a 序列移位序列移位 、翻转及尺度变换、翻转及尺度变换 当n00时，序列右移n0个序数，称为x(n)的延时序列当n00时，序列左移
14、n0个序数，称为x(n)的超前序列 移位 翻转 尺度变换 x(-n)x(mn)x(n-n0)()()y nax n2.1.2 序列的基本运算-2-10123456-1012345nx(n)012345678-1012345nx(n-n0)-6-5-4-3-2-1012-1012345nx(-n)-1-0.500.511.5200.511.522.533.544.55nx(mn)2.1.2 序列的基本运算 序列绝对值之和 设序列为 x(n)，则 称为序列绝对值之和。如果满足 ,则x(n)为绝对可和序列 如果一个序列x(n)的每个序列值的绝对值均小于等于某一个有限的正整数Mx，即满足 则称x(n)
15、为有界序列。|()|xnsx n|()|xx nM xs 2.1.2 序列的基本运算 序列能量 复数序列 的能量为 上标*表示共轭运算 周期序列平均功率 设 是周期为N的周期序列，则其平均功率为 x(n)2*|()|()()xnnEx nx n xn1201|()|NxnPx nNx(n)第二章 离散时间信号和系统的时域描述分析 离散时间信号的序列描述 常见的离散时间序列及其描述 序列的基本运算 离散时间系统的时域分析 线性系统 线性时不变系统 线性卷积 离散时间系统的差分方程描述 离散时间系统的差分方程描述及求解 2.2 离散时间系统的时域分析 离散时间系统离散时间系统:离散时间系统的输入为
16、 x(n)，经过某种变换 T.，系统输出为y(n)定义运算子定义运算子 T.x(n):激励,输入信号；y(n):响应,输出信号 数学表示 y(n)=T x(n)，n 是整数 离散时间系统根据线性特性进行分类 线性系统 非线性系统 T.x(n)y(n)37 2.2.1 线性系统 当且仅当系统L.满足叠加原理时是线性系统 两个属性：两个属性：(1)可加性 (2)齐次性 112212()(),y()()(),()y nL x nnL x nx n x n121212()+()=()()(),()L x nx nL x nL x nx n x n111111()(),()L a x na L x na
17、 x n2.2.1 线性系统 叠加原理叠加原理 (1)+(2)即是叠加原理 1212()()()()T ax nbx naT x nbT x n121212()(),(),()ay nby na ax n x n121212()()()()()()T ax nbx nT ax nT bx naT x nbT x n可加性可加性 齐次性齐次性 习 题 下面两个系统是线性系统吗？下面两个系统是线性系统吗？(1)()()b(2)()()sin(/4)y nax ny nx nn2.2.1 线性系统 如果系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则称该系统为时不变系统 如果 若对于任意整数 ，时
18、不变系统一定满足：如果线性系统对输入序列的运算关系L.在整个运算过程中不随时间变化,则称为线性时不线性时不变变(Linear time invariant,LTI)系统系统 ()()y nT x n0n00()()y nnT x nn2.2.2 线性时不变系统 设系统的输入 x(n)=(n)，系统输出y(n)的初始状态为零初始状态为零，定义这种条件下系统输出为系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应，用h(n)表示。即系统的单位脉冲响应就是系统对于单位脉冲序列 的零状态响应 任意输入x(n)经过线性系统线性系统时的输出 y(n)表示如下:2.2.2 线性时不变系统()()()()my nT x n
19、Tx mnm()()()()()()mmmT x mnmx m Tnmx m h nm()n()()h nTn为单位脉冲响应为单位脉冲响应 如果如果T是时不变是时不变的的 线性卷积线性卷积()*()x nh n2.2.2 线性系统时不变系统 LTILTI系统输出与输入之间的关系系统输出与输入之间的关系 设系统的输入序列为 ，将它表示成单位脉冲序列的移位加权和：那么系统的输出序列为 “*”代表线性卷积运算 线性特性线性特性()x n()()()mx nx mnm()()()()()mmy nLx mnmx m Lnm()()()*()mx m h nmx nh n时不变特性时不变特性 例例 2.
20、2.1 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时 不变系统 解：解：？y(n-n0)=Tx(n-n0)y(n)=nx(n)Tx(n-n0)=nx(n-n0)y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0)y(n-n0)Tx(n-n0)因此该系统不是时不变系统 2.2.2 线性系统时不变系统 2.2.2 线性系统时不变系统 系统的性质系统的性质 系统的因果性和稳定性是保证系统物理可实现和正常运行的重要条件 因果系统因果系统：系统 n 时刻的输出，只取决于 n 时刻以及 n 时刻以前的输入，而与 n 时刻以后的输入序列无关 n如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，（系统
21、无法实现），则系统被称为非因果系统 因此系统的因果性是指系统的物理可实现性 因为单位脉冲响应是输入为(n)的零状态响应，在n=0时刻以前即n0时，没有加入信号，输出只能等于零，因此离散时间LTI系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应 h(n)满足下式：2.2.2 线性系统时不变系统()0,0h nn非因果系统的延时实现 0121nx(n)0111nh(n)0121nh(n)（a）（b）（c）0121ny(n)3 1230121ny(n)323（d）（e）稳定性稳定性 所谓稳定系统，是指系统有界输入时，即 系统输出也是有界的，即 （BIBO,bounded input bounded
22、output）系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为 2.2.2 线性系统时不变系统|()|xx nM|()|yy nM|()|nh n 系统稳定时，h(n)的模值随n加大而减小，此时序列h(n)称为收敛序列 系统不稳定，h(n)的模值随n加大而增大，则称为发散序列 2.2.2 线性系统时不变系统 例例 2.2.2设线性时不变系统的单位取样响应h(n)=anu(n)，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性 解 由于n0时，h(n)=0，所以系统是因果系统 只有当|a|1时 因此系统稳定的条件是|a|0时，序列右移 n0时，序列左移 将x(m)和h(n-m)对应项相乘
23、相加相乘相加得到y(n)2.2.3 线性卷积()()*()()()my nx nh nx m h nm2.2.3 线性卷积 例例2.2.3 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解:根据卷积公式:根据R4(m)和R4(n-m)的非零值区间，求解求和的上、下限：0 m 3 0 n-m 3 即 n-3 m n 因此乘积值的非零区间，要求m同时满足上面两个不等式 44()()()my nR m R nm2.2.3 线性卷积 卷积过程以及y(n)波形如右图所示 R4(n)0123n01mR4(m)23R4(n)0123nmR4(m)0123mR4(1 m)211
24、1110123mR4(2 m)11023ny(n)1112344567Demo 44()R()R()my nmnm44()()()my nR m R nm03303,()1146,()17nmm nny nnny nn 1,03()7,460,0nny nnn设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为：N+M-1 线性卷积服从 交换律：x(n)*h(n)=h(n)*x(n)结合律：x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)*h2(n)分配律：x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)Note:对于非线性系统或时变系统，以上性质不成立 线性卷
25、积的性质 2.2.3 线性卷积 序列本身与单位脉冲序列的线性卷积等于序列本身 序列与移位的单位脉冲序列(n-n0)进行线性卷积，相当于将序列本身移位n0(n0是整常数)2.2.3 线性卷积()()()()*()mx nx mnmx nn000()()*()()()()my nx nnnx mnnmx nn例例2.2.4 单位脉冲响应为h1(n)的系统与单位脉冲响应为h2(n)的系统的级联如下图 设x(n)=u(n)，h1(n)=(n)-(n-4)，h2(n)=anu(n)，|a|0的方向递推，是一个因果解 但对于差分方程，其本身也可以向n0的方向递推，得到的是非因果解 结论1：差分方程本身并不
26、能确定该系统是因果还是非因果系统，还需要用初始条件进行限制(因果性：在n0时，没有加入信号，输出只能等于零)结论2：线性常系数差分方程描述的系统并不一定是线性时不变系统，这和系统的初始状态有关 2.3.1 线性常系数差分方程的求解 例例2.3.2 设系统用一阶差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始条件y(-1)=1，试分析该系统是否是线性时不变系统 解 时不变性:y(n)=Tx(n)y(n-k)=Tx(n-k)线性:下面通过设输入信号x1(n)=(n)，x2(n)=(n-1)和 x3(n)=(n)+(n-1)来检验系统是否是线性时不变 2.3.1 线性常系数差分方程的求解 1 1
27、2211221212()()()(),(),()L a x na x na L x na L x na a x n x n (1)x1(n)=(n)，y1(-1)=1 y1(n)=ay1(n-1)+(n)和例2.3.1(2)相同，输出通式为：y1(n)=(1+a)anu(n)(2)x2(n)=(n-1)，y2(-1)=1 y2(n)=ay2(n-1)+x2(n)=ay2(n-1)+(n-1)n=0时，n=1时，n=2时，n=n时，y2(0)=ay2(-1)+(-1)=a y2(1)=a y2(0)+(0)=1+a2 y2(2)=a y2(1)+(1)=(1+a2)a .y2(n)=(1+a2)
28、an-1 通式为：y2(n)=(1+a2)an-1 u(n-1)+a(n)y1(n-1)y(n-k)=Tx(n-k)?时变系统 2.3.1 线性常系数差分方程的求解(3)x3(n)=(n)+(n-1);y3(-1)=1 y3(n)=ay3(n-1)+(n)+(n-1)n=0时，n=1时，n=2时，n=n时，y3(0)=a y3(-1)+(0)+(-1)=1+a y3(1)=a y3(0)+(1)+(0)=1+a+a2 y3(2)=a y3(1)+(2)+(1)=(1+a+a2)a y3(n)=(1+a+a2)a n-1 通式为：y3(n)=T(n)+(n-1)=(1+a+a2)a n-1 u(n-1)+(1+a)(n)T(n)+T(n-1)=(2+a+a2)a n-1 u(n-1)+(1+2a)(n)非线性系统 2.3.1 线性常系数差分方程的求解 112211221212()()()(),(),()L a xna xna L xna L xnaaxnxn非线性时不变系统 采用线性常系数差分方程描述系统时，如果没有附加的约束条件，则它不能唯一地确定一个系统的输入和输出关系，也不能保证系统一定是线性时不变系统 约定：凡用线性常系数差分方程所描述的系统都是指线性时不变系统 2.3.1 线性常系数差分方程的求解