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1、1/18例例 8 8.如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合，折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点O（1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形；（2）如图 2，当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时，求证：点 N 是线段 BC的中点；（3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长 答案答案 解：（1）由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF，DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。四边形 AGEF 是平行四边形（EFAG，EF=AG）。又AG=G
2、E，四边形 AGEF 是菱形。（2）连接 ON，AED 是直角三角形，AE 是斜边，点 O 是 AE 的中点，AED 的外接圆与 BC 相切于点 N，ONBC。点 O 是 AE 的中点，ON 是梯形 ABCE 的中位线。点 N 是线段 BC 的中点。（3）OE、ON 均是AED 的外接圆的半径，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。在 RtADE 中，AD=2，AE=4，AED=30。2/18在 RtOEF 中，OE=2，AED=30，2 3OF3。FG=4 32OF3。考点考点 翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。分析分析（
3、1）根据折叠的性质判断出 AG=GE，AGF=EGF，再由 CDAB 得出EFG=AGF，从而判断出 EF=AG，得出四边形 AGEF 是平行四边形，从而结合 AG=GE，可得出结论。（2）连接 ON，则 ONBC，从而判断出 ON 是梯形 ABCE 的中位线，从而可得出结论。（3）根据（1）可得出 AE=AB，从而在 RtADE 中，可判断出AED 为 30，在 RtEFO中求出 FO，从而可得出 FG 的长度。8.8.依次连接一矩形场地 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H，得到四边形 EFGH，M为边 EH 的中点，点 P 为小明在对角线 EG 上走动的位置，若
4、 AB=10 米，BC=10 3米，当 PM+PH的和为最小值时，EP 的长为。10.10.如图，在矩形 ABCD 中，AD=4cm，AB=m（m4），点 P 是 AB 边上的任意一点（不与点 A、B 重合），连接 PD，过点 P 作 PQPD，交直线 BC 于点 Q（1）当 m=10 时，是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合？若存在，求出此时 AP 的长；若不存在，说明理由；（2）连接 AC，若 PQAC，求线段 BQ 的长（用含 m 的代数式表示）；（3）若PQD 为等腰三角形，求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写出 m 的取值围3/181.
5、1.已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂直平分线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，则 AE 的长为例例 2 2.如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为 MN，连结 CN若CDN 的面积与CMN 的面积比为 14，则MNBM的值为A2B4C2 5D2 6 答案答案 D。考点考点 翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。分析分析 过点 N 作 NGBC 于 G，由四边形 ABCD 是矩形，易得四边形 CDNG 是矩形，又由折叠的性质，可得四边形 AMC
6、N 是菱形，由CDN 的面积与CMN 的面积比为 1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得 DN：CM=1：4，然后设 DN=x，由勾股定理可求得 MN 的长，从而求得答案：过点 N 作 NGBC 于 G，四边形 ABCD 是矩形，四边形 CDNG 是矩形，ADBC。CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。由折叠的性质可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。AM=AN。AM=CM，四边形 AMCN 是平行四边形。AM=CM，四边形 AMCN 是菱形。CDN 的面积与CMN 的面积比为 1：4，DN：CM=1：4。设 DN=x，则 AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5
7、x，CG=x。BM=x，GM=3x。4/18在 RtCGN 中，2222NGCNCG4xx15x，在 RtMNG 中，2222MNGMNG3x15x=2 6x，MN2 6x=2 6BMx。故选 D。例例 1.1.如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将ABE 沿 AE 折叠，使点 B 落在AC 上的点 B处，又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处则 BC：AB的值为。5/18例例 3 3.如图所示，现有一边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一点（不与点A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P
8、处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕为EF，连接 BP、BH（1）求证：APB=BPH；（2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由 答案答案 解：（1）如图 1，PE=BE，EBP=EPB又EPH=EBC=90，EPHEPB=EBCEBP，即PBC=BPH。又ADBC，APB=PBC。APB=BPH。（2）PHD 的周长不变为定值 8。证明如下：如图 2，过 B 作 BQPH，垂足
9、为 Q。6/18由（1）知APB=BPH，又A=BQP=90，BP=BP，ABPQBP（AAS）。AP=QP，AB=BQ。又AB=BC，BC=BQ。又C=BQH=90，BH=BH，BCHBQH（HL）。CH=QH。PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如图 3，过 F 作 FMAB，垂足为 M，则 FM=BC=AB。又EF 为折痕，EFBP。EFM+MEF=ABP+BEF=90。EFM=ABP。又A=EMF=90，AB=ME，EFMBPA（ASA）。EM=AP=x在 RtAPE 中，（4BE）2+x2=BE2，即2xBE2+8。2xCFBEEM2+x
10、8。又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等，22211x11SBECFBC=4+x4=x2x+8=x2+622422。1042，当 x=2 时，S 有最小值 6。考点考点 翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值。分析分析 （1）根据翻折变换的性质得出PBC=BPH，进而利用平行线的性质得出APB=PBC即可得出答案。（2）先由 AAS 证明ABPQBP，从而由 HL 得出BCHBQH，即可得 CH=QH。因此，PDH 的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 为定值。7/18（3）利用已知得出EFMBPA，
11、从而利用在 RtAPE 中，（4BE）2+x2=BE2，利用二次函数的最值求出即可。4.4.如图所示，将两等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 ABCD，若 AD6cm，ABC60，则四边形 ABCD 的面积等于_cm2例例 2 2.如图，矩形 ABCD 中，AB=2，AD=4，AC 的垂直平分线 EF 交 AD 于点 E、交 BC 于点 F，则EF=答案答案 5。考点考点 线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理；分析分析 连接 EC，AC、EF 相交于点 O。AC 的垂直平分线 EF，AE=EC。四边形 ABCD 是矩形，D=B=90，AB=CD=2，A
12、D=BC=4，ADBC。AOECOF。AOOEOCOF。OA=OC，OE=OF，即 EF=2OE。在 RtCED 中，由勾股定理得：CE2=CD2+ED2，即 CE2=（4CE）2+22，解得：CE=52。在 RtABC 中，AB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=2 5，CO=5。在 RtCEO 中，CO=5，CE=52，由勾股定理得：EO=52。EF=2EO=5。例例 3 3.已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点 A（11，0），点 B（0，8/186），点 P 为 BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合），经过点 O、P 折叠该纸片，得点 B和折痕 OP
13、设 BP=t（）如图，当BOP=300时，求点 P 的坐标；（）如图，经过点 P 再次折叠纸片，使点 C 落在直线 PB上，得点 C和折痕 PQ，若AQ=m，试用含有 t 的式子表示 m；（）在（）的条件下，当点 C恰好落在边 OA 上时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）答案答案 解：（）根据题意，OBP=90，OB=6。在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得 OP=2t。OP2=OB2+BP2，即（2t）2=62+t2，解得：t1=2 3，t2=2 3（舍去）点 P 的坐标为（2 3，6）。（）OBP、QCP 分别是由OBP、QCP 折叠得到的，OBPOBP，QCPQCP。OP
14、B=OPB，QPC=QPC。OPB+OPB+QPC+QPC=180，OPB+QPC=90。BOP+OPB=90，BOP=CPQ。又OBP=C=90，OBPPCQ。OBBPPCCQ。由题意设 BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则 PC=11t，CQ=6m6t11t6m。2111mt t666（0t11）。（）点 P 的坐标为（11133，6）或（11+133，6）。考点考点 翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。9/18 分析分析（）根据题意得，OBP=90，OB=6，在 RtOBP 中，由BOP=30，BP=t，得OP=2t，然
15、后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。（）由 OBP、QCP 分 别 是 由 OBP、QCP 折 叠 得 到 的，可 知OBPOBP，QCPQCP，易证得OBPPCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。（）首先过点P作PEOA于E，易证得PCECQA，由勾股定理可求得CQ的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与2111mt t666，即可求得 t 的值：过点 P 作 PEOA 于 E，PEA=QAC=90。PCE+EPC=90。PCE+QCA=90，EPC=QCA。PCECQA。PE PCACC Q。PC=PC=11t，PE=OB=6，AQ=m，CQ=CQ=6m，22A
16、C C QAQ 3612m。611t 6m3612m。6t11t6m，即611tt6m，66=t3612m，即23612m=t。将2111mt t666代 入，并 化 简，得23t22 t36=0。解 得：12111311+13tt33，。点 P 的坐标为（11133，6）或（11+133，6）。5.5.有甲、乙两纸条，甲纸条的宽是乙纸条宽的 2 倍，如图。将这两纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD，则 AB 与 BC 的数量关系为.10/18例例 1.1.如图，矩形 ABCD 中，E 是 AD 的中点，将ABE 沿 BE 折叠后得到GBE，延长 BG 交 CD于 F 点，若 C
17、F=1，FD=2，则 BC 的长为A3 2B2 6C2 5D2 3 答案答案 B。考点考点 翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。分析分析 过点 E 作 EMBC 于 M，交 BF 于 N。四边形 ABCD 是矩形，A=ABC=90，AD=BC，EMB=90，四边形 ABME 是矩形。AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，EGN=A=90，EG=BM。ENG=BNM，ENGBNM（AAS）。NG=NM。E 是 AD 的中点，CM=DE，AE=ED=BM=CM。EMCD，BN：NF=BM：CM。BN=NF。NM=12CF=12。NG=12。B
18、G=AB=CD=CF+DF=3，BN=BGNG=31522。BF=2BN=52222BCBFCF512 6。故选 B。例例 2 2.如图，点 D 是ABC 的边 AB 的延长线上一点，点 F 是边 BC 上的一个动点（不与点 B重合）.以 BD、BF 为邻边作平行四边形 BDEF，又 APBE（点 P、E 在直线 AB 的同侧），如果BDB14A，那么PBC 的面积与ABC 面积之比为11/18A.41B.53C.51D.43 答案答案 D。考点考点 平行四边形的判定和性质。分析分析 过点 P 作 PHBC 交 AB 于 H，连接 CH，PF，PE。APBE，四边形 APEB 是平行四边形。P
19、EAB。，四边形 BDEF 是平行四边形，EFBD。EFAB。P，E，F 共线。设 BD=a，1BDAB4，PE=AB=4a。PF=PEEF=3a。PHBC，SHBC=SPBC。PFAB，四边形 BFPH 是平行四边形。BH=PF=3a。SHBC：SABC=BH：AB=3a：4a=3：4，SPBC：SABC=3：4。故选 D。例例 3 3.如图，P 是矩形 ABCD 的任意一点，连接 PA、PB、PC、PD，得到PAB、PBC、PCD、PDA，设它们的面积分别是 S1、S2、S3、S4，给出如下结论：S1+S2=S3+S4 S2+S4=S1+S3若 S3=2 S1，则 S4=2 S2若 S1=
20、S2，则 P 点在矩形的对角线上12/18其中正确的结论的序号是（把所有正确结论的序号都填在横线上）.答案答案。考点考点 矩形的性质，相似 分析分析 如图，过点 P 分别作四个三角形的高，APD 以 AD 为底边，PBC 以 BC 为底边，此时两三角形的高的和为 AB，S1+S3=12S矩形 ABCD；同理可得出 S2+S4=12S矩形 ABCD。S2+S4=S1+S3正确，则S1+S2=S3+S4错误。若 S3=2 S1，只能得出APD 与PBC 高度之比，S4不一定等于 2S2；故结论错误。如图，若 S1=S2，则12PFAD=12PEAB，APD 与PBA 高度之比为：PF：PE=AB：
21、AD。DAE=PEA=PFA=90，四边形 AEPF 是矩形，矩形 AEPF矩形 ABCD。连接 AC。PF：CD=PE：BC=AP：AC，即 PF：CD=AF：AD=AP：AC。APFACD。PAF=CAD。点 A、P、C 共线。P 点在矩形的对角线上。故结论正确。综上所述，结论和正确。13/18例例 6.6.如图（1），在矩形 ABCD 中，把B、D 分别翻折，使点 B、D 分别落在对角线 BC 上的点 E、F 处，折痕分别为 CM、AN.（1）求证：ANDCBM.（2）请连接 MF、NE，证明四边形 MFNE 是平行四边形，四边形 MFNE 是菱形吗？请说明理由？（3）P、Q 是矩形的边
22、 CD、AB 上的两点，连结 PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若 PQ=CQ，PQMN。且 AB=4，BC=3，求 PC 的长度.答案答案（1）证明：四边形 ABCD 是矩形，D=B，AD=BC，ADBC。DAC=BCA。又由翻折的性质，得DAN=NAF，ECM=BCM，DAN=BCM。ANDCBM（ASA）。（2）证明：ANDCBM，DN=BM。又由翻折的性质，得 DN=FN，BM=EM，FN=EM。又NFA=ACDCNF=BACEMA=MEC，FNEM。四边形 MFNE 是平行四边形。四边形 MFNE 不是菱形，理由如下：由翻折的性质，得CEM=B=900，在EMF 中，FEMEFM。F
23、MEM。四边形 MFNE 不是菱形。14/18（3）解：AB=4，BC=3，AC=5。设 DN=x，则由 SADC=SANDSNAC得3 x5 x=12，解得 x=32，即 DN=BM=32。过点 N 作 NHAB 于 H，则 HM=43=1。在NHM 中，NH=3，HM=1，由勾股定理，得 NM=10。PQMN，DCAB，四边形 NMQP 是平行四边形。NP=MQ，PQ=NM=10。又PQ=CQ，CQ=10。在CBQ 中，CQ=10，CB=3，由勾股定理，得 BQ=1。NP=MQ=12。PC=43212=2。考点考点 翻折问题，翻折的性质，矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行
24、四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理。分析分析（1）由矩形和翻折对称的性质，用 ASA 即可得到ANDCBM。（2）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定即可证明。（3）设 DN=x，则由 SADC=SANDSNAC可得 DN=BM=32。过点 N 作 NHAB 于 H，则由勾股定理可得 NM=10，从而根据平行四边形的性质和已知 PQ=CQ，即可求得 CQ=10。因此，在CBQ 中，应用勾股定理求得 BQ=1。从而求解。例例 2 2.如图，圆柱形玻璃杯高为 12cm、底面周长为 18cm，在杯离杯底 4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4cm 与蜂
25、蜜相对的点 A 处，则蚂蚁15/18到达蜂蜜的最短距离为cm 答案答案 15。考点考点 圆柱的展开，矩形的性质，轴对称的性质，三角形三边关系，勾股定理。分析分析 如图，圆柱形玻璃杯展开（沿点 A 竖直剖开）后侧面是一个长 18 宽 12 的矩形，作点A 关于杯上沿 MN 的对称点 B，连接 BC 交 MN 于点 P，连接 BM，过点 C 作 AB 的垂线交剖开线MA 于点 D。由轴对称的性质和三角形三边关系知 APPC 为蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，且 AP=BP。由已知和矩形的性质，得 DC=9，BD=12。在 RtBCD 中，由勾股定理得2222BCDCBD91215。APPC=BPPC=BC
26、=15，即蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 15cm。例例 2 2.如图，有 a、b、c 三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线16/18A a 户最长B b 户最长C c 户最长D三户一样长 答案答案 D。考点考点 生活中的平移现象，平移的性质。分析分析 根据平移的性质，对于电线中横的和竖的线段分别采用割补法将线段向右进行平移，便可直观观察到都是相等的。因此 abc 三线长度相等。故选 D。例例 3 3.如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为 答案答案 28。考点考点 平移的性质，勾股定理。分析分析 由勾股定理，得 AB=2222AC
27、BC1086，将五个小矩形的所有上边平移至AD，所有下边平移至 BC，所有左边平移至 AB，所有右边平移至 CD，五个小矩形的周长之和=2（AB+CD）=2（6+8）=28。1.1.如图：矩形 ABCD 的对角线 AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为A、14B、16C、20D、28如图 11，一矩形纸片 ABCD，其中 AD8cm，AB6cm，先沿对角线 BD 对折，点 C 落在点 C的位置，BC交 AD 于点 G。17/18（1）求证：AGCG；（2）如图 12，再折叠一次，使点 D 与点 A 重合，得折痕 EN，EN 交 AD 于点 M，求 EM 的长。如图，将矩形 ABCD
28、 沿直线 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，连接 AF、CE，（1）求证：四边形 AFCE 为菱形；（2）设 AE=a，ED=b，DC=c请写出一个 a、b、c 三者之间的数量关系式如图，点 O 是矩形 ABCD 的中心，E 是 AB 上的点，沿 CE 折叠后，点 B 恰好与点 O 重合，若BC=3，则折痕 CE 的长为（）A、B、C、D、6已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 垂直平分线 EF，分别交AD、BC 于点 E、F，则 AE 的长为1、如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=3cm，BC=5cm，现将 A、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为 EF，求重叠部分AEF 的面积。18/18