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1、2015-2016学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在答题卡中1已知集合A=0，1，2，B=2，3，则集合AB=（）A1，2，3B0，1，2，3C2D0，1，32若角的终边经过点P（1，2），则tan的值为（）ABC2D3正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）Ax=0BCDx=4下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）Af（x）=sinxBf（x）=x2+1Cf（x）=lnxDf（x）=cosx5函数f（x）=的大致图象是（）ABCD62003年至2015年北京市电影放映场次（单位
2、：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）Af（x）=ax2+bx+cBf（x）=aex+bCf（x）=eax+bDf（x）=alnx+b7若角与角的终边关于y轴对称，则（）A+=+k（kZ）B+=+2k（kZ）CD8已知函数，若存在实数a，使得f（a）+g（x）=0，则x的取值范围为（）A1，5B（，15，+）C1，+）D（，5二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分请把答案填在相应题目横线上9函数y=log2（2x+1）定义域10sin80cos20cos80sin20的值为11已知函数，则f（x）的最大值为12若a=log4
3、3，则4a4a=13已知函数f（x）=ax+b（a0，a1）的定义域和值域都是1，0，则a+b=14设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T=f（x）|xS；（2）对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2）那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：S=0，1，2，T=2，3；S=N，T=N*；S=x|1x3，T=x|8x10；S=x|0x1，T=R其中，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同构”的集合对的序号）三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知集合A=0，1，B=x|x2
4、ax=0，且AB=A，求实数a的值16设为第二象限角，若求（）tan的值；（）的值17已知函数（）证明：f（x）是奇函数；（）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+）上是增函数18某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xAsin（x+）0550（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到y=g（x）的图象若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求的最小值19某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：
5、）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）若该食品在0的保鲜时间为192小时，在22的保鲜时间是48小时，求该食品在33的保鲜时间20若实数x，y，m满足|xm|ym|，则称x比y远离m（）比较log20.6与20.6哪一个远离0；（）已知函数f（x）的定义域，任取xD，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值，写出函数f（x）的解析式以及f（x）的三条基本性质（结论不要求证明）2015-2016学年北京市东城区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项并填在答
6、题卡中1已知集合A=0，1，2，B=2，3，则集合AB=（）A1，2，3B0，1，2，3C2D0，1，3【考点】并集及其运算【专题】计算题；集合思想；综合法；集合【分析】根据并集的运算性质计算即可【解答】解：集合A=0，1，2，B=2，3，则集合AB=0，1，2，3，故选：B【点评】本题考查了集合的并集的运算，是一道基础题2若角的终边经过点P（1，2），则tan的值为（）ABC2D【考点】任意角的三角函数的定义【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】由三角函数的定义，求出值即可【解答】解：角的终边经过点P（1，2），tan=2故选：C【点评】本题考查三角函数的定义，利用公
7、式求值是关键3正弦函数f（x）=sinx图象的一条对称轴是（）Ax=0BCDx=【考点】正弦函数的图象【专题】方程思想；定义法；三角函数的图像与性质【分析】根据三角函数的对称性进行求解即可【解答】解：f（x）=sinx图象的一条对称轴为+k，kZ，当k=0时，函数的对称轴为，故选：C【点评】本题主要考查三角函数的对称性，根据三角函数的对称轴是解决本题的关键4下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）Af（x）=sinxBf（x）=x2+1Cf（x）=lnxDf（x）=cosx【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】判断函数的奇偶性与零点，即可得出结论【解
8、答】解：对于A，是奇函数；对于B，是偶函数，不存在零点；对于C，非奇非偶函数；对于D，既是偶函数又存在零点故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与零点，考查学生的计算能力，比较基础5函数f（x）=的大致图象是（）ABCD【考点】函数的图象；幂函数图象及其与指数的关系【专题】函数的性质及应用【分析】筛选法：利用幂函数的性质及函数的定义域进行筛选即可得到答案【解答】解：因为0，所以f（x）在（0，+）上单调递减，排除选项B、C；又f（x）的定义域为（0，+），故排除选项D，故选A【点评】本题考查幂函数的图象及性质，属基础题，筛选法是解决选择题的常用技巧，要掌握62003年至2015年北京市电影放映场
9、次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）Af（x）=ax2+bx+cBf（x）=aex+bCf（x）=eax+bDf（x）=alnx+b【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用【分析】由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升根据函数的单调性与图象的特征即可判断出结论【解答】解：由图象可得：这13年间电影放映场次逐年变化规律的是随着x的增大，f（x）逐渐增大，图象逐渐上升对于Af（x）=ax2+bx+c，取a0，0，可得满足条件的函数；对于
10、B取a0，b0，可得满足条件的函数；对于C取a0，b0，可得满足条件的函数；对于Da0时，为“上凸函数”，不符合图象的特征；a0时，为单调递减函数，不符合图象的特征故选：D【点评】本题考查了函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7若角与角的终边关于y轴对称，则（）A+=+k（kZ）B+=+2k（kZ）CD【考点】终边相同的角【专题】函数思想；综合法；三角函数的求值【分析】根据角与角的终边关于y轴对称，即可确定与的关系【解答】解：是与关于y轴对称的一个角，与的终边相同，即=2k+（）+=+2k+（）=（2k+1），故答案为：+=（2k+1）或=+（2k+1），kz，故选：B【点评
11、】本题主要考查角的对称之间的关系，根据终边相同的关系是解决本题的关键，比较基础8已知函数，若存在实数a，使得f（a）+g（x）=0，则x的取值范围为（）A1，5B（，15，+）C1，+）D（，5【考点】分段函数的应用【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用【分析】由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数f（x）的值域，从而化为最值问题即可【解答】解：当x（，0）时，f（x）=x2+2x1，+）；当x0，+）时，f（x）=ln（x+1）0，+）所以f（x）1，+），所以只要g（x）（，1即可，即（x2）28（，1，可得（x2）29，解得x1，5故选：A【点评】本题考
12、查了分段函数的应用及配方法求最值的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分请把答案填在相应题目横线上9函数y=log2（2x+1）定义域【考点】对数函数的定义域【专题】函数的性质及应用【分析】直接由对数式的真数大于0求解不等式得答案【解答】解：由2x+10，得x函数y=log2（2x+1）定义域为故答案为：【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础题10sin80cos20cos80sin20的值为【考点】两角和与差的正弦函数【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】
13、解：sin80cos20cos80sin20=sin（8020）=sin60=故答案为：【点评】本题主要考查了两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值在三角函数求值中的应用，属于基础题11已知函数，则f（x）的最大值为2【考点】两角和与差的正弦函数【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值【分析】由条件利用两角和的正弦公式，正弦函数的值域，求得函数的最大值【解答】解：函数=2sin（x+），f（x）的最大值为2，故答案为：2【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的值域，属于基础题12若a=log43，则4a4a=【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】计算题；转化思
14、想；函数的性质及应用【分析】由a=log43，可得4a=3，4a=即可得出【解答】解：a=log43，4a=3，4a=则4a4a=3=故答案为：【点评】本题考查了指数与对数的运算性质考查了推理能力与计算能力，属于中档题13已知函数f（x）=ax+b（a0，a1）的定义域和值域都是1，0，则a+b=【考点】指数型复合函数的性质及应用【专题】函数的性质及应用【分析】对a进行分类讨论，分别题意和指数函数的单调性列出方程组，解得答案【解答】解：当a1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是增函数，所以，解得b=1， =0不符合题意舍去；当0a1时，函数f（x）=ax+b在定义域上是减函数，所以，解得b=
15、2，a=，综上a+b=，故答案为：【点评】本题考查指数函数的单调性的应用，以及分类讨论思想，属于中档题14设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（1）T=f（x）|xS；（2）对任意x1，x2S，当x1x2时，恒有f（x1）f（x2）那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下4对集合：S=0，1，2，T=2，3；S=N，T=N*；S=x|1x3，T=x|8x10；S=x|0x1，T=R其中，“保序同构”的集合对的序号是（写出所有“保序同构”的集合对的序号）【考点】函数解析式的求解及常用方法【专题】转化思想；函数的性质及应用【分析】利用：两个集合“保序同构”的定义
16、，能够找出存在一个从S到T的函数y=f（x）即可判断出结论【解答】解：由于不存在一个从S到T的函数y=f（x），因此不是“保序同构”的集合对令f（x）=x+1，xS=N，f（x）T；取f（x）=x，xS，f（x）T，“保序同构”的集合对；取f（x）=tan，xS，f（x）T综上可得：“保序同构”的集合对的序号是故答案为：【点评】本题考查了两个集合“保序同构”的定义、函数的解析式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15已知集合A=0，1，B=x|x2ax=0，且AB=A，求实数a的值【考点】集合的包含关系判断
17、及应用【专题】集合思想；综合法；集合【分析】先求出集合B中的元素，根据并集的运算，求出a的值即可【解答】解：B=x|x2ax=0，B=x|x=0或x=a，由AB=A，得B=0或0，1当B=0时，方程x2ax=0有两个相等实数根0，a=0当B=0，1时，方程x2ax=0有两个实数根0，1，a=1【点评】本题考查了集合的并集的定义，考查分类讨论思想，是一道基础题16设为第二象限角，若求（）tan的值；（）的值【考点】三角函数的化简求值【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值【分析】（）由已知利用特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式即可计算求值（）由已知利用同角三角函数关系式可求cos，
18、sin的值，利用诱导公式，二倍角公式化简所求后即可计算求值【解答】（本题满分9分）解：（），解得（）为第二象限角，cos=，sin=，【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值及两角和的正切函数公式，同角三角函数关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题17已知函数（）证明：f（x）是奇函数；（）用函数单调性的定义证明：f（x）在（0，+）上是增函数【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断【专题】证明题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（）可看出f（x）的定义域为x|x0，并可求出f（x）=f（x），从而得出f（x）是奇函数；（）根
19、据增函数的定义，设任意的x1x20，然后作差，通分，提取公因式，从而得到，证明f（x1）f（x2）便可得出f（x）在（0，+）上是增函数【解答】证明：（）函数f（x）的定义域为x|x0；f（x）是奇函数；（）设x1x20，则：=；x1x20；x1x20，x1x20，x1x2+10；f（x1）f（x2）；f（x）在（0，+）上是增函数【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，增函数的定义，以及根据增函数的定义证明一个函数为增函数的方法和过程，作差的方法比较f（x1），f（x2），作差后是分式的一般要通分，一般提取公因式x1x218某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（x+）（0，|）在某一
20、个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：x+02xAsin（x+）0550（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动（0）个单位长度，得到y=g（x）的图象若y=g（x）图象的一个对称中心为（，0），求的最小值【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】三角函数的图像与性质【分析】（1）根据表中已知数据，解得A=5，=2，=从而可补全数据，解得函数表达式为f（x）=5sin（2x）（2）由（）及函数y=Asin（x+）的图象变换规律得g（x）=5sin（2x+
21、2）令2x+2=k，解得x=，kZ令=，解得=，kZ由0可得解【解答】解：（1）根据表中已知数据，解得A=5，=2，=数据补全如下表：x+02xAsin（x+）05050且函数表达式为f（x）=5sin（2x）（2）由（）知f（x）=5sin（2x），得g（x）=5sin（2x+2）因为y=sinx的对称中心为（k，0），kZ令2x+2=k，解得x=，kZ由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得=，kZ由0可知，当K=1时，取得最小值【点评】本题主要考查了由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查19某食
22、品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系y=ekx+b（e=2.718为自然对数的底数，k，b为常数）若该食品在0的保鲜时间为192小时，在22的保鲜时间是48小时，求该食品在33的保鲜时间【考点】函数的值【专题】应用题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用【分析】根据题意，列出方程，求出，再计算x=33时的y值即可【解答】解：由题意知，所以e22keb=48，所以，解得；所以当x=33时，答：该食品在33的保鲜时间为24小时【点评】本题考查了指数函数模型的应用问题，也考查了指数运算的应用问题，是基础题目20若实数x，y，m满足|xm|ym|，则称x比y远离m（）比较l
23、og20.6与20.6哪一个远离0；（）已知函数f（x）的定义域，任取xD，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值，写出函数f（x）的解析式以及f（x）的三条基本性质（结论不要求证明）【考点】不等式比较大小；对数的运算性质【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；三角函数的图像与性质【分析】（I）利用，即可得出（），可得f（x）的性质：奇偶性，周期性，单调性，最值，进而得出【解答】解：（），20.6比log20.6远离0（）f（x）的性质：f（x）既不是奇函数也不是偶函数；f（x）是周期函数，最小正周期T=2；f（x）在区间，单调递增，f（x）在区间，（kZ）单调递减；当x=2k或时，f（x）有最大值1，当x=2k+或时，f（x）有最小值1【点评】本题考查了新定义“x比y远离m”、对数函数的单调性、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13