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1、专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质1函数(1)函数的概念函数实质上是从非空数集A到非空数集B的一个特殊映射，记作yf(x)，xA，其中x的取值范围A叫做这个函数的定义域，f(x)的集合C叫函数的值域，B与C的关系是CB，我们将f，A，C叫做函数的三要素，但要注意，函数定义中A，B是两个非空数集，而映射中两个集合A，B是任意的非空集合(2)函数的表示方法函数表示方法有图象法、列表法、解析法2映射映射AB中两集合的元素的关系是一对一或多对一，但不可一对多，且集合B中元素可以没有对应元素，但A中元素在B中必须有唯一确定的对应元素1函数的单调性与最值(1)单调性对
2、于定义域内某一区间D内任意的x1，x2且x1x2(或xx1x20)：若f(x1)f(x2)或yf(x1)f(x2)0恒成立，则f(x)在D上单调递增；若f(x1)f(x2)或yf(x1)f(x2)0恒成立，则f(x)在D上单调递减(2)最值设函数yf(x)的定义域为I：如果存在实数M满足：对任意的xI，都有f(x)M且存在x0I，使得f(x0)M，那么称M是函数yf(x)的最大值；如果存在实数M满足：对任意xI，都有f(x)M且存在x0I，使得f(x0)M，那么称M是函数yf(x)的最小值2函数的奇偶性(1)定义对于定义域内的任意x有：f(x)f(x)f(x)为奇函数；f(x)f(x)f(x)
3、为偶函数(2)性质函数yf(x)是偶函数yf(x)的图象关于y轴对称函数yf(x)是奇函数yf(x)的图象关于原点对称奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且在x0处有定义时必有f(0)0，即f(x)的图象过原点偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反3周期性(1)定义对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)性质如果T是函数yf(x)的周期，则：kT(k0，kZ)也是yf(x)的周期；若已知区间m，n(mn)上的图象，则可画出区间mkT，nkT(
4、kZ且k0)上的图象1基本初等函数的图象基本初等函数包括：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数对于这些函数的图象应非常清楚2函数图象的画法(1)描点法作图通过列表、描点、连线三个步骤画出函数的图象(2)图象变换法作图平移变换ayf(x)的图象向左平移a(a0)个单位长度得到函数a.yf(xa)的图象byf(xb)(b0)的图象可由yf(x)的图象向b.右平移b个单位长度得到对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减而对于上、下平移变换，相比较则容易掌握，原则是：上加下减，但要注意的是加、减指的是在f(x)整体上对称变换(在f(x)有意义的前提下)
5、ayf(x)与yf(x)的图象a.关于y轴对称；byf(x)与yf(x)的图象b.关于x轴对称；cyf(x)与yf(x)的图象c.关于原点对称；dy|f(x)|的图象可将yf(x)的图象在x轴下方的部分d.关于x轴旋转180，其余部分不变；eyf(|x|)的图象，可先作出yf(x)当x0时的图象，再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出e.yf(x)(x0)的图象伸缩变换ayAf(x)(A0)的图象，可将yf(x)的图象上所有点的a.纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变而得到；byf(ax)(a0)的图象，可将yf(x)的图象上所有点的b.横坐标变为原来的倍，纵坐标不变而得到判断下面结论是否正确(请在
6、括号中打“”或“”)(1)f(x)与g(x)x是同一个函数()(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等()(3)若函数f(x)的定义域为x|1x3，则函数f(2x1)的定义域为x|1x0，则函数f(x)在D上是增函数()(6)函数y|x|是R上的增函数()1下列说法中，不正确的是(B)A函数值域中每一个数都有定义域中的至少一个数与之对应B函数的定义域和值域一定是无限集合C定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素2(2015北京卷)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是(C)Ax|1x0Bx
7、|1x1Cx|1x1Dx|1x2解析：令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)图象如图由得 结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x13函数yf(x)(xR)的图象如下图所示，下列说法正确的是(C)函数yf(x)满足f(x)f(x)；函数yf(x)满足f(x2)f(x)；函数yf(x)满足f(x)f(x)；函数yf(x)满足f(x2)f(x)A BC D解析：由图象可看出，f(x)为周期为4的奇函数，正确故选C.4(2015安徽卷)函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图所示，则下列结论成立的是(A)Aa0，b0，c0，d0Ba0，b0，c0，d0Ca0，b0，c0，d0
8、Da0，b0，c0，d0解析：根据函数的图象可知，该函数先增再减，再增，且极值点都大于0，函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴上解法一：由图象知f(0)d0.因为f(x)3ax22bxc0有两个不相等的正实根，所以a0，0，所以b0，所以a0，b0，d0.解法二：由图象知f(0)d0，首先排除选项D；f(x)3ax22bxc3a(xx1)(xx2)3ax23a(x1x2)x3ax1x2，令x1x2，因为x(，x1)时，f(x)0，所以a0，排除C；又c3ax1x20，2b3a(x1x2)0，所以c0，b0，故选A.一、选择题1(2015北京卷)下列函数中为偶函数的是(B)Ayx2sin x By
9、x2cos xCy|ln x| Dy2x解析：因为yx2是偶函数，ysin x是奇函数，ycos x是偶函数，所以A选项为奇函数，B选项为偶函数；C选项中函数图象是把对数函数yln x的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D选项为指数函数y，是非奇非偶函数2函数f(x)x3sin x1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为(B)A3 B0 C1 D2解析：f(a)2a3sin a12，a3sin a1.f(a)a3sin(a)1(a3sin a)1110.3(2015陕西卷)设f(x)则f(f(2)(C)A1 B.C. D.解析：因为20，所以f(2)
10、220，所以f1 1.4函数yln(1)(x1)的反函数是(D)Ay(1ex)3(x1)By(ex1)3(x1)Cy(1ex)3(xR)Dy(ex1)3(xR)解析：由已知函数可得1ey(yR)，即ey1，所以x(ey1)3，x，y对调即得原函数的反函数为y(ex1)3(xR)故选D.5(2015新课标卷)设函数f(x)则f(2)f(log212)(C)A3 B6 C9 D12解析： 21， f(log212)2log21216. f(2)f(log212)369.故选C.6(2015新课标卷)如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.
11、将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为(B)解析：当x0，时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除A，C.当x，时，f()f()1，f()2. 21， f()f()f()，从而排除D，故选B.二、填空题7若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f(x)则ff解析：ffffffffffffsin .8(2015福建卷)若函数f(x)2|xa|(aR)满足f(1x)f(1x)，且f(x)在m，)上单调递增，则实数m的最小值等于1解析：因为f(x)2|xa|，所以f(x)的图象关于xa对称又由f(1x)f(1x)，知f(x)的图
12、象关于直线x1对称，故a1，且f(x)的增区间是1，)，由函数f(x)在m，)上单调递增，知m，)1，)，所以m1，故m的最小值为1.三、解答题9已知函数f(x)x2(x0，aR)(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(x)在区间2，)上是增函数，求实数a的取值范围解析：(1)当a0时，f(x)x2(x0)为偶函数；当a0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)解法一设x2x12，f(x1)f(x2)xxx1x2(x1x2)a，由x2x12，得x1x2(x1x2)16，x1x20，x1x20.要使f(x)在区间2，)上是增函数，只需f(x1)f(x2)0，即x1x2(x1x2)a0恒成立
13、，则a16.故a的取值范围是(，16解法二f(x)2x，要使f(x)在区间2，)上是增函数，只需当x2时，f(x)0恒成立，即2x0，则a2x316，)恒成立，故当a16时，f(x)在区间2，)上是增函数故a的取值范围是(，1610f(x)的定义域为R，对任意x，yR，有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0，f(1)2.(1)证明：f(x)是奇函数；(2)证明：f(x)在R上是减函数；(3)求f(x)在区间3，3上的最大值和最小值解析：(1)函数f(x)的定义域R关于原点对称，又由f(xy)f(x)f(y)，得fx(x)f(x)f(x)，f(x)f(x)f(0)又f(00)f(0
14、)f(0)，f(0)0.从而有f(x)f(x)0，f(x)f(x)由于xR，f(x)是奇函数(2)任取x1，x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)f(x1)fx1(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)f(x2x1)x1x2，x2x10.f(x2x1)0.f(x2x1)0，即f(x1)f(x2)，从而f(x)在R上是减函数(3)由于f(x)在R上是减函数，故f(x)在3，3上的最大值是f(3)，最小值是f(3)，由f(1)2，得f(3)f(12)f(1)f(2)f(1)f(11)f(1)f(1)f(1)6，f(3)f(3)6.从而f(x)在区间3，3上的最大值是6，最小值是6.11已知函数f(x)exex(xR，且e为自然对数的底数)(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性(2)是否存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切x都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由解析：(1)f(x)ex，且yex是增函数，y是增函数，f(x)是增函数f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，f(x)是奇函数(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，由f(xt)f(x2t2)0对xR恒成立，则f(xt)f(t2x2)t2x2xtx2xt2t对xR恒成立min对一切xR恒成立0t.即存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切x都成立12