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1、计算题专项训练(时间:80分钟满分:100分)1.(14分)如图甲所示,水平传送带AB逆时针匀速转动,一个质量为m0=1.0 kg的小物块以某一初速度由传送带左端滑上,通过速度传感器记录下物块速度随时间的变化关系如图乙所示(图中取向左为正方向,以物块滑上传送带时为计时零点)。已知传送带的速度保持不变,g取10 m/s2。求:(1)物块与传送带间的动摩擦因数;(2)物块在传送带上的运动时间;(3)整个过程中系统产生的热量。答案:(1)0.2(2)4.5 s(3)18 J解析:(1)由题中v-t图像可得,物块做匀变速运动的加速度a=vt=4.02m/s2=2.0m/s2由牛顿第二定律得Ff=m0a
2、得到物块与传送带间的动摩擦因数=m0am0g=2.010=0.2。(2)由题中v-t图像可知,物块初速度大小v=4m/s、传送带速度大小v=2m/s,物块在传送带上滑动t1=3s后,与传送带相对静止。前2s内物块的位移大小x1=v2t1=4m,向右后1s内的位移大小x2=v2t1=1m,向左3s内位移x=x1-x2=3m,向右物块再向左运动时间t2=xv=1.5s物块在传送带上运动时间t=t1+t2=4.5s。(3)物块在传送带上滑动的3s内,传送带的位移x=vt1=6m,向左;物块的位移x=x1-x2=3m,向右相对位移为x=x+x=9m所以转化的热能EQ=Ffx=18J。2.(14分)如图
3、所示,两固定的绝缘斜面倾角均为,上沿相连。两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L,质量分别为2m和m;用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca,并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上,使两金属棒水平。右斜面上存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于斜面向上。已知两根导线刚好不在磁场中,回路电阻为R,两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为,重力加速度大小为g。已知金属棒ab匀速下滑。求:(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小;(2)金属棒运动速度的大小。答案:(1)mg(sin -3cos )(2)(sin -3cos )mgRB2L2解析:(1)设
4、导线的拉力的大小为FT,右斜面对ab棒的支持力的大小为FN1,作用在ab棒上的安培力的大小为F,左斜面对cd棒的支持力大小为FN2。对于ab棒,由力的平衡条件得2mgsin=FN1+FT+FFN1=2mgcos对于cd棒,同理有mgsin+FN2=FTFN2=mgcos联立式得F=mg(sin-3cos)。(2)由安培力公式得F=BIL这里I是回路abdca中的感应电流。ab棒上的感应电动势为E=BLv式中,v是ab棒下滑速度的大小。由欧姆定律得I=ER联立式得v=(sin-3cos)mgRB2L2。3.(14分)如图所示,在光滑水平面上有一带挡板的长木板,挡板和长木板的总质量为m,木板长度为
5、l(挡板的厚度可忽略),挡板上固定有一个小炸药包(可视为质量不计的点)。木板左端有一质量为m(可视为质点)的滑块,滑块与木板间的动摩擦因数恒定,整个系统处于静止状态。给滑块一个水平向右的初速度v0,滑块相对木板向右运动,刚好能与小炸药包接触,接触瞬间小炸药包爆炸(此过程时间极短,爆炸后滑块与木板只在水平方向上运动,且完好无损),滑块向左运动,最终回到木板的左端,恰与木板相对静止。求:(1)滑块与木板间的动摩擦因数;(2)小炸药包爆炸完毕时滑块和木板的速度。答案:(1)v024gl(2)滑块速度为0;木板速度为v0,方向水平向右解析:(1)滑块相对木板向右运动,刚好能与炸药包接触,此时滑块和木板
6、的速度相同,设滑块刚要与炸药包接触时的速度为v1,以水平向右为正方向;在滑块在木板上滑动的过程中,滑块和木板组成的系统所受合外力为零,则该系统动量守恒,故有mv0=2mv1解得v1=12v0,方向水平向右滑块在木板上滑动的过程中,由功能关系可知mgl=12mv02-122mv12联立解得=v024gl。(2)设爆炸后滑块和木板的速度分别为v1和v2,最终滑块相对木板静止于木板的左端时速度为v2,系统在爆炸前后动量守恒,则有2mv1=mv1+mv22mv1=2mv2系统爆炸后,对滑块在木板上运动的过程应用功能关系,则有mgl=12mv12+12mv22-122mv22联立以上各式解得v1=0;v
7、2=v0,方向水平向右。4.(14分)(2019北京卷)雨滴落到地面的速度通常仅为几米每秒,这与雨滴下落过程中受到空气阻力有关。设雨滴间无相互作用且雨滴质量不变,重力加速度为g。(1)质量为m的雨滴由静止开始,下落高度h时速度为v,求这一过程中克服空气阻力所做的功W。(2)将雨滴看作半径为r的球体,设其竖直落向地面的过程中所受空气阻力Ff=kr2v2,其中v是雨滴的速度,k是比例系数。a.设雨滴的密度为,推导雨滴下落趋近的最大速度vm与半径r的关系式;b.示意图中画出了半径为r1、r2(r1r2)的雨滴在空气中无初速下落的v-t图线,其中(选填“”或“”)对应半径为r1的雨滴;若不计空气阻力,
8、请在图中画出雨滴无初速下落的v-t图线。(3)由于大量气体分子在各方向运动的几率相等,其对静止雨滴的作用力为零。将雨滴简化为垂直于运动方向面积为S的圆盘,证明圆盘以速度v下落时受到的空气阻力Ffv2(提示:设单位体积内空气分子数为n,空气分子质量为m0)。答案:(1)mgh-12mv2(2)a.vm=4g3krb.见解析(3)见解析解析:(1)根据动能定理mgh-W=12mv2可得W=mgh-12mv2。(2)a.根据牛顿第二定律mg-Ff=ma得a=g-kr2v2m当加速度为零时,雨滴趋近于最大速度vm雨滴质量m=43r3由a=0可得,雨滴最大速度vm=4g3kr。b.如图甲所示甲(3)根据
9、题设条件,大量气体分子在各方向运动的几率相等,其对静止雨滴的作用力为零。以下只考虑雨滴下落的定向运动。乙简化的圆盘模型如图乙所示。设空气分子与圆盘碰撞前后相对速度大小不变。在t时间内,与圆盘碰撞的空气分子质量为m=Svtnm0以F表示圆盘对气体分子的作用力,根据动量定理,有Ftmv得Fnm0Sv2由牛顿第三定律,可知圆盘所受空气阻力Ffv2采用不同的碰撞模型,也可得到相同结论。5.(14分)如图所示,边长l0=0.2 m的正方形abcd区域(含边界)内,存在着垂直于区域的横截面(纸面)向外的匀强磁场,磁感应强度B=5.010-2 T。带电平行金属板MN、PQ间形成了匀强电场E(不考虑金属板在其
10、他区域形成的电场),MN放在ad边上,两板左端M、P恰在ab边上,两板右端N、Q间有一绝缘挡板EF。EF中间有一小孔O,金属板长度、板间距、挡板长度均为l=0.1 m。在M和P的中间位置有一离子源S,能够正对孔O不断发射出各种速率的带正电离子,离子的电荷量均为q=3.210-19 C,质量均为m=6.410-26 kg。不计离子的重力,忽略离子之间的相互作用及离子打到金属板或挡板上后的反弹。(1)当电场强度E=104 N/C时,求能够沿SO连线穿过孔O的离子的速率。(2)电场强度取值在一定范围时,可使沿SO连线穿过O并进入磁场区域的离子直接从bc边射出,求满足条件的电场强度的范围。答案:(1)
11、2.0105 m/s(2)9.375102 N/CE1.25103 N/C解析:(1)穿过孔O的离子在金属板间需满足qv0B=Eq代入数据得 v0=2.0105m/s。(2)穿过孔O的离子在金属板间仍需满足qvB=Eq离子穿过孔O后在磁场中做匀速圆周运动,有qvB=mv2r由以上两式得E=qB2rm从bc边射出的离子,轨迹半径最大时,其临界轨迹如图线,对应的电场强度最大,由几何关系可得r1=l=0.1m由此可得E1=1.25103N/C从bc边射出的离子,轨迹半径最小时,其临界轨迹如图线,对应的电场强度最小,由几何关系可得2r2+l2=l0所以r2=0.075m由此可得E2=9.375102N
12、/C所以满足条件的电场强度的范围为9.375102N/CE1.25103N/C。6.(14分)两根平行金属导轨放置在倾角为的绝缘斜面上,两导轨之间的距离为l,仅在虚线MN下面的空间存在着磁感应强度随高度变化的磁场(同一水平线上各处磁感应强度相同),磁场方向垂直斜面向下,导轨上端跨接一阻值为R的定值电阻。质量为m的金属棒的两端套在导轨上并可在导轨上无摩擦滑动,金属棒始终与导轨垂直,导轨和金属棒的电阻不计,现将金属棒从O处由静止释放,进入磁场后金属棒正好做匀减速运动,刚进入磁场时速度为v,到达P处时速度为0.5v,O处和P处到MN的距离相等,已知重力加速度为g。求:(1)金属棒在磁场中所受安培力F
13、的大小;(2)在金属棒从开始运动到P处的过程中,电阻R上共产生多少热量。答案:(1)74mgsin (2)78mv2解析:(1)设O点和P点到MN的间距均为x,从O到MN过程中,根据动能定理有mgxsin=12mv2-0从MN到P的过程中棒做匀减速运动,安培力的大小不变,据动能定理有mgxsin-Fx=12m(0.5v)2-12mv2得F=74mgsin。(2)方法一:棒从MN到P过程中根据能量守恒有Q=mgxsin+12mv2-12m(0.5v)2得Q=78mv2。方法二:棒从MN到P过程中克服安培力做功即电阻R上产生的热量Q=Fx得Q=78mv2。7.(16分)(2019陕西榆林模拟)如图
14、所示,两条竖直长虚线所夹的区域被线段MN分为上、下两部分,上部分的电场方向竖直向上,下部分的电场方向竖直向下,两电场均为匀强电场且电场强度大小相等。挡板PQ垂直MN放置,挡板的中点置于N点。在挡板的右侧区域存在垂直纸面向外的匀强磁场。在左侧虚线上紧靠M的上方取点A,一比荷qm=5105 C/kg的带正电粒子,从A点以v0=2103 m/s的速度沿平行MN方向射入电场,该粒子恰好从P点离开电场,经过磁场的作用后恰好从Q点回到电场。已知MN、PQ的长度均为l=0.5 m,不考虑重力对带电粒子的影响,不考虑相对论效应。(1)求电场强度E的大小。(2)求磁感应强度B的大小。(3)在左侧虚线上M点的下方
15、取一点C,且CM=0.5 m,带负电的粒子从C点沿平行MN方向射入电场,该带负电粒子与上述带正电粒子除电性相反外其他都相同。若两带电粒子经过磁场后同时分别运动到Q点和P点,求两带电粒子在A、C两点射入电场的时间差。答案:(1)16 N/C(2)1.610-2 T(3)3.910-4 s解析:(1)带正电的粒子在电场中做类平抛运动,有l=v0tl2=qE2mt2解得E=16N/C。(2)设带正电的粒子从P点射出电场时与虚线的夹角为,则tan=v0qEmt可得=45粒子射入磁场时的速度大小为v=2v0粒子在磁场中做匀速圆周运动,qvB=mv2r由几何关系可知r=22l解得B=1.610-2T。(3)两带电粒子在电场中都做类平抛运动,运动时间相同;两带电粒子在磁场中都做匀速圆周运动,带正电的粒子转过的圆心角为32,带负电的粒子转过的圆心角为2;两带电粒子在A、C两点进入电场的时间差就是两粒子在磁场中的时间差。若带电粒子能在匀强磁场中做完整的圆周运动,则其运动一周的时间T=2rv=2mqB。带正电的粒子在磁场中运动的时间为t1=34T=5.910-4s带负电的粒子在磁场中运动的时间为t2=14T=2.010-4s带电粒子在A、C两点射入电场的时间差为t=t1-t2=3.910-4s。10