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1、2013年中考数学模拟试题汇编 函数与圆的综合1.已知过点(3，4）,点与点关于轴对称，过作的切线交轴于点。（1）求直线HA的函数解析式；（2）求的值；（3） 如图，设与轴正半轴交点为，点、是线段上的动点(与点不重合），连接并延长、交于点、，直线交轴于点，若是以为底的等腰三角形，试探索的大小怎样变化，请说明理由。解: H（3，-4） A 直线AH： (2)解： （3）过点作于，并延长交 O于，连接，交于。为等腰三角形， ，平分 弧BN=弧CN， ， =即当、两点在上运动时(与点不重合），的值不变。2.如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点抛物线与轴交于
2、点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由OxyNCDEFBMAPOxyNCDEFBMA解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，点的坐标分别为抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，点在抛物线上，将的坐标代入，得： 解之，得：抛物线的解析式为：（2） 抛物线的对称轴为， 连结，又，（3）点在抛物线上设过点的直线为：，将点的坐标代入，得：，直线为：过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，将代入，得：点的坐标为，当时，所以，点在抛物线上3.如图，已知射线
3、DE与轴和轴分别交于点和点动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动设运动时间为秒（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；OxyEPDABMC（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB当与射线DE有公共点时，求的取值范围；当为等腰三角形时，求的值解：（1），（2）当的圆心由点向左运动，使点到点并随继续向左运动时，有，即当点在点左侧时，过点作射线，垂足为，则由，得，则解得OxyEPCDBQAMF由，即，解得当与射线有公共点时，的取值范围为当时，
4、过作轴，垂足为，有，即解得当时，有，解得当时，有，即解得（不合题意，舍去）当是等腰三角形时，或，或，或4.如图11，AB是O的直径，弦BC=2cm，ABC=60 （1）求O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为，连结EF，当为何值时，BEF为直角三角形图10（3）ABCOEFABCOD图10（1）ABOEFC图10（2）解：（1）AB是O的直径（已知）ACB90（直径所对的圆周角是直角）ABC60（已知）BAC180ACBABC
5、 30（三角形的内角和等于180）AB2BC4cm（直角三角形中，30锐角所对的直角边等于斜边的一半）即O的直径为4cm（2）如图10（1）CD切O于点C，连结OC，则OCOB1/2AB2cmCDCO（圆的切线垂直于经过切点的半径）OCD90（垂直的定义）BAC 30（已求）COD2BAC 60D180CODOCD 30OD2OC4cmBDODOB422（cm） 当BD长为2cm，CD与O相切（3）根据题意得：BE（42t）cm，BFtcm；如图10（2）当EFBC时，BEF为直角三角形，此时BEFBACBE：BABF：BC即：（42t）：4t：2解得：t1如图10（3）当EFBA时，BEF为
6、直角三角形，此时BEFBCABE：BCBF：BA即：（42t）：2t：4解得：t1.6当t1s或t1.6s时，BEF为直角三角形5.如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t(s)(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？OAPDBQC(2)当t为何值时，PQ与O相切？ABOCDPQ（1）解：直角梯形OAPDBQCHE 当时，四边
7、形为平行四边形由题意可知： 当时，四边形为平行四边形。（2）解：设与相切于点过点作垂足为直角梯形由题意可知： 为的直径， 为的切线 在中， 即：，因为在边运动的时间为秒而，（舍去），当秒时，与相切6.如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为设的外接圆的圆心为点（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值 解 （1）易求得点的坐标为由题设可知是方程即 的两根，所以，所如图3，P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，AOCDOC，则由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D的
8、坐标为（0，1）（2）因为ABCD， AB又恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即又，所以解得7.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，8为半径的圆与轴交于两点，过作直线与轴负方向相交成60的角，且交轴于点，以点为圆心的圆与轴相切于点 （1）求直线的解析式；（2）将以每秒1个单位的速度沿轴向左平移，当第一次与外切时，求平移的时间OyxCDBAD1O1O2O3P60（第22题答图）lOyxCDBAO1O260（第22题）l（1）解：由题意得，点坐标为在中，点的坐标为 设直线的解析式为，由过两点，得解得直线的解析式为：（2）如图，设平移秒后到处与第一次外切于点，与轴相
9、切于点，连接则轴，在中，6分，（秒）平移的时间为5秒yxOCDBA128.在平面直角坐标系中，已知，且以为直径的圆交轴的正半轴于点，过点作圆的切线交轴于点（1）求过三点的抛物线的解析式（2）求点的坐标（3）设平行于轴的直线交抛物线于两点，问：是否存在以线段为直径的圆，恰好与轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由？解：（1）令二次函数，则 过三点的抛物线的解析式为（2）以为直径的圆圆心坐标为 为圆切线 坐标为（3）存在。抛物线对称轴为设满足条件的圆的半径为，则的坐标为或而点在抛物线上 故在以为直径的圆，恰好与轴相切，该圆的半径为，9.抛物线与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于
10、B，ABx轴，且（1）求抛物线的解析式。（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作平行四边形ACQP，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物线上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。（3）ADX轴于D，以OD为直径作M，N为M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系？写出证明。（1）(2)联立得A（-2，-1）C（1，2）设P（a,0），则Q（a+3,3） ,p或 Q或（3）ANDRON， ONSDNO， 10.如图，O的半径为，正三角形ABC的顶点B的坐标为（2，0），顶点A在O上运动（1）当
11、点A在x轴上时，求点C的坐标；（2）点A在运动过程中，是否存在直线AB与O相切的位 置关系，若存在，请求出点C的坐标；（3）设点A的横坐标为x，ABC的面积为S，求S与x之 间的函数关系式，并求出S的最大值与最小值；（1）解：（1）当点A的坐标为（，0）时，点C的坐标为（）；当点A的坐标为（-，0）时，点C的坐标为（）；（2），连接OA, 当A点在x轴上方时， 直线AB与O相切, OAAB ，OMB=90，OB=2，OA= sinOBA=, OBA=60，CBx=60，点C的坐标当A点在x轴下方时，OBA=60，C点在x轴上，点C的坐标为（）（3）过点A作AEOB于点E ，在RtOAE中，AE2=OA2-OE2=3-x2，在RtBAE中，AB2= AE2+BE2=（3-x2）+（ 2-x）2=7-4xS= = 其中x，当x=时，S的最大值为， 当x=时，S的最小值为10