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1、 众数、中位数、平均数2.2.2 用样本的数字特征估计用样本的数字特征估计总体的数字特征总体的数字特征2021/8/9 星期一1一一 、复习众数、中位数、平均数的概念、复习众数、中位数、平均数的概念 2、中位数中位数：将一组数据：将一组数据按大小依次排列按大小依次排列，把，把处处在最中间位置在最中间位置的一个数据（的一个数据（或最中间两个数据的平均或最中间两个数据的平均数数）叫做这组数据的中位数）叫做这组数据的中位数 1、众数众数：在一组数据中，出现：在一组数据中，出现次数最多次数最多的数据叫的数据叫做这组数据的众数做这组数据的众数 众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数都是描述一组数都是描
2、述一组数据的据的集中趋势集中趋势的特征数，只是描述的角度不的特征数，只是描述的角度不同，其中同，其中以平均数的应用最为广泛以平均数的应用最为广泛.3、平均数、平均数:一般地，如果一般地，如果n个数个数 ，那，那么，么，叫做这叫做这n个数的平均数。个数的平均数。2021/8/9 星期一21、求下列各组数据的、求下列各组数据的众数众数（1）、1，2，3，3，3，5，5，8，8，8，9，9众数是：3和8（2）、1，2，3，3，3，5，5，8，8，9，9众数是：32、求下列各组数据的、求下列各组数据的中位数中位数（1）、1，2，3，3，3，4，6，8，8，8，9，9（2）1，2，3，3，3，4，8，8
3、，8，9，9中位数是：5中位数是：42021/8/9 星期一3 3、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的、在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的17名名运动员的成绩如下表所示：运动员的成绩如下表所示：成成绩绩(米米)150160165170175180185190人数人数23234111分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数分别求这些运动员成绩的众数，中位数与平均数。解：在解：在17个数据中，个数据中，1.75出现了出现了4次，出现的次，出现的次数最多次数最多，即这组数据的即这组数据的众数众数是是1.75上面表里的上面表里的17个数据可看成是个数据可看成是按从小到大的顺序排列按从小到
4、大的顺序排列的，其中第的，其中第9个数据个数据1.70是是最中间最中间的一个数据，即这组数的一个数据，即这组数据的据的中位数中位数是是1.70；答：答：17名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是名运动员成绩的众数、中位数、平均数依次是1.75（米）、（米）、1.70（米）、（米）、1.69（米）。（米）。这组数据的平均数是这组数据的平均数是2021/8/9 星期一4二二、众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数与频率分布直方图与频率分布直方图的关系的关系 例如，在上一节抽样调查的例如，在上一节抽样调查的100位居民的位居民的月均用水量的数据中，我们得知这一组样本月均用水量的数据中，我们得知这
5、一组样本数据的数据的 ，并画出过并画出过这组数据的频率分布直方图这组数据的频率分布直方图.众数众数 =2.3（t）中位数中位数=2.0（t）平均数平均数=2.0（t）现在，观察这组数据的频率分布直方图，能现在，观察这组数据的频率分布直方图，能否得出这组数据的众数、中位数和平均数？否得出这组数据的众数、中位数和平均数？众数、中位数和平均数众数、中位数和平均数2021/8/9 星期一50.52.521.5143.534.5频率频率组距组距思考：小长方形面思考：小长方形面积、对应这个组的积、对应这个组的频率、这个组占的频率、这个组占的比例的关系。比例的关系。2021/8/9 星期一60.52.521
6、.5143.534.5频率频率组距组距2.252021/8/9 星期一7 归纳总结得归纳总结得：因为在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，也显示出样本数据落在各小组的比例的大小，所以从图中可以看到，在区间2，2.5）的小长方形的面积最大面积最大，即这组的频率是最大的，也就是说月均用水量在区间2，2.5）内的居民最多，即众数就是在区间2，2.5）内。众数众数在样本数据的频率分布直方图中，在样本数据的频率分布直方图中，就是就是最高矩形的最高矩形的中点中点的的横坐标横坐标。2021/8/9 星期一80.52.521.5143.534.5频率频率组距组距0.040.080.150.2
7、20.250.140.060.040.02提示：中位数左边的提示：中位数左边的数据数据个数个数与右边的与右边的数数据据个数个数是相等的。是相等的。2021/8/9 星期一90.52.521.5143.534.5频率频率组距组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02前四个小矩形的前四个小矩形的面积和面积和=0.49后四个小矩形的后四个小矩形的面积和面积和=0.262.022021/8/9 星期一10 归纳总结得：归纳总结得：在样本中，有在样本中，有50的个体小于或等于中位数，的个体小于或等于中位数，也有也有50的个体大于或等于中位数的个体大于或等于中位数，因此，
8、在频，因此，在频率分布直方图中，率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的中位数左边和右边的直方图的面积应该相等面积应该相等，由此可以估计中位数的值。在这，由此可以估计中位数的值。在这个频率分布直方图中，左边的直方图的面积代表个频率分布直方图中，左边的直方图的面积代表50个单位，右边的直方图也是代表个单位，右边的直方图也是代表50个单位，个单位，它它们的分界线与们的分界线与x x轴交点的横坐标就是中位数。轴交点的横坐标就是中位数。中位数中位数在样本数据的频率分布直方图中，在样本数据的频率分布直方图中，就就是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分是把频率分布直方图划分左右两个面积相等的分界线与
9、界线与x x轴交点的横坐标轴交点的横坐标。2021/8/9 星期一11思考讨论以下问题：思考讨论以下问题：1、2.02这个中位数的估计值，与样本的中这个中位数的估计值，与样本的中位数值位数值2.0不一样，你能解释其中原因吗？不一样，你能解释其中原因吗？答：答：2.02这个中位数的估计值这个中位数的估计值,与样本的与样本的中位数值中位数值2.0不一样，这是因为样本数据的不一样，这是因为样本数据的频率分布直方图，只是频率分布直方图，只是直观地直观地表明分布的表明分布的形状，但是形状，但是从直方图本身得不出原始的数从直方图本身得不出原始的数据内容，直方图已经损失一些样本信息。据内容，直方图已经损失一
10、些样本信息。所以由频率分布直方图得到的所以由频率分布直方图得到的中位数估计中位数估计值值往往与往往与样本的样本的实际实际中位数中位数值不一致值不一致.2021/8/9 星期一120.52.521.5143.534.5频率频率组距组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02提示：在频率分布提示：在频率分布直方图中直方图中,各个组的各个组的平均数平均数如何找？如何找？2021/8/9 星期一130.52.521.5143.534.5频率频率组距组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.02.0.751.752.252.753.253.7
11、54.251.250.5提示：与提示：与小长小长方形面积的方形面积的比比例例有关吗？有关吗？2021/8/9 星期一140.52.521.5143.534.5频率频率组距组距0.040.080.150.220.250.140.060.040.022.02.0.751.752.252.753.253.754.251.250.52021/8/9 星期一15 总结归纳得：平均数平均数是频率分布直方图的是频率分布直方图的“重心重心”，是，是直方图的直方图的平衡点平衡点。先找出先找出每个小长每个小长方形的方形的“重心重心”，即，即每小组的平均数每小组的平均数，再，再按按比例比例算出直方图的平均数。算出直
12、方图的平均数。平均数平均数在样本数据的频率分布直方图在样本数据的频率分布直方图中，中，等于等于频率分布图中频率分布图中每个小长方形每个小长方形面积面积乘以乘以小矩形底边中点的小矩形底边中点的横坐标横坐标之和之和。2021/8/9 星期一16 平均数是频率分布直方图的平均数是频率分布直方图的“重心重心”.是直方图的平衡点是直方图的平衡点.n 个样本数据的平均个样本数据的平均数由公式数由公式:X=给出给出.下图显示了居民月均用水量的平下图显示了居民月均用水量的平均数均数:x=1.9732021/8/9 星期一17频率分布直方图如下频率分布直方图如下：月均用水量月均用水量/t频率频率组距组距0.10
13、0.200.300.400.500.511.5 22.533.544.52021/8/9 星期一18思考讨论以下问题：思考讨论以下问题：2、样本中位数不受少数极端值的影响样本中位数不受少数极端值的影响，这，这在某些情况下是一个在某些情况下是一个优点优点，但，但它对极端值它对极端值的不敏感的不敏感有时也会成为有时也会成为缺点缺点。你能举例说。你能举例说明吗？明吗？答：答：优点优点：对极端数据不敏感的方法：对极端数据不敏感的方法能够能够有效地有效地预防错误数据的影响预防错误数据的影响。对极端值不敏感有利的例子对极端值不敏感有利的例子:例如当样本数据质例如当样本数据质量比较差，即存在一些错误数据（如
14、数据录入错量比较差，即存在一些错误数据（如数据录入错误、测量错误等）时，用误、测量错误等）时，用抗极端数据强抗极端数据强的中位数的中位数表示数据的中心值更准确。表示数据的中心值更准确。2021/8/9 星期一19 缺点缺点：（：（1）出现错误的数据也不知道出现错误的数据也不知道；（2）对极端值不敏感有弊的例子：对极端值不敏感有弊的例子：某人具某人具有有初级初级计算机专业技术水平，想找一份收计算机专业技术水平，想找一份收入好的工作。这时如果采用各个公司计算入好的工作。这时如果采用各个公司计算机机专业专业技术人员收入的中位数作为选择工技术人员收入的中位数作为选择工作的参考指标就会冒这样的风险：作的
15、参考指标就会冒这样的风险：很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平很可能所选择公司的初级计算机专业技术水平人员的收入很低，其原因是人员的收入很低，其原因是中位数对极小的数中位数对极小的数据不敏感据不敏感。这里更好的方法是同时用这里更好的方法是同时用平均工资平均工资和和中位数中位数作为参考指标，选择作为参考指标，选择平均工资较高平均工资较高且且中位数较大中位数较大的公司就业的公司就业.2021/8/9 星期一20三三、三种数字特征的优缺点、三种数字特征的优缺点 1、众数众数体现了样本数据的体现了样本数据的最大集中点最大集中点，但它，但它对其它数据信息的忽视对其它数据信息的忽视使得无法客观地反映总
16、体使得无法客观地反映总体特征。特征。2、中位数中位数是样本数据所占频率的等分线，是样本数据所占频率的等分线，它它不受少数几个极端值的影响不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下，这在某些情况下是优点，但它是优点，但它对极端值的不敏感对极端值的不敏感有时也会成为缺有时也会成为缺点。点。3、平均数平均数与每一个样本的数据有关与每一个样本的数据有关，与众数、，与众数、中位数比较起来，中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端但平均数受数据中的极端值的影响较大值的影响较大，使平均数在估计时可靠性降低，使平均数在估计
17、时可靠性降低。2021/8/9 星期一21思考讨论以下问题：思考讨论以下问题：3、“用数据说话用数据说话”，这是我们经常听到的一句，这是我们经常听到的一句话。但是，数据有时也会被利用，从而产生误导。话。但是，数据有时也会被利用，从而产生误导。例如，一个企业中，绝大多数人是一线工人，他例如，一个企业中，绝大多数人是一线工人，他们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层们的年收入可能是一万元左右，另有一些经理层次的人，年收入过到几十万元。次的人，年收入过到几十万元。这时年收入的平这时年收入的平均数比中位数大得多。均数比中位数大得多。尽管这时的中位数比平均尽管这时的中位数比平均数更合理些，但是这个企
18、业的老板到人力市场去数更合理些，但是这个企业的老板到人力市场去招聘工人时，也许更可能用招聘工人时，也许更可能用平均数平均数来回答有关工来回答有关工资待遇的指问。资待遇的指问。你认为你认为“我们单位的收入水平比别的单位高我们单位的收入水平比别的单位高”这句话应当怎么解释？这句话应当怎么解释？2021/8/9 星期一22答答:我认为这句话是这样解释的：这个企我认为这句话是这样解释的：这个企业的老板以员工平均工资收入水平去描述业的老板以员工平均工资收入水平去描述他们单位的收入情况。我觉得这是不合理他们单位的收入情况。我觉得这是不合理的，因为这些员工当中，少数经理层次的的，因为这些员工当中，少数经理层
19、次的收入与大多数一般员工收入的差别比较大，收入与大多数一般员工收入的差别比较大，所以平均数不能反映该单位员工的收入水所以平均数不能反映该单位员工的收入水平。平。这个老板的话有误导与蒙骗行为。这个老板的话有误导与蒙骗行为。2021/8/9 星期一23 四、四、众数、中位数、平均数众数、中位数、平均数的简单应用的简单应用例：某工厂人员及工资构成如下：例：某工厂人员及工资构成如下：人员人员经理经理 管理人员管理人员 高级技工高级技工 工人工人学徒学徒 合计合计周工资周工资2200 250220200100人数人数16510123合计合计2200 150011002000 1006900（1）指出这个
20、问题中周工资的众数、中）指出这个问题中周工资的众数、中位数、平均数位数、平均数（2）这个问题中，工资的平均数能客观）这个问题中，工资的平均数能客观地反映该厂的工资水平吗？为什么？地反映该厂的工资水平吗？为什么？2021/8/9 星期一24 分析分析：众数为：众数为200，中位数为，中位数为220，平均数为，平均数为300。因平均数为因平均数为300，由表格中所列出，由表格中所列出的数据可见，只有经理在平均数以上，的数据可见，只有经理在平均数以上，其余的人都在平均数以下，其余的人都在平均数以下，故用平均故用平均数不能客观真实地反映该工厂的工资数不能客观真实地反映该工厂的工资水平。水平。2021/
21、8/9 星期一25课后练习课后练习 假设你是一名交通部门的工作人员，你假设你是一名交通部门的工作人员，你打算向市长报告国家对本市打算向市长报告国家对本市26个公路项目个公路项目投资的平均资金数额，其中一条新公路的投资的平均资金数额，其中一条新公路的建设投资为建设投资为2000万元人民币，另外万元人民币，另外25个项个项目的投资是目的投资是20100万元。中位数是万元。中位数是25万元，万元，平均数是平均数是100万元，众数是万元，众数是20万元。你会万元。你会选择哪一种数据特征来表示国家对每一个选择哪一种数据特征来表示国家对每一个项目投资的平均金额？你选择这种数字特项目投资的平均金额？你选择这种数字特征的缺点是什么？征的缺点是什么？2021/8/9 星期一26答：答：这里应该采用这里应该采用平均数平均数来表示每一个国来表示每一个国家项目的平均金额，家项目的平均金额，因为这能反映所有项因为这能反映所有项目的信息目的信息。但平均数。但平均数会受到极端数据会受到极端数据2000万元的影响万元的影响，所以，所以大多数项目投资金额都大多数项目投资金额都和平均数相差比较大。和平均数相差比较大。2021/8/9 星期一27