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1、第四讲 数值计算符号数学工具箱一、方程求解一、方程求解1.求解单个代数方程求解单个代数方程 MATLAB具有求解符号表达式的工具具有求解符号表达式的工具：solve solve(a*x2+b*x+c)%求方程的根求方程的根ans=1/2/a*(-b+(b2-4*a*c)1/2)1/2/a*(-b-(b2-4*a*c)1/2)结果是符号向量，其元素是方程的结果是符号向量，其元素是方程的2个解。如果想对非缺省个解。如果想对非缺省x变量求解，变量求解，solve必须指定变量。必须指定变量。solve(a*x2+b*x+c,b)%求解关于变量求解关于变量b的根的根ans=ans=-(a*x2+c)/x
2、带有等号的符号方程也可以求解。带有等号的符号方程也可以求解。f=solve(cos(x)=sin(x)%solve for xf=1/4*pi线性方程组求解线性方程组求解写成写成AX=b的形式，则的形式，则线性方程求解线性方程求解a=7 2 1 -2 9 15 3 -2 -2 -2 11 5 1 3 2 13b=4 7-1 0 x=abx=0.4979 0.1445 0.0629 -0.0813微分微分符号表达式的微分以四种形式利用函数符号表达式的微分以四种形式利用函数diff：diff函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列函数用以演算一函数的微分项，相关的函数语法有下列4个：个：d
3、iff(f)传回传回f对预设独立变数的一次微分值对预设独立变数的一次微分值 diff(f,t)传回传回f对独立变数对独立变数t的一次微分值的一次微分值 diff(f,n)传回传回f对预设独立变数的对预设独立变数的n次微分值次微分值 diff(f,t,n)传回传回f对独立变数对独立变数t的的n次微分值次微分值 f=a*x3+x2-b*x-c%定义一个符号表达式定义一个符号表达式f=a*x3+x2-b*x-c diff(f)%对缺省的变量对缺省的变量x求导求导 ans=3*a*x2+2*x-b diff(f,a)%关于关于a求导求导ans=x3 diff(f,2)%关于关于x求二阶导数求二阶导数a
4、ns=6*a*x+2 diff(f,a,2)%关于关于a求二阶导数求二阶导数ans=0积分积分int函数用以演算一函数的积分项。函数用以演算一函数的积分项。如果积分式的解析式如果积分式的解析式(analytical form,closed form)不存在的话或是不存在的话或是MATLAB无法找到，则无法找到，则 int 传回原输入的符号式。传回原输入的符号式。相关的函数语法有下列相关的函数语法有下列 4个：个：int(f)传回传回f对预设独立变数的积分值对预设独立变数的积分值 int(f,t)传回传回f对独立变数对独立变数t的积分值的积分值 int(f,a,b)传回传回f对预设独立变数的积分
5、值，积分区间为对预设独立变数的积分值，积分区间为a,b，a和和b为数值式为数值式 int(f,t,a,b)传回传回f对独立变数对独立变数t的积分值，积分区间为的积分值，积分区间为a,b，a和和b为数值式为数值式 int(f,m,n)传回传回f对预设变数的积分值，积分区间为对预设变数的积分值，积分区间为m,n，m和和n为符号式为符号式 我们示范几个例子：我们示范几个例子：S1=6*x3-4*x2+b*x-5;S2=sin(a);S3=sqrt(x);int(S1)ans=3/2*x4-4/3*x3+1/2*b*x2-5*x int(S2)ans=-cos(a)int(S3)ans=2/3*x(3
6、/2)int(S3,a,b)ans=2/3*b(3/2)-2/3*a(3/2)int(S3,0.5,0.6)ans=2/25*15(1/2)-1/6*2(1/2)numeric(int(S3,0.5,0.6)%使用使用numeric函数可以计算积分的数值函数可以计算积分的数值 ans=0.0741单个微分方程单个微分方程 常微分方程有时很难求解，常微分方程有时很难求解，MATLAB提供了功能强大的工具，提供了功能强大的工具，可以帮助求解微分方程。函数可以帮助求解微分方程。函数dsovle计算常微分方程的符号解。因计算常微分方程的符号解。因为我们要求解微分方程，就需要用一种方法将微分包含在表达式
7、为我们要求解微分方程，就需要用一种方法将微分包含在表达式中。所以，中。所以，dsovle句法与大多数其它函数有一些不同，用字母句法与大多数其它函数有一些不同，用字母D来来表示求微分，表示求微分，D2，D3等等表示重复求微分，并以此来设定方程。等等表示重复求微分，并以此来设定方程。任何任何D后所跟的字母为因变量。后所跟的字母为因变量。例如：例如：1.y=g(x,y)，须须 以以Dy代表一阶微分项代表一阶微分项y 2.D2y代表二阶微分项代表二阶微分项 y 方程方程y=0用符号表达式用符号表达式D2y=0来表示。来表示。MATLAB解常微分方程式的语法是解常微分方程式的语法是 dsolve(equ
8、ation,condition)，其中其中equation代表常微分方程式代表常微分方程式 condition则为初始条件。则为初始条件。例如，一阶方程例如，一阶方程dy/dx=1+y2的通解为：的通解为：dsolve(Dy=1+y2)%求通解求通解ans=-tan(-x+C1)其中，其中，C1是积分常数。是积分常数。求解初值求解初值y(0)=1的同一个方程就可产生：的同一个方程就可产生：dsolve(Dy=1+y2，y(0)=1)%加上了一个初始条件加上了一个初始条件y=tan(x+1/4*pi)让我们举一个二阶微分方程的例子，该方程有两个初始条件：让我们举一个二阶微分方程的例子，该方程有两
9、个初始条件：y=cos(2x)-y y(0)=0 y(0)=1 y=dsolve(D2y=cos(2*x)-y，Dy(0)=0，y(0)=1)y=-2/3*cos(x)2+1/3+4/3*cos(x)微分方程：微分方程：y-2y-3y=0 通解为：通解为：y=dsolve(D2y-2Dy-3*y=0)y=C1*exp(-x)+C2*exp(3*x)加上初始条件：加上初始条件：y(0)=0和和y(1)=1可得到：可得到：y=dsolve(D2y-2Dy-3*y=0,y(0)=0,y(1)=1)y=1/(exp(-1)-exp(3)*exp(-x)-1/(exp(-1)-exp(3)*exp(3*x)